Le calcul de probabilité clôt le programme et récompense la méthode. Cette fiche réunit l'équiprobabilité, la probabilité d'un événement contraire, la réunion, les événements incompatibles et indépendants, la probabilité conditionnelle et la loi binomiale. Au Bac PC/SVT, l'exercice de probabilités est court et accessible : lisez bien l'énoncé pour distinguer un tirage « avec » ou « sans » remise. Le piège fréquent : appliquer la loi binomiale sans vérifier que les épreuves sont identiques et indépendantes.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Calcul de probabilité

Math Excellence

1 · Dénombrement : les 2 questions

Avant tout calcul, demande-toi…

• 1. L'ordre compte-t-il ?
• 2. Y a-t-il remise ?

Les réponses désignent la formule. « Simultanément » ⇒ combinaison.

Les trois tirages

• Successif avec remise : $n^{p}$
• Successif sans remise : $A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}$
• Simultané : $\dbinom np=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$

Pourquoi diviser par $p!$

• $p$ objets s'ordonnent de $p!$ façons
• Chaque combinaison = $p!$ arrangements

$\dbinom np=\dfrac{A_n^{p}}{p!}$

2 · Probabilités : les bases

$P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

$0\le P(A)\le1$

$P(\Omega)=1,\ P(\varnothing)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(\overline A)=1-P(A)$

Incompatibles : $A\cap B=\varnothing$

Les événements sont des parties de $\Omega$ : le vocabulaire des probabilités est celui des ensembles.

Le réflexe « au moins un »

• Contraire de « au moins un » = « aucun »
• Presque toujours bien plus simple à compter

3 · Conditionnelle & probabilités totales

Probabilité conditionnelle

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad(P(A)\neq0)$

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$

Astuce : on change d'univers — $A$ devient la référence.

Probabilités totales

$P(B)=\sum_i P(A_i)\times P_{A_i}(B)$

• Si $\{A_i\}$ est une partition de $\Omega$

Ne pas renverser !

• $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différents

Ex : $P_{M_1}(D)=0{,}05$ mais $P_D(M_1)\approx0{,}48$

L'arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins. La somme des branches d'un nœud vaut 1.

4 · Indépendance

Définition

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

• Ou encore : $P_A(B)=P(B)$

⚠️ Indépendants ≠ incompatibles

• Incompatibles : ne peuvent pas arriver ensemble
• Indépendants : l'un n'informe pas sur l'autre

Deux incompatibles de proba non nulles sont toujours dépendants !

5 · Variables aléatoires & loi binomiale

Espérance & variance

$E(X)=\sum_i x_i\,p_i$

$V(X)=\sum_i x_i^{2}p_i-\big(E(X)\big)^{2}$

• $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ ; toujours $\sum p_i=1$

Loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$

$P(X=k)=\dbinom nk p^{k}(1-p)^{n-k}$

$E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)$

Les 3 conditions — à écrire !

• Répétitions identiques
• Indépendantes
• À deux issues

Piège : un tirage sans remise brise l'indépendance ⇒ pas binomiale.

$\mathcal{B}(10\,;0{,}4)$ : les probabilités se concentrent autour de $E(X)=np=4$.

6 · Exemples résolus

15R+3V, tirage simultané de 2 : $\text{card}(\Omega)=\dbinom82=28$

2$P(\text{2 rouges})=\dfrac{\binom52}{28}=\dfrac{5}{14}$

3$P(\text{au moins 1 verte})=1-\dfrac5{14}=\dfrac9{14}$

4$P(D)=0{,}6\times0{,}05+0{,}4\times0{,}08=0{,}062$

5$P_D(M_1)=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx0{,}484$

6$X\sim\mathcal{B}(4\,;0{,}5)\Rightarrow P(X=2)=0{,}375$, $E(X)=2$

★ Astuces géniales

• Avant tout : l'ordre compte ? y a-t-il remise ? — c'est ça qui donne la formule.
• « Simultanément » ⇒ combinaisons. « Au moins un » ⇒ événement contraire.
• Indépendants ≠ incompatibles — c'est même presque le contraire.
• Conditionnelle ⇒ arbre pondéré : multiplier le long, additionner les chemins.
• $P_A(B)\neq P_B(A)$ : ne pas renverser le conditionnement.
• Binomiale : citer les 3 conditions, et se méfier des tirages sans remise.

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