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12

2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 12

Le produit vectoriel

Le produit vectoriel complète la boîte à outils de la géométrie dans l'espace en fournissant un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés. Ce cours en présente la définition, les propriétés (antisymétrie, produit nul en cas de colinéarité) et les applications : calcul de l'aire d'un parallélogramme ou d'un triangle, détermination d'un vecteur normal, distance d'un point à une droite. En PC/SVT, il s'articule avec le produit scalaire dans l'exercice de géométrie spatiale. Le cours met en avant un critère très pratique : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul — le test d'alignement le plus rapide qui soit.

1 · Résumé du cours

Le produit scalaire du chapitre précédent associait à deux vecteurs un nombre. Le produit vectoriel, lui, leur associe un vecteur — et pas n'importe lequel : un vecteur orthogonal aux deux. C'est exactement l'outil qui manquait pour construire un vecteur normal à un plan (au lieu de le deviner), calculer des aires, tester l'alignement de trois points ou mesurer la distance d'un point à une droite. On travaille dans un repère orthonormé direct (O;ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k).

1.1 Orientation de l'espace

Trièdre & orientation Un trièdre (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) est la donnée de trois vecteurs non coplanaires, pris dans cet ordre. Il est dit direct s'il respecte la règle de la main droite : le pouce suivant u⃗\vec u, l'index suivant v⃗\vec v, le majeur donne le sens de w⃗\vec w. Sinon il est indirect.
L'ordre change tout Si (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec u,\vec v,\vec w) est direct, alors (v⃗,u⃗,w⃗)(\vec v,\vec u,\vec w) est indirect : échanger deux vecteurs inverse l'orientation. C'est la raison profonde pour laquelle le produit vectoriel n'est pas commutatif.

1.2 Définition du produit vectoriel

Définition Le produit vectoriel de u⃗\vec u par v⃗\vec v, noté u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v, est le vecteur défini par :
  • si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires : u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 ;
  • sinon, c'est l'unique vecteur orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, de norme ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡θ∣\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\lvert\sin\theta\rvert, tel que le trièdre (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v) soit direct.
u v u ∧ v aire
∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\| est l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec u et v⃗\vec v ; le vecteur u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est orthogonal au plan (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v), et son sens est fixé par la règle de la main droite.
Scalaire ou vectoriel : ne pas confondre u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v est un nombre, avec un cos⁡\cos ; il est nul quand les vecteurs sont orthogonaux. u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est un vecteur, avec un sin⁡\sin ; il est nul quand les vecteurs sont colinéaires. Les deux se complètent : l'un détecte la perpendicularité, l'autre la colinéarité.

1.3 Norme et aire

Aire ∥u⃗∧v⃗∥=aire du paralleˊlogramme construit sur u⃗ et v⃗.\|\vec u\wedge\vec v\|=\text{aire du parallélogramme construit sur }\vec u\text{ et }\vec v. Par conséquent, pour trois points AA, BB, CC : A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥.\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|.
Pourquoi l'aire, et pourquoi la moitié L'aire d'un parallélogramme est « base ×\times hauteur ». Avec u⃗\vec u pour base, la hauteur vaut ∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec v\|\sin\theta — d'où ∥u⃗∥ ∥v⃗∥sin⁡θ=∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta=\|\vec u\wedge\vec v\|. Et un triangle est la moitié d'un parallélogramme : d'où le 12\tfrac12.

1.4 Colinéarité et alignement

Test de colinéarité u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗ et v⃗ sont colineˊaires.\vec u\wedge\vec v=\vec 0\iff \vec u\text{ et }\vec v\text{ sont colinéaires}. Donc trois points AA, BB, CC sont alignés si et seulement si AB→∧AC→=0⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0. C'est cohérent avec l'aire : trois points alignés forment un triangle « aplati » d'aire nulle.

1.5 Propriétés algébriques

Règles de calcul v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)(antisymeˊtrie),u⃗∧u⃗=0⃗,\vec v\wedge\vec u=-\big(\vec u\wedge\vec v\big)\quad(\text{antisymétrie}),\qquad \vec u\wedge\vec u=\vec 0, u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗,(ku⃗)∧v⃗=k (u⃗∧v⃗).\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,\qquad (k\vec u)\wedge\vec v=k\,(\vec u\wedge\vec v).
Les deux pièges Le produit vectoriel n'est pas commutatif (v⃗∧u⃗=−u⃗∧v⃗)\big(\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v\big) : inverser l'ordre change le sens du vecteur (mais pas sa norme, donc pas l'aire). Il n'est pas non plus associatif : en général (u⃗∧v⃗)∧w⃗≠u⃗∧(v⃗∧w⃗)(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w\neq\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w). Ne transposez pas vos réflexes du produit scalaire, qui est symétrique.

1.6 Expression analytique

Coordonnées Dans un repère orthonormé direct, pour u⃗ (x;y;z)\vec u\,(x;y;z) et v⃗ (x′;y′;z′)\vec v\,(x';y';z') : u⃗∧v⃗=( yz′−zy′  ;    zx′−xz′  ;    xy′−yx′ ).\vec u\wedge\vec v=\big(\,yz'-zy'\;;\;\;zx'-xz'\;;\;\;xy'-yx'\,\big).
Attention à la 2ᵉ composante La deuxième composante est zx′−xz′zx'-xz', et non xz′−zx′xz'-zx' : le schéma « en croix » s'inverse sur cette ligne. Après tout calcul de w⃗=u⃗∧v⃗\vec w=\vec u\wedge\vec v, une vérification infaillible : les deux produits scalaires w⃗⋅u⃗=0\vec w\cdot\vec u=0 et w⃗⋅v⃗=0\vec w\cdot\vec v=0. Si l'un n'est pas nul, il y a une erreur.

1.7 Applications

Trois outils clés
  • Vecteur normal à un plan (ABC)(ABC) : n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}, puis on écrit ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 et on trouve dd avec AA.
  • Intersection de deux plans non parallèles (P)(P), (P′)(P') : leur droite commune a pour vecteur directeur u⃗=n⃗∧n⃗′\vec u=\vec n\wedge\vec{n}' (orthogonal aux deux normaux).
  • Distance d'un point MM à une droite (D)(D) passant par AA, de vecteur directeur u⃗\vec u :   d(M,(D))=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥\;d\big(M,(D)\big)=\dfrac{\big\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\big\|}{\|\vec u\|} (aire du parallélogramme divisée par la base).

2 · Feuille de route

1

Orientation

Trièdre direct, règle de la main droite.

2

Définition & propriétés

Antisymétrie, colinéarité, non-associativité.

3

Coordonnées

Calcul analytique + vérification par ⋅\cdot.

4

Aires

Parallélogramme, triangle, alignement.

5

Vecteur normal & plans

Plan par 3 points, intersection de deux plans.

6

Distance point–droite

Formule de l'aire divisée par la base.

3 · Exercices choisis

Calcul + vérification

Exercice 1

Soient u⃗ (1;2;−1)\vec u\,(1;2;-1) et v⃗ (3;0;2)\vec v\,(3;0;2). Calculer u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v et vérifier le résultat.

Voir la correction

Composante par composante :

u⃗∧v⃗=(2⋅2−(−1)⋅0  ;  (−1)⋅3−1⋅2  ;  1⋅0−2⋅3)=(4;−5;−6)\vec u\wedge\vec v=\big(2\cdot2-(-1)\cdot0\;;\;(-1)\cdot3-1\cdot2\;;\;1\cdot0-2\cdot3\big)=(4;-5;-6).

Vérification : w⃗⋅u⃗=4−10+6=0\vec w\cdot\vec u=4-10+6=0 ✓ et w⃗⋅v⃗=12−0−12=0\vec w\cdot\vec v=12-0-12=0 ✓. Le vecteur est bien orthogonal aux deux : le calcul est juste.

Colinéarité

Exercice 2

Les vecteurs u⃗ (1;−1;2)\vec u\,(1;-1;2) et v⃗ (2;−2;4)\vec v\,(2;-2;4) sont-ils colinéaires ?

Voir la correction

u⃗∧v⃗=((−1)⋅4−2⋅(−2)  ;  2⋅2−1⋅4  ;  1⋅(−2)−(−1)⋅2)=(0;0;0)\vec u\wedge\vec v=\big((-1)\cdot4-2\cdot(-2)\;;\;2\cdot2-1\cdot4\;;\;1\cdot(-2)-(-1)\cdot2\big)=(0;0;0).

Le produit vectoriel est nul : les vecteurs sont colinéaires (on retrouve v⃗=2u⃗\vec v=2\vec u).

Plan + aire

Exercice 3

Soient A(1;0;0)A(1;0;0), B(0;2;0)B(0;2;0), C(0;0;3)C(0;0;3). Montrer que AA, BB, CC ne sont pas alignés, déterminer une équation du plan (ABC)(ABC), puis calculer l'aire du triangle ABCABC.

Voir la correction

AB→(−1;2;0)\overrightarrow{AB}(-1;2;0), AC→(−1;0;3)\overrightarrow{AC}(-1;0;3), donc

n⃗=AB→∧AC→=(2⋅3−0  ;  0⋅(−1)−(−1)⋅3  ;  (−1)⋅0−2⋅(−1))=(6;3;2)\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big(2\cdot3-0\;;\;0\cdot(-1)-(-1)\cdot3\;;\;(-1)\cdot0-2\cdot(-1)\big)=(6;3;2).

Comme n⃗≠0⃗\vec n\neq\vec 0, les points ne sont pas alignés. n⃗\vec n est normal au plan : 6x+3y+2z+d=06x+3y+2z+d=0. Avec A(1;0;0)A(1;0;0) : 6+d=06+d=0, donc d=−6d=-6.

(ABC): 6x+3y+2z−6=0\boxed{(ABC):\ 6x+3y+2z-6=0} (vérif. avec CC : 6−6=06-6=0 ✓).

Aire : ∥n⃗∥=36+9+4=49=7\|\vec n\|=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7, donc A(ABC)=12×7=72=3,5\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\times 7=\dfrac{7}{2}=3{,}5.

Intersection de plans

Exercice 4

Déterminer un vecteur directeur de la droite d'intersection des plans (P):x+y−z+1=0(P):x+y-z+1=0 et (P′):2x−y+3z−4=0(P'):2x-y+3z-4=0.

Voir la correction

On lit les vecteurs normaux : n⃗ (1;1;−1)\vec n\,(1;1;-1) et n⃗′(2;−1;3)\vec{n}'(2;-1;3). Ils ne sont pas proportionnels : les plans ne sont pas parallèles.

u⃗=n⃗∧n⃗′=(1⋅3−(−1)(−1)  ;  (−1)⋅2−1⋅3  ;  1⋅(−1)−1⋅2)=(2;−5;−3)\vec u=\vec n\wedge\vec{n}'=\big(1\cdot3-(-1)(-1)\;;\;(-1)\cdot2-1\cdot3\;;\;1\cdot(-1)-1\cdot2\big)=(2;-5;-3).

Vérif. : u⃗⋅n⃗=2−5+3=0\vec u\cdot\vec n=2-5+3=0 ✓ et u⃗⋅n⃗′=4+5−9=0\vec u\cdot\vec{n}'=4+5-9=0 ✓. Le vecteur u⃗ (2;−5;−3)\vec u\,(2;-5;-3) dirige la droite d'intersection.

Distance point–droite

Exercice 5

Calculer la distance de M(3;4;4)M(3;4;4) à la droite (D)(D) passant par A(1;2;0)A(1;2;0), de vecteur directeur u⃗ (2;1;2)\vec u\,(2;1;2).

Voir la correction

AM→(2;2;4)\overrightarrow{AM}(2;2;4), donc AM→∧u⃗=(2⋅2−4⋅1  ;  4⋅2−2⋅2  ;  2⋅1−2⋅2)=(0;4;−2)\overrightarrow{AM}\wedge\vec u=\big(2\cdot2-4\cdot1\;;\;4\cdot2-2\cdot2\;;\;2\cdot1-2\cdot2\big)=(0;4;-2).

∥AM→∧u⃗∥=0+16+4=25\big\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\big\|=\sqrt{0+16+4}=2\sqrt5 et ∥u⃗∥=4+1+4=3\|\vec u\|=\sqrt{4+1+4}=3.

d(M,(D))=253≈1,49d\big(M,(D)\big)=\dfrac{2\sqrt5}{3}\approx 1{,}49.

Besoin de plus d'exercices, avec un accompagnement pas à pas ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Trois points ⇒\Rightarrow vecteur normal =AB→∧AC→=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} ; deux plans ⇒\Rightarrow vecteur directeur =n⃗∧n⃗′=\vec n\wedge\vec{n}'. C'est ce que le chapitre du produit scalaire ne savait pas construire.
Astuce u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec 0 est un test rapide de colinéarité (donc d'alignement de trois points), tout comme u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0 teste l'orthogonalité.
Piège Le produit vectoriel n'est pas commutatif (v⃗∧u⃗=−u⃗∧v⃗)\big(\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v\big) ni associatif : l'ordre et les parenthèses comptent.
Piège Ne pas confondre : u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v est un nombre (scalaire, cos⁡\cos), u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est un vecteur (sin⁡\sin). Et surveille le signe de la deuxième composante : zx′−xz′zx'-xz'.

Formulaire à retenir

Coordonnées u⃗∧v⃗=(yz′−zy′ ; zx′−xz′ ; xy′−yx′)\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx')
Norme ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡θ∣\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta| = aire du parallélogramme
Antisymétrie v⃗∧u⃗=− u⃗∧v⃗\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v
Colinéarité u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff \vec u,\vec v colinéaires
Aire d'un triangle 12∥AB⃗∧AC⃗∥\dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|
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