QCM — Le produit scalaire dans l'espace

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Dans un repère orthonormé, pour \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\), \(\vec u\cdot\vec v\) vaut :

   • ✓\(xx'+yy'+zz'\)
   • B\(xyz+x'y'z'\)
   • C\(xx'-yy'-zz'\)
   • D\((x+x')(y+y')(z+z')\)

   Remarque

   En repère orthonormé, \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\).

2. Question 2

   Deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si :

   • A\(\vec u\cdot\vec v=1\)
   • ✓\(\vec u\cdot\vec v=0\)
   • C\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)
   • D\(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\)

   Remarque

   Deux vecteurs sont orthogonaux \(\iff\) leur produit scalaire est nul : \(\vec u\cdot\vec v=0\).

3. Question 3

   La norme \(\|\vec u\|\) de \(\vec u(x,y,z)\) vaut :

   • A\(x+y+z\)
   • B\(x^2+y^2+z^2\)
   • C\(\sqrt{xyz}\)
   • ✓\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

   Remarque

   \(\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

4. Question 4

   Avec \(\theta\) l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\), le produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v\) vaut :

   • A\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta\)
   • B\(\|\vec u\|+\|\vec v\|\)
   • ✓\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)
   • D\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\tan\theta\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) (le \(\sin\theta\) intervient dans le produit vectoriel).

5. Question 5

   Le plan d'équation \(2x-y+3z-5=0\) admet pour vecteur normal :

   • A\((2,1,3)\)
   • ✓\((2,-1,3)\)
   • C\((-5,0,0)\)
   • D\((2,-1,3,-5)\)

   Remarque

   Pour un plan \(ax+by+cz+d=0\), le vecteur \(\vec n(a,b,c)\) est normal : ici \(\vec n(2,-1,3)\).

6. Question 6

   Pour \(\vec u(1,2,-1)\) et \(\vec v(3,-1,1)\), le produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v\) vaut :

   • A\(6\)
   • B\(2\)
   • ✓\(0\)
   • D\(-2\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=1\times3+2\times(-1)+(-1)\times1=3-2-1=0\).

7. Question 7

   Toujours pour \(\vec u(1,2,-1)\) et \(\vec v(3,-1,1)\), les vecteurs sont :

   • Acolinéaires
   • ✓orthogonaux
   • Cégaux
   • Dopposés

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=0\) et les vecteurs sont non nuls : ils sont orthogonaux.

8. Question 8

   La distance du point \(A(x_0,y_0,z_0)\) au plan \((P):ax+by+cz+d=0\) est :

   • A\(\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a+b+c}\)
   • B\(|ax_0+by_0+cz_0+d|\)
   • C\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
   • ✓\(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

   Remarque

   \(d(A,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

9. Question 9

   La sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) a pour équation :

   • ✓\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
   • B\((x-a)+(y-b)+(z-c)=R\)
   • C\(x^2+y^2+z^2=R\)
   • D\((x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2=R^2\)

   Remarque

   Un point \(M(x,y,z)\) est sur la sphère \(\iff \Omega M=R\iff (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\).

10. Question 10

    Si \(\vec u\cdot\vec v=0\) avec \(\vec u,\vec v\) non nuls, l'angle géométrique entre \(\vec u\) et \(\vec v\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(\dfrac{\pi}{4}\)
    • ✓\(\dfrac{\pi}{2}\)
    • D\(\pi\)

    Remarque

    \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta=0\) donne \(\cos\theta=0\), soit \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\).

11. Question 11

    Le plan passant par \(O\) et de vecteur normal \(\vec n(1,-2,2)\) a pour équation :

    • ✓\(x-2y+2z=0\)
    • B\(x+2y+2z=0\)
    • C\(x-2y+2z-1=0\)
    • D\(2x-y+2z=0\)

    Remarque

    Un plan de vecteur normal \((a,b,c)\) passant par \(O\) a pour équation \(ax+by+cz=0\) : ici \(x-2y+2z=0\).

12. Question 12

    La norme du vecteur \(\vec u(2,-1,2)\) vaut :

    • ✓\(3\)
    • B\(5\)
    • C\(\sqrt5\)
    • D\(9\)

    Remarque

    \(\|\vec u\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3\).

13. Question 13

    Pour tout vecteur \(\vec u\), \(\vec u\cdot\vec u\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(\|\vec u\|\)
    • ✓\(\|\vec u\|^2\)
    • D\(2\|\vec u\|\)

    Remarque

    \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\) (produit scalaire d'un vecteur par lui-même).

14. Question 14

    La distance de \(O(0,0,0)\) au plan \((P):x+2y+2z-6=0\) vaut :

    • A\(6\)
    • ✓\(2\)
    • C\(3\)
    • D\(\dfrac{6}{5}\)

    Remarque

    \(d(O,P)=\dfrac{|1\cdot0+2\cdot0+2\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{6}{3}=2\).

15. Question 15

    La sphère d'équation \((x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9\) a pour centre et rayon :

    • A\(\Omega(1,-2,0),\ R=9\)
    • B\(\Omega(-1,2,0),\ R=3\)
    • ✓\(\Omega(1,-2,0),\ R=3\)
    • D\(\Omega(1,2,0),\ R=3\)

    Remarque

    Par identification avec \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\) : \(\Omega(1,-2,0)\) et \(R=\sqrt9=3\).

16. Question 16

    Le cosinus de l'angle \(\theta\) entre deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
    • B\(\vec u\cdot\vec v\)
    • C\(\dfrac{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}{\vec u\cdot\vec v}\)
    • D\(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|+\|\vec v\|}\)

    Remarque

    De \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) on tire \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).

17. Question 17

    Deux plans sont parallèles si et seulement si :

    • Aleurs vecteurs normaux sont orthogonaux
    • ✓leurs vecteurs normaux sont colinéaires
    • Cils ont le même terme constant
    • Dleurs vecteurs normaux sont égaux

    Remarque

    Deux plans sont parallèles \(\iff\) leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

18. Question 18

    Le plan \((yOz)\) d'équation \(x=0\) admet pour vecteur normal :

    • A\((0,1,0)\)
    • B\((0,0,1)\)
    • ✓\((1,0,0)\)
    • D\((1,1,1)\)

    Remarque

    \(x=0\) s'écrit \(1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0\) : un vecteur normal est \((1,0,0)\).