QCM — Fonction exponentielle

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Pour tous réels \(a\) et \(b\), \(e^{a+b}\) vaut :

   • ✓\(e^{a}\times e^{b}\)
   • B\(e^{a}+e^{b}\)
   • C\(e^{ab}\)
   • D\(e^{a}-e^{b}\)

   Remarque

   L'exponentielle transforme la somme en produit : \(e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}\).

2. Question 2

   \(e^{0}\) vaut :

   • A\(0\)
   • B\(e\)
   • C\(+\infty\)
   • ✓\(1\)

   Remarque

   \(e^{0}=1\), et \(e^{1}=e\approx2{,}718\).

3. Question 3

   Pour tout réel \(x\), \(e^{x}\) est :

   • Apositif ou nul
   • ✓strictement positif
   • Cde signe variable
   • Dnégatif pour \(x<0\)

   Remarque

   L'exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : \(e^{x}>0\) pour tout \(x\), et elle ne s'annule jamais.

4. Question 4

   \((e^{x})'\) vaut :

   • A\(x\,e^{x-1}\)
   • B\(\dfrac{1}{e^{x}}\)
   • ✓\(e^{x}\)
   • D\(\dfrac{e^{x}}{x}\)

   Remarque

   L'exponentielle est sa propre dérivée : \((e^{x})'=e^{x}\). Plus généralement \((e^{u})'=u'\,e^{u}\).

5. Question 5

   La dérivée de \(e^{2x}\) est :

   • A\(e^{2x}\)
   • B\(2x\,e^{2x}\)
   • C\(\dfrac{e^{2x}}{2}\)
   • ✓\(2e^{2x}\)

   Remarque

   \((e^{u})'=u'\,e^{u}\) avec \(u=2x\), \(u'=2\) : donc \(2e^{2x}\).

6. Question 6

   \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}\) vaut :

   • ✓\(0\)
   • B\(-\infty\)
   • C\(1\)
   • D\(+\infty\)

   Remarque

   Quand \(x\to-\infty\), \(e^{x}\to0^{+}\). Et \(\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(+\infty\)
   • C\(1\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Croissances comparées : \(e^{x}\) l'emporte sur \(x\), donc \(\dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty\). Et \(x\,e^{x}\to0\) quand \(x\to-\infty\).

8. Question 8

   Pour \(a>0\), \(e^{\ln a}\) vaut :

   • A\(\ln a\)
   • B\(1\)
   • ✓\(a\)
   • D\(e\,a\)

   Remarque

   \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques : \(e^{\ln a}=a\) (pour \(a>0\)) et \(\ln(e^{x})=x\) (pour tout \(x\)).

9. Question 9

   La solution de l'équation \(e^{x}=1\) est :

   • ✓\(x=0\)
   • B\(x=1\)
   • C\(x=e\)
   • D\(x=-1\)

   Remarque

   \(e^{x}=1\iff x=\ln(1)=0\).

10. Question 10

    \(e^{-x}\) vaut :

    • A\(-e^{x}\)
    • B\(e^{x}\)
    • C\(1-e^{x}\)
    • ✓\(\dfrac{1}{e^{x}}\)

    Remarque

    \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}\), cas de \(e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\) avec \(a=0\).

11. Question 11

    Pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\) vaut :

    • A\(e^{a+b}\)
    • ✓\(e^{a-b}\)
    • C\(e^{ab}\)
    • D\(e^{a}-e^{b}\)

    Remarque

    \(\dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}\), conséquence de \(e^{a+b}=e^{a}e^{b}\).

12. Question 12

    \(\left(e^{x}\right)^{3}\) vaut :

    • A\(e^{x+3}\)
    • B\(3e^{x}\)
    • ✓\(e^{3x}\)
    • D\(e^{x^3}\)

    Remarque

    \(\left(e^{x}\right)^{n}=e^{nx}\), donc \(\left(e^{x}\right)^{3}=e^{3x}\).

13. Question 13

    \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(1\)
    • ✓\(+\infty\)
    • D\(e\)

    Remarque

    \(\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty\) (et \(\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+}\)).

14. Question 14

    La dérivée de \(e^{-x}\) est :

    • A\(e^{-x}\)
    • ✓\(-e^{-x}\)
    • C\(-x\,e^{-x}\)
    • D\(\dfrac{1}{e^{-x}}\)

    Remarque

    \((e^{u})'=u'e^{u}\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) : \((e^{-x})'=-e^{-x}\).

15. Question 15

    Pour tout réel \(x\), \(\ln\!\left(e^{x}\right)\) vaut :

    • ✓\(x\)
    • B\(e^{x}\)
    • C\(1\)
    • D\(|x|\)

    Remarque

    \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques : \(\ln(e^{x})=x\) pour tout \(x\) (et \(e^{\ln a}=a\) pour \(a>0\)).

16. Question 16

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\) vaut :

    • A\(0\)
    • ✓\(1\)
    • C\(e\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    C'est le nombre dérivé de \(\exp\) en \(0\) : \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=e^{0}=1\).

17. Question 17

    Les solutions de \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\) sont :

    • ✓\(x=0\) et \(x=\ln 2\)
    • B\(x=1\) et \(x=2\)
    • C\(x=\ln 2\) seulement
    • Daucune solution réelle

    Remarque

    En posant \(X=e^{x}>0\) : \(X^2-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(X=2\), d'où \(x=\ln1=0\) ou \(x=\ln2\).

18. Question 18

    \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}\) vaut :

    • A\(-\infty\)
    • ✓\(0\)
    • C\(1\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    Croissances comparées : \(e^{x}\) l'emporte, donc \(x\,e^{x}\to0\) quand \(x\to-\infty\).