Les nombres complexes relient l'algèbre et la géométrie du plan. Cette fiche condense l'essentiel du programme PC/SVT : forme algébrique, conjugué, module, argument, forme trigonométrique et interprétation géométrique (distances, points alignés). Au Bac, l'exercice de complexes est souvent le plus « rentable » car très méthodique. Le piège classique : confondre le module et l'argument, ou oublier que z·z̄ = |z|². Maîtriser le passage entre forme algébrique et forme trigonométrique est la clé de tout l'exercice.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Les nombres complexes

Math Excellence

1 · Forme algébrique

Définition

• $z=a+ib$, avec $i^{2}=-1$
• $\operatorname{Re}(z)=a,\ \operatorname{Im}(z)=b$

$a,b\in\mathbb{R}$

Conjugué

• $\bar z=a-ib$
• Symétrique de $M$ par rapport à $(Ox)$

Module

• $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
• $z\,\bar z=|z|^{2}$

Astuce : $M(a,b)$ a pour affixe $z=a+ib$.

Point $M$ d'affixe $z=a+ib$ : module $|z|=OM$, argument $\theta=(\vec{u},\overrightarrow{OM})$.

2 · Conjugué & module — propriétés

$\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'}$

$\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar{z'}$

$\overline{\Big(\dfrac{z}{z'}\Big)}=\dfrac{\bar z}{\bar{z'}}$

$z\,\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$

$\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^{2}}$

$|z\,z'|=|z|\,|z'|$

$\Big|\dfrac{z}{z'}\Big|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

$|z^{n}|=|z|^{n}$

$|\bar z|=|z|$

$z$ et $\bar z$ : symétriques par rapport à l'axe réel (arguments $\theta$ et $-\theta$).

3 · Formes trigonométrique & exponentielle

Écritures de $z$

• Trigo : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
• Exponentielle : $z=r\,e^{i\theta}$
• $r=|z|$, $\cos\theta=\dfrac{a}{r},\ \sin\theta=\dfrac{b}{r}$

Arguments

• $\arg(z\,z')=\arg z+\arg z'$
• $\arg\dfrac{z}{z'}=\arg z-\arg z'$
• $\arg(z^{n})=n\arg z$

Astuce : $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$.

4 · Formules de Moivre & Euler

Moivre

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta$

• $\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}$

Euler

$\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

$\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

5 · Applications géométriques

Distances & milieu

• $AB=|z_B-z_A|$
• Milieu : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$

Ensembles de points

• $|z-z_A|=r$ : cercle de centre $A$
• $|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice de $[AB]$

Rotation

$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$

• Centre $\omega$, angle $\theta$

Angle orienté

$\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$

★ Astuces géniales

• $z\,\bar z=|z|^{2}$ : idéal pour simplifier $\dfrac1z$ et les quotients.
• Pour les puissances, passer en forme exponentielle (Moivre).
• $|z-z_A|$ est une distance : interpréter géométriquement.
• Multiplier par $e^{i\theta}$ $=$ rotation d'angle $\theta$.

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