QCM — Limite d'une suite numérique

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Une suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) lorsque :

   • Atous ses termes sont égaux à \(\ell\)
   • ✓à partir d'un certain rang, ses termes sont aussi proches de \(\ell\) que l'on veut
   • Celle est croissante et majorée par \(\ell\)
   • Delle est bornée

   Remarque

   Converger vers \(\ell\), c'est que tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang : la suite s'approche de \(\ell\) d'aussi près que l'on veut.

2. Question 2

   \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\) vaut :

   • ✓\(0\)
   • B\(1\)
   • C\(+\infty\)
   • Dcette limite n'existe pas

   Remarque

   \(\frac{1}{n}\to 0\). Plus généralement, \(\frac{1}{n^{\alpha}}\to 0\) pour tout \(\alpha>0\).

3. Question 3

   Soit \(q\) un réel. La suite \((q^{\,n})\) converge si et seulement si :

   • ✓\(-1 < q \le 1\)
   • B\(q > 1\)
   • C\(q \ge 0\)
   • D\(-1 \le q \le 1\)

   Remarque

   Si \(-1<q<1\) alors \(q^{\,n}\to 0\) ; si \(q=1\) alors \(q^{\,n}=1\to 1\). Pour \(q=-1\) la suite oscille, et pour \(q>1\) elle tend vers \(+\infty\). D'où la convergence \(\iff -1<q\le 1\).

4. Question 4

   Soit \(u_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\). La suite \((u_n)\) :

   • ✓converge vers \(0\)
   • Bconverge vers \(\dfrac{2}{3}\)
   • Cdiverge vers \(+\infty\)
   • Dest croissante

   Remarque

   Comme \(\left|\dfrac{2}{3}\right|<1\), on a \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0\). La suite est de plus décroissante et strictement positive.

5. Question 5

   Toute suite croissante et majorée :

   • Adiverge vers \(+\infty\)
   • Best constante
   • ✓converge
   • Dconverge nécessairement vers son majorant

   Remarque

   Théorème de la convergence monotone : une suite croissante et majorée converge. Sa limite est un réel \(\ell\) inférieur ou égal à tout majorant — mais pas forcément le majorant choisi.

6. Question 6

   On sait que \(-\dfrac{1}{n}\le u_n\le \dfrac{1}{n}\) pour tout \(n\ge 1\). On en déduit que :

   • ✓\(u_n\to 0\)
   • B\(u_n\to +\infty\)
   • C\((u_n)\) est constante
   • Don ne peut rien conclure

   Remarque

   Théorème des gendarmes (encadrement) : comme \(-\dfrac{1}{n}\to 0\) et \(\dfrac{1}{n}\to 0\), la suite encadrée \((u_n)\) tend elle aussi vers \(0\).

7. Question 7

   Si \(u_n\to 3\) et \(v_n\to +\infty\), alors \(u_n+v_n\) tend vers :

   • ✓\(+\infty\)
   • B\(3\)
   • C\(0\)
   • Dc'est une forme indéterminée

   Remarque

   \(3+(+\infty)=+\infty\). Ce n'est pas une forme indéterminée : pour une somme, seule \((+\infty)+(-\infty)\) l'est.

8. Question 8

   Parmi ces limites, laquelle est une forme indéterminée ?

   • A\(\dfrac{1}{+\infty}\)
   • ✓\((+\infty)-(+\infty)\)
   • C\(0\times 5\)
   • D\((+\infty)\times(+\infty)\)

   Remarque

   \((+\infty)-(+\infty)\) est indéterminée : le résultat dépend des suites en jeu. Les autres se calculent directement, par exemple \(\dfrac{1}{+\infty}=0\).

9. Question 9

   Une suite vérifie \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue. Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors :

   • A\(f(\ell)=0\)
   • ✓\(\ell=f(\ell)\)
   • C\(\ell=0\)
   • D\(f\) est croissante

   Remarque

   Par passage à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), la continuité de \(f\) donne \(\ell=f(\ell)\) : la limite est un point fixe de \(f\).

10. Question 10

    « Toute suite bornée est convergente. » Cette affirmation est :

    • Avraie, car une suite bornée est encadrée
    • ✓fausse : \(u_n=(-1)^{n}\) est bornée mais n'a pas de limite
    • Cvraie, d'après le théorème des gendarmes
    • Dfausse : une suite bornée tend toujours vers \(+\infty\)

    Remarque

    Être bornée n'entraîne pas la convergence. \(u_n=(-1)^{n}\) reste dans \([-1,1]\) (donc bornée) mais oscille entre \(-1\) et \(1\) : elle diverge. Il faut, en plus, la monotonie pour conclure.

11. Question 11

    Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), le terme général \(u_n\) vaut :

    • A\(u_0\times r^{n}\)
    • ✓\(u_0+nr\)
    • C\(u_0+(n-1)r\)
    • D\(nr\)

    Remarque

    Une suite arithmétique s'écrit \(u_n=u_0+nr\) (ou \(u_n=u_p+(n-p)r\) à partir d'un rang \(p\)).

12. Question 12

    Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), le terme général \(u_n\) vaut :

    • A\(u_0+nq\)
    • ✓\(u_0\,q^{n}\)
    • C\(u_0\,q^{n-1}\)
    • D\(n\,q^{n}\)

    Remarque

    Une suite géométrique s'écrit \(u_n=u_0\,q^{n}\) (ou \(u_n=u_p\,q^{\,n-p}\)).

13. Question 13

    La somme \(1+2+3+\cdots+n\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{n(n+1)}{2}\)
    • B\(n^2\)
    • C\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
    • D\(\dfrac{(n+1)^2}{2}\)

    Remarque

    \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

14. Question 14

    Pour \(q\neq1\), la somme \(1+q+q^2+\cdots+q^{n}\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
    • B\(\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\)
    • C\(n\,q^{n}\)
    • D\(\dfrac{q^{n+1}-1}{q}\)

    Remarque

    Somme des termes d'une suite géométrique : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (pour \(q\neq1\)).

15. Question 15

    Soit \(u_n=n^2\). Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) montre que la suite est :

    • Adécroissante
    • Bconstante
    • ✓strictement croissante
    • Dnon monotone

    Remarque

    \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-n^2=2n+1>0\) : la suite est strictement croissante.

16. Question 16

    La suite de terme général \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\) :

    • Aconverge vers \(0\)
    • Bconverge vers \(\dfrac{3}{2}\)
    • ✓diverge vers \(+\infty\)
    • Dest bornée

    Remarque

    Comme \(\dfrac{3}{2}>1\), \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}\to+\infty\).

17. Question 17

    Si \(u_n\ge n\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) :

    • Aconverge
    • ✓tend vers \(+\infty\)
    • Cest majorée
    • Dtend vers \(0\)

    Remarque

    Théorème de comparaison : \(u_n\ge n\) et \(n\to+\infty\), donc \(u_n\to+\infty\).

18. Question 18

    Toute suite décroissante et minorée :

    • Adiverge vers \(-\infty\)
    • ✓converge
    • Cest constante
    • Dtend vers son minorant

    Remarque

    Théorème de la convergence monotone : une suite décroissante et minorée converge (vers un réel supérieur ou égal à tout minorant).