Ce chapitre prolonge dans l'espace le produit scalaire que vous connaissez déjà dans le plan. Le cours détaille son expression analytique xx′ + yy′ + zz′, la caractérisation de l'orthogonalité de deux vecteurs, le calcul d'une norme, la détermination d'un vecteur normal à un plan et le calcul de la distance d'un point à un plan. En Sciences Expérimentales, la géométrie dans l'espace constitue un exercice autonome, très calculatoire mais sans piège une fois la méthode en place. Le conseil du cours : toujours travailler dans un repère orthonormé bien posé et traduire chaque condition géométrique (orthogonalité, appartenance, distance) par une égalité claire.
1 · Résumé du cours
Le produit scalaire est l'outil qui transporte toute la géométrie du plan dans l'espace à trois dimensions. Grâce à lui, on mesure des longueurs, on teste l'orthogonalité, on écrit l'équation d'un plan ou d'une sphère, et on calcule des distances — le tout avec de simples opérations sur les coordonnées, à condition de travailler dans un repère orthonormé(O;,,k).
1.1 Produit scalaire et ses propriétés
Définition
Pour deux vecteurs non nuls u et v faisant un angle θ :
u⋅v=∥u∥∥v∥cosθ.
Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose u⋅v=0. En particulier u⋅u=∥u∥2≥0.
Règles de calcul
Le produit scalaire est symétrique(u⋅v=v⋅u) et bilinéaire :
(λu)⋅v=λ(u⋅v),u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w.
On peut donc développer comme en algèbre : ∥u+v∥2=∥u∥2+2u⋅v+∥v∥2.
1.2 Expression analytique dans un repère orthonormé
Coordonnées
Pour u(x;y;z) et v(x′;y′;z′) :
u⋅v=xx′+yy′+zz′.
Norme d'un vecteur : ∥u∥=x2+y2+z2.
Distance entre A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) :
AB=AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Attention Ces trois formules (xx′+yy′+zz′, norme, distance) ne sont valables que dans un repère orthonormé. C'est l'hypothèse cachée de tout le chapitre.
1.3 Orthogonalité et vecteur normal
Test d'orthogonalitéu⊥v⟺u⋅v=0⟺xx′+yy′+zz′=0.
Vecteur normal à un plan
Un vecteur n est normal au plan (P) s'il est orthogonal à tout vecteur de (P). Il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de (P) : on l'obtient souvent avec deux vecteurs AB et AC du plan.
1.4 Équation cartésienne d'un plan
Propriété fondamentale
Le plan (P) passant par A(x0;y0;z0) et de vecteur normal n(a;b;c) est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que AM⋅n=0, c'est-à-dire :
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0,soitax+by+cz+d=0.
Réciproquement, toute équation ax+by+cz+d=0 (avec (a;b;c)=(0;0;0)) représente un plan de vecteur normal n(a;b;c).
Un plan (P) est déterminé par un point A et un vecteur normaln : les coefficients (a;b;c) de ax+by+cz+d=0se lisent directement comme les coordonnées de n.
Positions relatives de deux plans
Soit n et n′ leurs vecteurs normaux. Les plans sont parallèles⟺n et n′ sont colinéaires ; ils sont perpendiculaires⟺n⋅n′=0.
1.5 Droite de l'espace et positions relatives
Représentation paramétrique
La droite (D) passant par A(xA;yA;zA) et de vecteur directeur u(α;β;γ) :
⎩⎨⎧x=xA+αty=yA+βtz=zA+γt(t∈R).
Droite et plan
On compare le vecteur directeur u de (D) au vecteur normal n du plan (P) :
u⋅n=0 : la droite est sécante au plan (un point d'intersection) ;
u⋅n=0 : la droite est parallèle au plan — incluse si un point de (D) vérifie l'équation, strictement parallèle sinon.
1.6 Distance d'un point à un plan
Formule
Distance du point A(xA;yA;zA) au plan (P):ax+by+cz+d=0 :
d(A,(P))=a2+b2+c2∣axA+byA+czA+d∣.
C'est la plus courte distance : elle est mesurée le long de la perpendiculaire menée de A au plan.
Attention La valeur absolue au numérateur est obligatoire : une distance est toujours ≥0. Le signe de axA+byA+czA+d, lui, indique seulement de quel côté du plan se trouve A.
1.7 La sphère
Équation d'une sphère
La sphère de centre Ω(α;β;γ) et de rayon R>0 est l'ensemble des points M tels que ΩM=R :
(x−α)2+(y−β)2+(z−γ)2=R2.
Forme développée
En développant, on obtient x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0. Réciproquement, on repasse à la forme canonique en complétant les carrés. Le second membre k=α2+β2+γ2−d décide de la nature :
k>0 : sphère de rayon R=k ;
k=0 : un seul point Ω ;
k<0 : ensemble vide.
Sphère de diamètre [AB]M appartient à cette sphère ⟺MA⋅MB=0. Son centre est le milieu de [AB] et son rayon vaut 2AB.
1.8 Intersections et plan tangent
Sphère et plan
On compare d=d(Ω,(P)) au rayon R :
d>R : intersection vide ;
d=R : le plan est tangent (un seul point de contact) ;
d<R : l'intersection est un cercle de centre H (projeté de Ω sur (P)) et de rayon r=R2−d2 (théorème de Pythagore).
Sphère et droite • plan tangent
Une droite coupe une sphère en 0, 1 ou 2 points (on remplace la paramétrisation dans l'équation, ce qui donne une équation du second degré en t). Le plan tangent en un point A de la sphère admet pour vecteur normal ΩA.
2 · Feuille de route
1
Produit scalaire & norme
Expression xx′+yy′+zz′, angle, longueurs, distance AB.
2
Orthogonalité
Test u⋅v=0 ; construire un vecteur normal.
3
Équation d'un plan
Lire n(a;b;c) ; positions relatives de deux plans.
4
Droites & distances
Paramétrage, droite/plan, distance point–plan.
5
Sphère
Forme canonique, nature selon le signe, diamètre [AB].
6
Intersections
Sphère/plan (cercle r=R2−d2), plan tangent.
3 · Exercices choisis
Orthogonalité
Exercice 1
Les vecteurs u(1;−2;1) et v(3;1;−1) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
u⋅v=1×3+(−2)×1+1×(−1)=3−2−1=0. Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
Plan + distance
Exercice 2
Soit A(1;0;2) et n(2;−1;3). Déterminer l'équation du plan (P) passant par A de vecteur normal n, puis calculer la distance du point M(3;1;−1) à (P).
Voir la correction
Équation.2(x−1)−1(y−0)+3(z−2)=0, soit 2x−y+3z−8=0.
L'équation devient (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2−1−4−9+5=0, soit (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9.
Comme 9>0, (S) est la sphère de centre Ω(1;−2;3) et de rayon R=3.
Sphère ∩ plan
Exercice 4
Soit la sphère (S) de centre Ω(1;−2;3) et de rayon R=3, et le plan (P):2x−2y+z−1=0. Étudier l'intersection (S)∩(P).
Voir la correction
Distance du centre.d(Ω,(P))=4+4+1∣2×1−2×(−2)+3−1∣=3∣2+4+3−1∣=38.
Comparaison.d=\dfrac{8}{3}<R=3 : l'intersection est un cercle.
Rayon.r=R2−d2=9−964=981−64=317.
Son centre H est le projeté orthogonal de Ω sur (P), obtenu en suivant la droite (Ω,n) jusqu'au plan.
Plan tangent
Exercice 5
Le plan (P):z=0 est-il tangent à la sphère de centre Ω(0;0;2) et de rayon 2 ? Si oui, préciser le point de contact.
Voir la correction
d(Ω,(P))=∣0+0+2×0+0∣? — ici (P):z=0 donne d=∣zΩ∣=∣2∣=2=R : le plan est tangent.
Le point de contact est le projeté de Ω sur (P), c'est-à-dire A(0;0;0). On vérifie que ΩA(0;0;−2) est bien normal à (P).
Besoin de plus d'exercices, avec un accompagnement pas à pas ? Demande à ton professeur en cours.
4 · Astuces & pièges à éviter
Astuce Les coefficients(a;b;c) de l'équation ax+by+cz+d=0 donnent directement un vecteur normal — c'est le réflexe le plus rentable du chapitre.
Astuce Pour une position plan/sphère, compare toujours d(Ω,(P)) à R : d>R disjoint, d=R tangent, d<R cercle de rayon r=R2−d2.
Piège Les formules xx′+yy′+zz′, norme et distance point–plan exigent un repère orthonormé — et n'oublie jamais le a2+b2+c2 au dénominateur ni la valeur absolue au numérateur.
Piègeu⋅v=0 signifie orthogonaux, pas « colinéaires ». Deux vecteurs colinéaires vérifient au contraire ∣u⋅v∣=∥u∥∥v∥.
Piège Devant x2+y2+z2+⋯=0, complète les carrés avant de conclure : selon le signe du second membre k, on obtient une sphère (k>0), un point (k=0) ou l'ensemble vide (k<0).