2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 13

Calcul de probabilité

Souvent placé en fin de sujet, l'exercice de probabilités est l'un des plus accessibles pour qui connaît sa méthode. Ce cours reprend les fondamentaux : équiprobabilité, événement contraire, réunion et intersection, événements incompatibles et indépendants, probabilité conditionnelle et loi binomiale. Vous apprendrez à organiser une expérience à plusieurs étapes à l'aide d'un arbre pondéré et à reconnaître les situations relevant de la loi binomiale. En PC/SVT, la clé est une lecture attentive de l'énoncé — un tirage « avec » ou « sans » remise ne se traite pas de la même façon. Ce cours vous aide à ne plus confondre ces situations.

1 · Résumé du cours

Dernier chapitre du programme — et l'un des plus rentables au Bac, car les questions y sont souvent guidées. Tout repose sur une discipline : bien modéliser la situation avant de calculer. Et modéliser commence par savoir compter : le dénombrement est le socle de tout le reste.

1.1 Dénombrement

Principe fondamental Si une procédure se décompose en

p

étapes successives offrant

n_1,n_2,\dots,n_p

possibilités, le nombre total de résultats est

N=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p

.
Exemple : un code de trois chiffres distincts et non nuls donne

9\times 8\times 7=504

codes.

Arrangements, permutations, combinaisons Soit

E

un ensemble à

n

éléments et

1\le p\le n

Arrangement (tirage successif sans remise, l'ordre compte) : $A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutation des $n$ éléments : $A_n^{n}=n!$ .
Combinaison (tirage simultané, l'ordre ne compte pas) : $\dbinom{n}{p}=\dfrac{A_n^{p}}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$ .

Propriétés des combinaisons

\binom n0=\binom nn=1,\quad \binom n1=n,\quad \binom np=\binom n{n-p},\quad \binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}.

La dernière égalité est la relation de Pascal.

Les deux questions à se poser — toujours Avant tout calcul : ① l'ordre compte-t-il ? ② y a-t-il remise ? Les réponses désignent la formule :

\begin{array}{c|c|c}\textbf{Tirage} & \textbf{Ordre ?} & \textbf{Nombre}\\ \hline \text{successif avec remise} & \text{oui} & n^{p}\\ \text{successif sans remise} & \text{oui} & A_n^{p}\\ \text{simultané} & \text{non} & \dbinom np\end{array}

Le mot « simultanément » dans un énoncé signifie toujours : combinaison.

1.2 Vocabulaire des événements & équiprobabilité

Univers & événements L'univers

\Omega

est l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire ; un événement est une partie de

\Omega

\varnothing

est l'événement impossible,

\Omega

l'événement certain.

A\cap B

se lit «

A

B

»,

A\cup B

A

B

».

A

B

sont incompatibles si

A\cap B=\varnothing

;

\overline A

est l'événement contraire.

Équiprobabilité & règles Si tous les résultats élémentaires ont la même probabilité :

P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.

De plus

0\le P(A)\le 1

P(\Omega)=1

P(\varnothing)=0

, et

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(\overline A)=1-P(A).

Le réflexe « au moins un » Dès qu'un énoncé demande « au moins un… », passe par l'événement contraire : « au moins un » a pour contraire « aucun », presque toujours bien plus simple à compter.

1.3 Probabilité conditionnelle & probabilités totales

Conditionnement Pour

P(A)\neq 0

, la probabilité de

B

sachant

A

est

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad\text{donc}\qquad P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)=P(B)\,P_B(A).

« Sachant

A

» signifie qu'on change d'univers :

A

devient le nouvel ensemble de référence.

Formule des probabilités totales Si

A_1,\dots,A_n

forment une partition de

\Omega

(deux à deux incompatibles, de réunion

\Omega

), alors pour tout événement

B

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\,P_{A_i}(B).

En particulier avec

\{A,\overline A\}

P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline A)\,P_{\overline A}(B)

Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les chemins menant au même événement :

P(R\cap R)=P(R)\times P(R\mid R)

. La somme des branches issues d'un nœud vaut toujours

1

1.4 Indépendance

Événements indépendants

A

B

sont indépendants si

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)

, c'est-à-dire (si

P(A)\neq 0

)

P_A(B)=P(B)

: savoir que

A

s'est produit ne change rien à

B

. Si

A

B

sont indépendants, alors

\overline A

B

A

\overline B

\overline A

\overline B

le sont aussi.

Indépendants ≠ incompatibles Incompatibles :

A\cap B=\varnothing

(ils ne peuvent pas se produire ensemble). Indépendants :

P(A\cap B)=P(A)P(B)

. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont d'ailleurs toujours dépendants : si

A

se produit, on est certain que

B

ne se produit pas !

1.5 Variable aléatoire

Loi, espérance, variance Une variable aléatoire

X

associe un réel à chaque issue. Sa loi donne les valeurs

x_i

et les

p_i=P(X=x_i)

, avec

\sum_i p_i=1

E(X)=\sum_i x_i\,p_i,\qquad V(X)=\sum_i \big(x_i-E(X)\big)^{2}p_i=\underbrace{\sum_i x_i^{2}\,p_i-\big(E(X)\big)^{2}}_{\text{formule de König, plus rapide}},\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

E(X)

est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions (pas forcément une valeur possible de

X

) ;

\sigma(X)

mesure la dispersion autour de cette moyenne.

1.6 La loi binomiale

Schéma de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité

p

) et échec (

1-p

). Si on la répète

n

fois de façon identique et indépendante, le nombre de succès

X

suit la loi binomiale

\mathcal{B}(n;p)

P(X=k)=\binom nk p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p),\quad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.

D'où vient la formule Un chemin précis avec

k

succès et

n-k

échecs a pour probabilité

p^{k}(1-p)^{n-k}

(on multiplie le long du chemin). Or il existe

\binom nk

façons de placer les

k

succès parmi les

n

répétitions — d'où le coefficient. C'est encore l'arbre.

Les 3 conditions — à citer dans la copie Avant d'écrire «

X

suit une loi binomiale », vérifie et écris que les répétitions sont identiques, indépendantes et à deux issues : ces trois lignes font partie du barème. Attention, un tirage sans remise brise l'indépendance — ce n'est alors pas une loi binomiale.

2 · Feuille de route

Dénombrement

Ordre ? Remise ? $\to$ $n^p$ , $A_n^p$ ou $\binom np$ .

Équiprobabilité

Cas favorables / cas possibles ; « au moins un ».

Conditionnel

Arbre pondéré, probabilités totales.

Indépendance

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ — à ne pas confondre.

Variable aléatoire

Loi, espérance, variance, écart type.

Loi binomiale

$\mathcal{B}(n;p)$ , $P(X=k)$ , $E(X)=np$ .

3 · Exercices choisis

Dénombrement

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. Probabilité d'obtenir 2 rouges, puis au moins une verte.

Voir la correction

Tirage simultané $\Rightarrow$ combinaisons : $\operatorname{card}(\Omega)=\binom 82=\dfrac{8\times 7}{2}=28$ .

2 rouges : $\operatorname{card}(R)=\binom 52=\dfrac{5\times 4}{2}=10$ , donc $P(R)=\dfrac{10}{28}=\dfrac{5}{14}\approx 0{,}357$ .

Au moins une verte : le contraire est « aucune verte » = « 2 rouges ». $P(V)=1-\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}\approx 0{,}643$ . Le contraire évitait tout nouveau calcul.

Probabilités totales

Exercice 2

Une usine a deux machines. $M_1$ produit 60 % des pièces, dont 5 % défectueuses ; $M_2$ produit le reste, dont 8 % défectueuses. On prélève une pièce au hasard. Probabilité qu'elle soit défectueuse ? Sachant qu'elle l'est, probabilité qu'elle vienne de $M_1$ ?

Voir la correction

$P(M_1)=0{,}6$ , $P(M_2)=0{,}4$ , $P_{M_1}(D)=0{,}05$ , $P_{M_2}(D)=0{,}08$ .

① $\{M_1,M_2\}$ est une partition : $P(D)=0{,}6\times 0{,}05+0{,}4\times 0{,}08=0{,}03+0{,}032=0{,}062$ .

② On renverse le conditionnement : $P_D(M_1)=\dfrac{P(M_1\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx 0{,}484$ .

À remarquer : $P_{M_1}(D)=0{,}05$ mais $P_D(M_1)\approx 0{,}48$ — ces deux nombres n'ont rien à voir, les confondre est une erreur classique.

Loi binomiale

Exercice 3

On lance 4 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ». Justifier que $X$ suit une loi binomiale, calculer $P(X=2)$ et $P(X\ge 1)$ , puis donner $E(X)$ .

Voir la correction

① Les 4 lancers sont identiques ( $p=0{,}5$ ), indépendants et à deux issues (pile/face) : $X\sim\mathcal{B}(4;0{,}5)$ .

② $P(X=2)=\binom 42\times 0{,}5^{2}\times 0{,}5^{2}=6\times 0{,}0625=0{,}375$ .

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\binom 40\times 0{,}5^{4}=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}=0{,}9375$ .

③ $E(X)=np=4\times 0{,}5=2$ : on attend 2 piles en moyenne.

Indépendance

Exercice 4

On donne $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ . Calculer $P_B(A)$ et dire si $A$ et $B$ sont indépendants.

Voir la correction

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5$ .

Or $P(A)\times P(B)=0{,}5\times 0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants (et on retrouve bien $P_B(A)=P(A)$ ).

Besoin de plus d'exercices, avec un accompagnement pas à pas ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Avant de compter, pose-toi toujours les deux questions : l'ordre compte-t-il ? y a-t-il remise ? « Simultanément »

\Rightarrow

combinaisons

\binom np

Astuce Pour la probabilité conditionnelle, fais un arbre pondéré : multiplie le long d'un chemin, additionne les chemins menant au même résultat. Et « au moins un »

\Rightarrow

passe au contraire.

Piège Indépendant ≠ incompatible — c'est presque le contraire. Incompatibles :

P(A\cap B)=0

; indépendants :

P(A\cap B)=P(A)P(B)

Piège

P_A(B)

P_B(A)

sont différents : ne renverse pas le conditionnement à la légère. Et dans

\mathcal{B}(n;p)

, n'oublie jamais le coefficient

\binom nk

Formulaire à retenir

Réunion

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Conditionnelle

P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

Indépendance

P(A\cap B)=P(A)\,P(B)

Espérance / variance

E(X)=\sum x_i p_i,\quad V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}

Loi binomiale

\mathcal{B}(n;p)

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ E=np,\ V=np(1-p)

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