2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 2

Limite d'une suite numérique

Le chapitre des suites en Sciences Mathématiques dépasse le cadre de l'analyse courante. Ce cours aborde, au-delà de la monotonie et des limites de référence, les suites adjacentes, les suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) avec une fonction contractante, et la démonstration rigoureuse par récurrence. Vous y travaillerez la rédaction attendue en SM : encadrer pour conclure, justifier chaque passage à la limite, prouver la convergence avant de calculer la limite. L'exercice de suites, fréquent dans les examens nationaux, exige une rédaction irréprochable autant qu'un calcul juste. Le cours met l'accent sur cette rigueur de raisonnement propre à la filière.

1 · Résumé du cours

Une suite n'est qu'une fonction dont la variable est un entier : tout le chapitre des limites s'applique encore. Ce qui change, c'est la façon de raisonner — on ne calcule pas toujours la limite, on la prouve par comparaison ou par monotonie, souvent par récurrence.

1.1 Qu'est-ce qu'une suite ?

Définition Une suite numérique

(u_n)

associe à tout entier

n

un réel

u_n

. Elle peut être définie :

explicitement : $u_n=f(n)$ — on calcule $u_n$ directement ;
par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1}=f(u_n)$ — il faut connaître $u_n$ pour obtenir $u_{n+1}$ .

1.2 Les deux suites de référence

Arithmétique & géométrique

Arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$ , d'où $u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r$ .
Géométrique de raison $q$ : $u_{n+1}=q\,u_n$ , d'où $u_n=u_0\,q^{\,n}=u_p\,q^{\,n-p}$ .

1.3 Sommes de termes consécutifs

Formules Pour une somme de

u_p

u_n

(soit

n-p+1

termes) :

\text{arithmétique :}\quad \sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\,\frac{u_p+u_n}{2}=(\text{nb termes})\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}.

\text{géométrique }(q\neq1):\quad \sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\,\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}=(\text{premier})\times\frac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}.

En particulier

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}

Compter les termes Le piège classique : le nombre de termes de

u_p+\dots+u_n

est

n-p+1

(et non

n-p

). Une fois ce compte fait : « nombre de termes

\times

moyenne des extrêmes » (arithmétique), « premier

\times\frac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}

» (géométrique).

1.4 Monotonie & suites bornées

Définitions

Croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$ ; décroissante si $u_{n+1}\le u_n$ .
Majorée s'il existe $M$ tel que $u_n\le M$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_n\ge m$ .
Bornée si elle est majorée et minorée.

Étudier la monotonie Trois techniques selon la forme de

u_n

: ① signe de

u_{n+1}-u_n

(la plus courante) ; ② si

u_n>0

, comparer le quotient

\frac{u_{n+1}}{u_n}

1

; ③ si

u_n=f(n)

, étudier les variations de

f

sur

[0,+\infty[

1.5 Suite convergente, suite divergente

Définitions intuitives

$(u_n)$ converge vers $\ell$ si $u_n$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $n$ est assez grand : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ .
$(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si $u_n$ dépasse tout réel dès que $n$ est assez grand.

Divergente ne veut pas dire « infinie » Une suite est divergente dès qu'elle ne converge pas. Deux cas très différents : elle tend vers

\pm\infty

(ex.

u_n=n^{2}

) ; ou elle n'a aucune limite —

u_n=(-1)^{n}

oscille entre

-1

1

sans se stabiliser, tout en étant bornée. Retenez : bornée n'implique pas convergente.

1.6 La définition formelle : le langage des « $\varepsilon$ »

Limite finie, version rigoureuse

\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\iff \big(\forall\varepsilon>0\big)\,\big(\exists N\in\mathbb{N}\big)\,\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\quad n\ge N\ \Longrightarrow\ |u_n-\ell|<\varepsilon.

Quelle que soit la bande

]\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon[

choisie autour de

\ell

, tous les termes y entrent à partir d'un certain rang $N$ — et n'en ressortent plus.

Limite infinie

\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\iff \big(\forall B>0\big)\,\big(\exists N\in\mathbb{N}\big)\,\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\quad n\ge N\ \Longrightarrow\ u_n>B.

Le rang

N

dépend de

\varepsilon

L'ordre des quantificateurs est tout :

\varepsilon

est donné d'abord,

N

construit ensuite en fonction de

\varepsilon

. Méthode : on résout l'inéquation

|u_n-\ell|<\varepsilon

d'inconnue

n

, et on prend

N=\big\lfloor\text{valeur}\big\rfloor+1

1.7 Unicité de la limite

Propriété Si une suite converge, sa limite est unique. De plus, toute suite convergente est bornée (la réciproque étant fausse).

1.8 Limites usuelles & formes indéterminées

Limites usuelles

\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0,\quad \lim_{n\to+\infty}\frac1{n^{2}}=0,\quad \lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0,

\lim_{n\to+\infty}n=+\infty,\quad \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty,\quad \lim_{n\to+\infty}n^{k}=+\infty\ (k>0).

Les F.I. : rien de nouveau Les opérations sur les limites de suites sont exactement celles des fonctions, et les quatre F.I. sont les mêmes :

\frac{\infty}{\infty},\ \frac00,\ \infty-\infty,\ 0\times\infty

. Les méthodes du chapitre 1 s'appliquent telles quelles : factoriser par le terme dominant, quantité conjuguée.

1.9 Critères de convergence

Le cœur du chapitre : ces théorèmes permettent de prouver qu'une limite existe, même sans savoir la calculer.

Théorème des gendarmes Si, à partir d'un certain rang,

u_n\le v_n\le w_n

\displaystyle\lim u_n=\lim w_n=\ell

, alors

(v_n)

converge et

\displaystyle\lim v_n=\ell

.
Déclencheur : un

\sin n

\cos n

? On ne sait pas le calculer, mais

-1\le\sin n\le1

— point de départ de l'encadrement.

Divergence par comparaison À partir d'un certain rang : si

u_n\ge v_n

\lim v_n=+\infty

, alors

\lim u_n=+\infty

; si

u_n\le v_n

\lim v_n=-\infty

, alors

\lim u_n=-\infty

. « Plus grand que l'infini

\Rightarrow

infini. »

Convergence monotone Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante non majorée tend vers

+\infty

Ce que le théorème ne dit PAS Il prouve que la limite existe, mais ne la donne pas. Et

\ell

n'est pas forcément égale au majorant

M

: on sait seulement

\ell\le M

1.10 Suites adjacentes

Définition

(u_n)

(v_n)

sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0

Théorème Deux suites adjacentes (

(u_n)

croissante,

(v_n)

décroissante) convergent vers la même limite

\ell

, et pour tout

n

u_n\le\ell\le v_n

. Cet encadrement est d'autant plus fin que

n

est grand — la méthode reine pour approcher un réel qu'on ne sait pas calculer.

1.11 Les suites particulières

Suites

u_n=f(n)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=L

, alors

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(n)=L

. La réciproque est fausse :

f(x)=\sin(2\pi x)

donne

f(n)=0

pour tout entier alors que

f

n'a pas de limite.

Suites géométriques

q^{\,n}

\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=\begin{cases}0 & \text{si } |q|<1,\\ 1 & \text{si } q=1,\\ +\infty & \text{si } q>1,\\ \text{pas de limite} & \text{si } q\le-1.\end{cases}

C'est $|q|$ qui décide de la convergence vers

0

; le signe ne fait qu'alterner les termes.

Suites

v_n=f(u_n)

& récurrentes Si

\lim u_n=a

f

continue en

a

, alors

\lim f(u_n)=f(a)

. Conséquence : si

u_{n+1}=f(u_n)

converge vers

\ell

f

continue en

\ell

, alors

\ell

est un point fixe :

\boxed{\ell=f(\ell)}

L'erreur qui coûte tous les points Ce théorème suppose que la suite converge déjà. Résoudre

\ell=f(\ell)

sans avoir prouvé la convergence donne un candidat, pas une limite. Ordre imposé : ① prouver la convergence (monotone + bornée, par récurrence) ; ② résoudre

\ell=f(\ell)

et écarter les solutions incompatibles.

Lecture graphique d'une suite récurrente : on rebondit entre

(C_f)

et la droite

y=x

. L'escalier converge vers le point fixe

\ell

1.12 Suites arithmético-géométriques

Définition

(u_n)

est arithmético-géométrique s'il existe

a\neq1

b

tels que

u_{n+1}=a\,u_n+b

pour tout

n

La ramener à une suite géométrique (point fixe) ① Point fixe :

\ell=a\,\ell+b

, soit

\ell=\frac{b}{1-a}

. ② Poser

v_n=u_n-\ell

: alors

v_{n+1}=a\,v_n

, donc

(v_n)

est géométrique de raison

a

. ③ D'où

\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^{n}}

. ④ Si

|a|<1

, alors

a^{n}\to0

u_n\to\ell

1.13 Méthode de contraction (approche SM)

Inégalité de contraction Soit

f

dérivable sur un intervalle

I

stable par

f

, contenant le point fixe

\ell

. S'il existe

k

avec

0\le k<1

tel que

|f'(x)|\le k

sur

I

, alors pour

u_{n+1}=f(u_n)

à valeurs dans

I

|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell|\qquad\text{d'où}\qquad |u_n-\ell|\le k^{\,n}\,|u_0-\ell|.

Comme

0\le k<1

k^{n}\to0

, donc

(u_n)

converge vers

\ell

D'où vient l'inégalité On écrit

u_{n+1}-\ell=f(u_n)-f(\ell)

, puis on applique l'inégalité des accroissements finis :

|f(u_n)-f(\ell)|\le k\,|u_n-\ell|

. L'erreur est divisée par au moins

\frac1k

à chaque rang : convergence géométrique, très rapide.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Suites de référence & sommes

Arithmétique / géométrique, formules de somme, compter les termes.

Monotonie & bornes

Signe de $u_{n+1}-u_n$ , quotient, variations de $f$ .

Limites & définition « $\varepsilon$ »

Limites usuelles, F.I. (chapitre 1), démonstration avec le rang $N$ .

Critères de convergence

Gendarmes, comparaison, convergence monotone, suites adjacentes.

Suites particulières

$q^{n}$ , $f(n)$ , récurrentes & point fixe.

Arithmético-géo & contraction

$v_n=u_n-\ell$ , inégalité $|f'|\le k<1$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites · terme dominant &

q^n

Exercice 1

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac13\Big)^{n}$ .

Voir la correction

a) Forme $\frac{\infty}{\infty}$ , on factorise par $n^{2}$ : $\dfrac{n^{2}(1-\frac1n)}{n^{2}(2+\frac1{n^{2}})}=\dfrac{1-\frac1n}{2+\frac1{n^{2}}}\to\dfrac12$ . b) Géométrique de raison $\frac13$ , $|\frac13|<1$ donc $\to0$ .

Gendarmes · un sinus

Exercice 2

Soit $u_n=\dfrac{\sin n}{n}$ ( $n\ge1$ ). Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite.

Voir la correction

On encadre : $-1\le\sin n\le1$ . Comme $n>0$ , $-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n$ . Les deux gendarmes tendent vers $0$ ⇒ (encadrement) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0$ . ∎

Définition «

\varepsilon

Exercice 3

Montrer, avec la définition, que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2$ .

Voir la correction

Soit $\varepsilon>0$ . Pour $n\ge1$ , $\big|\frac{2n+1}{n}-2\big|=\frac1n$ . Or $\frac1n<\varepsilon\iff n>\frac1\varepsilon$ : on pose $N=\lfloor\frac1\varepsilon\rfloor+1$ . Pour tout $n\ge N$ , $\big|\frac{2n+1}{n}-2\big|<\varepsilon$ . ∎

Suite récurrente · récurrence + point fixe

Exercice 4

$(u_n)$ : $u_0=1$ , $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $0\le u_n\le2$ , que $(u_n)$ est croissante, puis calculer sa limite.

Voir la correction

Bornée : $u_0=1\in[0;2]$ . Si $0\le u_n\le2$ alors $2\le u_n+2\le4$ , et par croissance de la racine $\sqrt2\le u_{n+1}\le2$ ⇒ $0\le u_{n+1}\le2$ . Croissante : $u_{n+1}^{2}-u_n^{2}=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0$ car $(u_n-2)\le0$ et $(u_n+1)>0$ ; termes positifs ⇒ $u_{n+1}\ge u_n$ . Limite : croissante majorée ⇒ converge vers $\ell$ ; $f(x)=\sqrt{x+2}$ continue ⇒ $\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^{2}-\ell-2=0\Rightarrow(\ell-2)(\ell+1)=0$ . Comme $\ell\ge0$ , on écarte $-1$ : $\lim u_n=2$ . ∎

Arithmético-géométrique

Exercice 5

$u_0=5$ , $u_{n+1}=\frac12u_n+3$ . Exprimer $u_n$ et calculer sa limite.

Voir la correction

Point fixe : $\ell=\frac12\ell+3\Rightarrow\ell=6$ . Posons $v_n=u_n-6$ : $v_{n+1}=\frac12v_n$ , $v_0=-1$ , donc $v_n=-\big(\frac12\big)^{n}$ . Ainsi $u_n=6-\big(\frac12\big)^{n}\to6$ car $|\frac12|<1$ .

Divergence · raisonnement par l'absurde

Exercice 6

Montrer que $u_n=(-1)^{n}$ n'a pas de limite.

Voir la correction

Supposons $u_n\to\ell$ et prenons $\varepsilon=1$ : il existe $N$ tel que $|u_n-\ell|<1$ pour $n\ge N$ . Avec $n$ pair puis impair : $|1-\ell|<1$ et $|-1-\ell|<1$ . L'inégalité triangulaire donne $2=|1-(-1)|\le|1-\ell|+|\ell+1|<2$ , soit $2<2$ : absurde. Donc $(u_n)$ diverge. ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Les F.I. et leurs méthodes sont celles du chapitre 1 : factoriser le terme dominant.

Astuce Un

\sin n

\cos n

\Rightarrow

gendarmes (

-1\le\sin n\le1

Astuce Pour

q^{n}

, c'est

|q|

qui décide :

|q|<1\Rightarrow0

Astuce Somme : arithmétique

=

nb termes

\times

moyenne des extrêmes ; géométrique

=u_p\frac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}

Astuce Arithmético-géo : point fixe

\ell=\frac{b}{1-a}

, puis

v_n=u_n-\ell

est géométrique de raison

a

Piège Bornée $\neq$ convergente :

(-1)^{n}

le prouve.

Piège Monotone + bornée $\Rightarrow$ convergente : le théorème prouve l'existence, pas la valeur (

\ell\le M

, pas

\ell=M

Piège Suite récurrente : prouver la convergence d'abord, résoudre

\ell=f(\ell)

ensuite, et écarter les solutions impossibles.

Piège Nombre de termes : de

u_p

u_n

il y en a

n-p+1

, pas

n-p

Formulaire à retenir

Arithmétique

u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r

Géométrique

u_n=u_0\,q^{\,n}=u_p\,q^{\,n-p}

Somme arithmétique

\displaystyle\sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\dfrac{u_p+u_n}{2}

Somme géométrique

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\ (q\neq1)

Définition «

\varepsilon

\lim u_n=\ell\iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n\ge N\Rightarrow|u_n-\ell|<\varepsilon

Limites usuelles

\dfrac1n,\ \dfrac1{n^{2}},\ \dfrac1{\sqrt n}\to0

;

n,\ \sqrt n,\ n^{k}\to+\infty

Gendarmes

u_n\le v_n\le w_n,\ \lim u_n=\lim w_n=\ell\Rightarrow\lim v_n=\ell

Convergence monotone croissante + majorée

\Rightarrow

convergente

Suites adjacentes

\nearrow

\searrow

v_n-u_n\to0\Rightarrow

même limite,

u_n\le\ell\le v_n

Suite géométrique

q^{n}

\to0

|q|<1

;

\to+\infty

q>1

; div. si

q\le-1

Point fixe

u_{n+1}=f(u_n)

converge,

f

continue

\Rightarrow\ell=f(\ell)

Arithmético-géo

\ell=\dfrac{b}{1-a}

u_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}

Contraction

|f'|\le k<1\Rightarrow|u_n-\ell|\le k^{n}|u_0-\ell|

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 20 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Limite d'une suite numérique

1 · Résumé du cours

1.1 Qu'est-ce qu'une suite ?

1.2 Les deux suites de référence

1.3 Sommes de termes consécutifs

1.4 Monotonie & suites bornées

1.5 Suite convergente, suite divergente

1.6 La définition formelle : le langage des « ε\varepsilonε »

1.7 Unicité de la limite

1.8 Limites usuelles & formes indéterminées

1.9 Critères de convergence

1.10 Suites adjacentes

1.11 Les suites particulières

1.12 Suites arithmético-géométriques

1.13 Méthode de contraction (approche SM)

2 · Feuille de route

Suites de référence & sommes

Monotonie & bornes

Limites & définition « ε\varepsilonε »

Critères de convergence

Suites particulières

Arithmético-géo & contraction

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.6 La définition formelle : le langage des « $\varepsilon$ »

Limites & définition « $\varepsilon$ »