QCM — Le produit vectoriel

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est :

   • Acolinéaire à \(\vec u\)
   • ✓orthogonal à la fois à \(\vec u\) et à \(\vec v\)
   • Cégal à \(\vec u\cdot\vec v\)
   • Dsitué dans le plan \((\vec u,\vec v)\)

   Remarque

   \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal au plan engendré par \(\vec u\) et \(\vec v\), donc à chacun d'eux.

2. Question 2

   \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\) si et seulement si :

   • A\(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux
   • B\(\vec u=\vec v\)
   • ✓\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires
   • D\(\|\vec u\|=\|\vec v\|\)

   Remarque

   \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\iff \vec u\) et \(\vec v\) colinéaires (l'un est multiple de l'autre, ou l'un est nul).

3. Question 3

   Avec \(\theta\) l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\), \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) vaut :

   • A\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)
   • B\(\|\vec u\|+\|\vec v\|\)
   • C\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)
   • ✓\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta\)

   Remarque

   \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|\) (le \(\cos\theta\) correspond au produit scalaire).

4. Question 4

   L'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\) est :

   • ✓\(\|\vec u\wedge\vec v\|\)
   • B\(\vec u\cdot\vec v\)
   • C\(\tfrac12\|\vec u\wedge\vec v\|\)
   • D\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)

   Remarque

   L'aire du parallélogramme vaut \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) ; celle du triangle en est la moitié.

5. Question 5

   L'aire du triangle \(ABC\) est :

   • A\(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
   • B\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)
   • ✓\(\tfrac12\,\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\)
   • D\(\tfrac12\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)

   Remarque

   L'aire du triangle \(ABC\) vaut \(\tfrac12\,\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\).

6. Question 6

   Pour tous vecteurs, \(\vec v\wedge\vec u\) vaut :

   • A\(\vec u\wedge\vec v\)
   • ✓\(-\,\vec u\wedge\vec v\)
   • C\(\vec 0\)
   • D\(\vec u\cdot\vec v\)

   Remarque

   Le produit vectoriel est antisymétrique : \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\).

7. Question 7

   Pour tout vecteur \(\vec u\), \(\vec u\wedge\vec u\) vaut :

   • A\(\vec u\)
   • B\(\vec u^{\,2}\)
   • C\(2\vec u\)
   • ✓\(\vec 0\)

   Remarque

   \(\vec u\) est colinéaire à lui-même, donc \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\).

8. Question 8

   Dans une base orthonormée directe \((\vec i,\vec j,\vec k)\), \(\vec i\wedge\vec j\) vaut :

   • ✓\(\vec k\)
   • B\(-\vec k\)
   • C\(\vec 0\)
   • D\(\vec j\)

   Remarque

   Dans une base orthonormée directe : \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\), \(\vec j\wedge\vec k=\vec i\), \(\vec k\wedge\vec i=\vec j\).

9. Question 9

   Pour \(\vec u(1,0,0)\) et \(\vec v(0,1,0)\), \(\vec u\wedge\vec v\) vaut :

   • A\((0,0,-1)\)
   • B\((1,1,0)\)
   • ✓\((0,0,1)\)
   • D\((0,0,0)\)

   Remarque

   \(\vec u\wedge\vec v=\vec i\wedge\vec j=\vec k=(0,0,1)\).

10. Question 10

    Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si :

    • A\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
    • ✓\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0\)
    • C\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\neq\vec 0\)
    • D\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\)

    Remarque

    \(A,B,C\) alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\iff \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0\).

11. Question 11

    Dans une base orthonormée directe \((\vec i,\vec j,\vec k)\), \(\vec j\wedge\vec k\) vaut :

    • ✓\(\vec i\)
    • B\(-\vec i\)
    • C\(\vec 0\)
    • D\(\vec k\)

    Remarque

    Permutation circulaire dans une base directe : \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\), \(\vec j\wedge\vec k=\vec i\), \(\vec k\wedge\vec i=\vec j\).

12. Question 12

    Pour \(\vec u(1,0,0)\) et \(\vec v(0,0,1)\), \(\vec u\wedge\vec v\) vaut :

    • A\((0,1,0)\)
    • ✓\((0,-1,0)\)
    • C\((0,0,1)\)
    • D\((1,0,-1)\)

    Remarque

    \(\vec i\wedge\vec k=-\vec j\), donc \(\vec u\wedge\vec v=(0,-1,0)\).

13. Question 13

    La distance du point \(A\) à la droite passant par \(B\) de vecteur directeur \(\vec u\) est :

    • ✓\(\dfrac{\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\)
    • B\(\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|\)
    • C\(\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\vec u}{\|\vec u\|}\)
    • D\(\dfrac{\|\vec u\|}{\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|}\)

    Remarque

    \(d(A,\Delta)=\dfrac{\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\) : c'est la hauteur du parallélogramme d'aire \(\|\overrightarrow{BA}\wedge\vec u\|\) relative à la base \(\|\vec u\|\).

14. Question 14

    Si \(\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=6\), l'aire du triangle \(ABC\) vaut :

    • A\(6\)
    • B\(12\)
    • ✓\(3\)
    • D\(2\)

    Remarque

    Aire\((ABC)=\tfrac12\,\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|=\tfrac12\times6=3\).

15. Question 15

    Pour \(\lambda\in\mathbb{R}\), \((\lambda\vec u)\wedge\vec v\) vaut :

    • ✓\(\lambda(\vec u\wedge\vec v)\)
    • B\(\vec u\wedge\vec v\)
    • C\(\lambda^2(\vec u\wedge\vec v)\)
    • D\(\vec 0\)

    Remarque

    Le produit vectoriel est bilinéaire : \((\lambda\vec u)\wedge\vec v=\lambda(\vec u\wedge\vec v)=\vec u\wedge(\lambda\vec v)\).