QCM — Les nombres complexes

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(i^2\) vaut :

   • A\(1\)
   • ✓\(-1\)
   • C\(i\)
   • D\(-i\)

   Remarque

   Par définition de l'unité imaginaire, \(i^2=-1\).

2. Question 2

   Le conjugué du nombre complexe \(z=3-2i\) est :

   • A\(-3-2i\)
   • B\(-3+2i\)
   • C\(2-3i\)
   • ✓\(3+2i\)

   Remarque

   Le conjugué de \(a+ib\) est \(a-ib\) : ici \(\overline{3-2i}=3+2i\).

3. Question 3

   Le module \(|3+4i|\) vaut :

   • ✓\(5\)
   • B\(7\)
   • C\(25\)
   • D\(\sqrt{7}\)

   Remarque

   \(|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).

4. Question 4

   Pour \(z=-5+2i\), le couple \(\big(\operatorname{Re}(z),\operatorname{Im}(z)\big)\) est :

   • A\((-5,\,2i)\)
   • B\((2,\,-5)\)
   • ✓\((-5,\,2)\)
   • D\((5,\,2)\)

   Remarque

   \(\operatorname{Re}(z)=-5\) et \(\operatorname{Im}(z)=2\) : la partie imaginaire est un réel (sans le \(i\)).

5. Question 5

   Dans l'écriture \(z=r\,(\cos\theta+i\sin\theta)\), les réels \(r\) et \(\theta\) sont :

   • A\(r=\arg z,\ \theta=|z|\)
   • B\(r=\operatorname{Re}z,\ \theta=\operatorname{Im}z\)
   • C\(r=z,\ \theta=\bar z\)
   • ✓\(r=|z|,\ \theta=\arg z\)

   Remarque

   La forme trigonométrique utilise le module \(r=|z|\) et un argument \(\theta=\arg z\) (défini modulo \(2\pi\)).

6. Question 6

   Pour deux complexes \(z\) et \(z'\), \(|z\,z'|\) vaut :

   • A\(|z|+|z'|\)
   • B\(\dfrac{|z|}{|z'|}\)
   • ✓\(|z|\cdot|z'|\)
   • D\(|z|-|z'|\)

   Remarque

   Le module est multiplicatif : \(|z\,z'|=|z|\,|z'|\) (et \(\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}\)).

7. Question 7

   Pour \(z,z'\) non nuls, \(\arg(z\,z')\) vaut (modulo \(2\pi\)) :

   • A\(\arg z\cdot\arg z'\)
   • B\(\arg z-\arg z'\)
   • ✓\(\arg z+\arg z'\)
   • D\(0\)

   Remarque

   L'argument transforme le produit en somme : \(\arg(z\,z')=\arg z+\arg z'\ [2\pi]\).

8. Question 8

   Pour tout complexe \(z\), le produit \(z\,\bar z\) vaut :

   • ✓\(|z|^2\)
   • B\(z^2\)
   • C\(2\operatorname{Re}(z)\)
   • D\(2i\operatorname{Im}(z)\)

   Remarque

   \(z\,\bar z=|z|^2\) (réel positif). À ne pas confondre avec \(z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)\).

9. Question 9

   Les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2+9=0\) sont :

   • A\(3\) et \(-3\)
   • ✓\(3i\) et \(-3i\)
   • C\(9i\) uniquement
   • D\(i\sqrt3\)

   Remarque

   \(z^2=-9=(3i)^2\), donc \(z=3i\) ou \(z=-3i\).

10. Question 10

    D'après la formule d'Euler, \(e^{i\pi}\) vaut :

    • A\(1\)
    • B\(i\)
    • ✓\(-1\)
    • D\(-i\)

    Remarque

    \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) ; pour \(\theta=\pi\) : \(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\).

11. Question 11

    La forme trigonométrique \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\) s'écrit aussi :

    • ✓\(r\,e^{i\theta}\)
    • B\(e^{ir\theta}\)
    • C\(r\,e^{\theta}\)
    • D\(\theta\,e^{ir}\)

    Remarque

    Notation exponentielle : \(r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta}\), avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg z\).

12. Question 12

    Pour deux complexes \(z\) et \(z'\), \(\overline{z+z'}\) vaut :

    • A\(\bar z\cdot\bar z'\)
    • ✓\(\bar z+\bar z'\)
    • C\(\bar z-\bar z'\)
    • D\(z+z'\)

    Remarque

    La conjugaison est additive : \(\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'\) (et \(\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar z'\)).

13. Question 13

    Les solutions dans \(\mathbb{C}\) de \(z^2-2z+5=0\) sont :

    • A\(1\pm i\)
    • ✓\(1\pm 2i\)
    • C\(2\pm i\)
    • D\(-1\pm 2i\)

    Remarque

    \(\Delta=4-20=-16=(4i)^2\), donc \(z=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i\).

14. Question 14

    Pour \(z'\neq0\), \(\left|\dfrac{z}{z'}\right|\) vaut :

    • A\(|z|-|z'|\)
    • ✓\(\dfrac{|z|}{|z'|}\)
    • C\(|z|\cdot|z'|\)
    • D\(\dfrac{|z'|}{|z|}\)

    Remarque

    Le module d'un quotient est le quotient des modules : \(\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}\).

15. Question 15

    \(e^{i\pi/2}\) vaut :

    • A\(1\)
    • ✓\(i\)
    • C\(-1\)
    • D\(-i\)

    Remarque

    \(e^{i\pi/2}=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}=0+i=i\).

16. Question 16

    Un complexe \(z\) est imaginaire pur si et seulement si :

    • A\(\bar z=z\)
    • ✓\(\bar z=-z\)
    • C\(|z|=1\)
    • D\(z=0\)

    Remarque

    \(z\) imaginaire pur \(\iff \operatorname{Re}(z)=0\iff \bar z=-z\) (et \(z\) réel \(\iff \bar z=z\)).

17. Question 17

    Pour les points \(A\) et \(B\) d'affixes \(z_A\) et \(z_B\), la distance \(AB\) vaut :

    • ✓\(|z_B-z_A|\)
    • B\(z_B-z_A\)
    • C\(|z_B|-|z_A|\)
    • D\(|z_A+z_B|\)

    Remarque

    L'affixe de \(\overrightarrow{AB}\) est \(z_B-z_A\), donc \(AB=\big|z_B-z_A\big|\).

18. Question 18

    La forme algébrique de \((1+i)^2\) est :

    • A\(2\)
    • ✓\(2i\)
    • C\(1+2i\)
    • D\(-2i\)

    Remarque

    \((1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\).