Le produit vectoriel est l'outil géométrique qui produit un vecteur orthogonal à deux autres. Cette fiche rassemble sa définition, ses propriétés (antisymétrie, colinéarité ⇔ produit nul), le lien entre sa norme et l'aire d'un parallélogramme, et ses applications aux plans et aux distances. En Sciences Expérimentales, il complète le produit scalaire dans l'exercice de géométrie dans l'espace. Retenez que u ∧ v est nul si et seulement si u et v sont colinéaires — c'est le test d'alignement le plus rapide.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Le produit vectoriel

Math Excellence

1 · Définition

$\vec u\wedge\vec v$ est le vecteur tel que…

• Orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$
• $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|$
• $(\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)$ direct (main droite)

Scalaire ou vectoriel ?

• $\vec u\cdot\vec v$ : un nombre, avec $\cos$ → nul si orthogonaux
• $\vec u\wedge\vec v$ : un vecteur, avec $\sin$ → nul si colinéaires

Astuce : les deux se complètent.

$\vec u\wedge\vec v$ est ⊥ au plan de $\vec u$ et $\vec v$, et sa norme est l'aire du parallélogramme doré.

2 · Aire & colinéarité

$\|\vec u\wedge\vec v\|=$ aire du parallélogramme

$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|$

$\vec u\wedge\vec v=\vec 0\iff$ colinéaires

$A,B,C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0$

Deux théorèmes, une seule idée

• Base × hauteur $=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta$
• Un triangle est la moitié d'un parallélogramme
• Alignés $\Rightarrow$ triangle aplati $\Rightarrow$ aire nulle

3 · Propriétés & calcul

Les deux pièges

• Pas commutatif : $\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)$
• Pas associatif : les parenthèses ne bougent pas

Ne transposez pas vos réflexes du produit scalaire !

Expression analytique

$\vec u\wedge\vec v=\big(yz'-zy'\,;\;zx'-xz'\,;\;xy'-yx'\big)$

Attention à la 2ᵉ composante : $zx'-xz'$, le schéma s'inverse.

La vérification infaillible

• $\vec w\cdot\vec u=0$ et $\vec w\cdot\vec v=0$

Si l'un n'est pas nul → erreur de calcul.

4 · Applications

Plan par 3 points non alignés

• $\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$
• Puis $ax+by+cz+d=0$ avec $A$

Le chapitre 11 exigeait un vecteur normal donné — ici on le construit.

Intersection de deux plans

Vecteur directeur : $\vec u=\vec n\wedge\vec{n'}$

• Plans parallèles $\Rightarrow\vec n\wedge\vec{n'}=\vec 0$ : pas de droite

5 · Exemples résolus

1$\vec u(1,2,-1)\wedge\vec v(3,0,2)=(4,-5,-6)$

2Vérif : $4-10+6=0$ ✓ et $12-0-12=0$ ✓

3$A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)\Rightarrow\vec n(6,3,2)$

4$(ABC):6x+3y+2z-6=0$

5$\mathcal{A}(ABC)=\dfrac12\sqrt{49}=\dfrac72$

6$\vec n(1,1,-1)\wedge\vec{n'}(2,-1,3)=(2,-5,-3)$

★ Astuces géniales

• $\vec u\wedge\vec v$ = un vecteur ⊥ aux deux ; $\vec u\cdot\vec v$ = un nombre.
• Nul si colinéaires (à comparer : scalaire nul si orthogonaux).
• $\|\vec u\wedge\vec v\|$ = aire ; le triangle en est la moitié.
• Pas commutatif, pas associatif — l'ordre compte.
• Attention à la 2ᵉ composante : $zx'-xz'$.
• Toujours vérifier : $\vec w\cdot\vec u=0$ et $\vec w\cdot\vec v=0$.

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