QCM — Calcul de probabilité

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Pour tout univers \(\Omega\), la probabilité \(p(\Omega)\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(1\)
   • C\(\tfrac12\)
   • D\(\operatorname{card}\Omega\)

   Remarque

   \(p(\Omega)=1\) : l'événement certain a une probabilité égale à \(1\).

2. Question 2

   En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \(A\) vaut :

   • A\(\operatorname{card}A\)
   • B\(\dfrac{\operatorname{card}\Omega}{\operatorname{card}A}\)
   • ✓\(\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\)
   • D\(\dfrac{1}{\operatorname{card}A}\)

   Remarque

   En équiprobabilité, \(p(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\).

3. Question 3

   La probabilité de l'événement contraire \(\bar A\) vaut :

   • ✓\(1-p(A)\)
   • B\(-p(A)\)
   • C\(\dfrac{1}{p(A)}\)
   • D\(p(A)-1\)

   Remarque

   \(p(\bar A)=1-p(A)\).

4. Question 4

   Pour deux événements \(A\) et \(B\), \(p(A\cup B)\) vaut :

   • A\(p(A)+p(B)\)
   • B\(p(A)\cdot p(B)\)
   • C\(p(A)+p(B)+p(A\cap B)\)
   • ✓\(p(A)+p(B)-p(A\cap B)\)

   Remarque

   \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\) : on retranche l'intersection comptée deux fois.

5. Question 5

   Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A\cap B=\varnothing\)), alors \(p(A\cup B)\) vaut :

   • A\(p(A)\cdot p(B)\)
   • ✓\(p(A)+p(B)\)
   • C\(p(A)+p(B)-1\)
   • D\(0\)

   Remarque

   Événements incompatibles : \(p(A\cap B)=0\), donc \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)\).

6. Question 6

   La probabilité conditionnelle \(p_A(B)\) (probabilité de \(B\) sachant \(A\), avec \(p(A)\neq0\)) vaut :

   • A\(p(A)\cdot p(B)\)
   • B\(\dfrac{p(A\cup B)}{p(A)}\)
   • ✓\(\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\)
   • D\(\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}\)

   Remarque

   \(p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\), d'où \(p(A\cap B)=p(A)\,p_A(B)\).

7. Question 7

   \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :

   • A\(p(A\cap B)=p(A)+p(B)\)
   • B\(p(A\cap B)=0\)
   • ✓\(p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)\)
   • D\(p(A\cup B)=p(A)\,p(B)\)

   Remarque

   L'indépendance se traduit par \(p(A\cap B)=p(A)\,p(B)\) (à ne pas confondre avec l'incompatibilité).

8. Question 8

   On lance un dé équilibré à six faces. La probabilité d'obtenir un nombre pair est :

   • A\(\tfrac16\)
   • B\(\tfrac13\)
   • ✓\(\tfrac12\)
   • D\(\tfrac23\)

   Remarque

   Les cas favorables sont \(\{2,4,6\}\), soit \(p=\dfrac{3}{6}=\dfrac12\).

9. Question 9

   Pour une variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\), \(P(X=k)\) vaut :

   • A\(p^{k}(1-p)^{n-k}\)
   • B\(\binom{n}{k}p^{k}\)
   • C\(n\,p^{k}(1-p)^{n-k}\)
   • ✓\(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)

   Remarque

   \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) pour \(k\in\{0,1,\dots,n\}\).

10. Question 10

    Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), l'espérance \(E(X)\) vaut :

    • ✓\(np\)
    • B\(np(1-p)\)
    • C\(\dfrac{p}{n}\)
    • D\(n+p\)

    Remarque

    Pour la loi binomiale, \(E(X)=np\) (et la variance vaut \(V(X)=np(1-p)\)).

11. Question 11

    Le nombre de combinaisons \(\dbinom{5}{2}\) (choix de \(2\) éléments parmi \(5\)) vaut :

    • ✓\(10\)
    • B\(20\)
    • C\(25\)
    • D\(7\)

    Remarque

    \(\dbinom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times4}{2}=10\).

12. Question 12

    Le nombre de façons d'ordonner \(4\) objets distincts est :

    • A\(4\)
    • B\(16\)
    • ✓\(24\)
    • D\(12\)

    Remarque

    C'est le nombre de permutations : \(4!=4\times3\times2\times1=24\).

13. Question 13

    La probabilité de l'événement impossible \(\varnothing\) vaut :

    • A\(1\)
    • ✓\(0\)
    • C\(\tfrac12\)
    • Dindéfinie

    Remarque

    \(p(\varnothing)=0\) : l'événement impossible a une probabilité nulle.

14. Question 14

    Pour tout événement \(A\), la probabilité \(p(A)\) vérifie :

    • A\(p(A)\ge 1\)
    • ✓\(0\le p(A)\le 1\)
    • C\(-1\le p(A)\le 1\)
    • D\(p(A)>0\)

    Remarque

    Une probabilité est toujours comprise entre \(0\) et \(1\) : \(0\le p(A)\le 1\).

15. Question 15

    Formule des probabilités totales avec le système complet \(\{A,\bar A\}\) : \(p(B)\) vaut :

    • A\(p_A(B)+p_{\bar A}(B)\)
    • ✓\(p(A)\,p_A(B)+p(\bar A)\,p_{\bar A}(B)\)
    • C\(p(A)\,p(B)\)
    • D\(p(A\cap B)+p(A)\)

    Remarque

    \(p(B)=p(A\cap B)+p(\bar A\cap B)=p(A)\,p_A(B)+p(\bar A)\,p_{\bar A}(B)\).

16. Question 16

    Pour une variable aléatoire \(X\) prenant les valeurs \(x_i\) de probabilités \(p_i\), l'espérance \(E(X)\) est :

    • A\(\sum p_i\)
    • B\(\sum x_i\)
    • ✓\(\sum x_i\,p_i\)
    • D\(\dfrac{1}{n}\sum x_i\)

    Remarque

    \(E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,p_i\) : moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.

17. Question 17

    La variance \(V(X)\) peut se calculer par :

    • ✓\(E(X^2)-\big(E(X)\big)^2\)
    • B\(E(X)-E(X^2)\)
    • C\(\big(E(X)\big)^2\)
    • D\(E(X^2)+\big(E(X)\big)^2\)

    Remarque

    Formule de König-Huygens : \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2\) (et l'écart-type est \(\sigma=\sqrt{V(X)}\)).

18. Question 18

    Une urne contient des boules dont \(\tfrac13\) sont rouges. On tire \(2\) boules successivement avec remise. La probabilité d'obtenir deux rouges est :

    • A\(\dfrac{2}{3}\)
    • ✓\(\dfrac{1}{9}\)
    • C\(\dfrac{1}{6}\)
    • D\(\dfrac{1}{3}\)

    Remarque

    Les tirages avec remise sont indépendants : \(p=\dfrac13\times\dfrac13=\dfrac19\).