QCM — Limite d'une suite numérique (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), on a \(u_n=\) :

   • A\(u_0\, r^{n}\)
   • ✓\(u_0+nr\)
   • C\(u_0+r\)
   • D\(nu_0\)

   Remarque

   Une suite arithmétique s'obtient en ajoutant \(r\) à chaque étape : \(u_n=u_0+nr\).

2. Question 2

   Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a \(u_n=\) :

   • A\(u_0+nq\)
   • ✓\(u_0\, q^{n}\)
   • C\(u_0\, n^{q}\)
   • D\(q^{u_0}\)

   Remarque

   Une suite géométrique se multiplie par \(q\) à chaque étape : \(u_n=u_0\,q^{n}\).

3. Question 3

   \(1+2+3+\dots+n\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{n(n+1)}{2}\)
   • B\(n^{2}\)
   • C\(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
   • D\(\dfrac{(n+1)^2}{2}\)

   Remarque

   Somme des \(n\) premiers entiers : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

4. Question 4

   La suite \((q^{n})\) converge si et seulement si :

   • A\(q>1\)
   • ✓\(-1<q\le 1\)
   • C\(q\ge 0\)
   • D\(-1\le q\le 1\)

   Remarque

   Si \(-1<q<1\), \(q^{n}\to 0\) ; si \(q=1\), \(q^{n}=1\to 1\). Pour \(q=-1\) elle oscille et pour \(q>1\) elle diverge. D'où \(-1<q\le 1\).

5. Question 5

   Toute suite croissante et majorée :

   • Adiverge vers \(+\infty\)
   • Best constante
   • ✓converge
   • Dconverge vers son majorant

   Remarque

   Théorème de la convergence monotone : une suite croissante et majorée converge (vers un réel \(\le\) tout majorant).

6. Question 6

   Une suite convergente :

   • Apeut admettre deux limites différentes
   • ✓admet une unique limite
   • Cest toujours croissante
   • Dn'est jamais bornée

   Remarque

   Unicité de la limite : si une suite converge, sa limite est unique. Toute suite convergente est de plus bornée.

7. Question 7

   Si \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) décroissante et \(v_n-u_n\to 0\), alors :

   • Aelles divergent
   • ✓elles convergent vers une même limite
   • C\(u_n>v_n\)
   • Don ne peut rien dire

   Remarque

   Ce sont des suites adjacentes : elles convergent toutes deux vers la même limite \(\ell\), avec \(u_n\le \ell\le v_n\).

8. Question 8

   Pour \(q\ne 1\), \(1+q+q^{2}+\dots+q^{n}\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
   • B\(\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\)
   • C\(\dfrac{q^{n+1}-1}{q}\)
   • D\((n+1)q^{n}\)

   Remarque

   Somme géométrique : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

9. Question 9

   Pour \(u_{n+1}=a\,u_n+b\) (avec \(a\ne 1\)), le point fixe \(\ell\) vaut :

   • ✓\(\dfrac{b}{1-a}\)
   • B\(\dfrac{a}{1-b}\)
   • C\(a+b\)
   • D\(\dfrac{b}{a}\)

   Remarque

   Le point fixe vérifie \(\ell=a\ell+b\), soit \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\). La suite \(w_n=u_n-\ell\) est alors géométrique de raison \(a\).

10. Question 10

    Si \(|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell|\) avec \(0\le k<1\), alors :

    • A\((u_n)\) diverge
    • ✓\(u_n\to \ell\)
    • C\((u_n)\) est constante
    • D\(u_n\to k\)

    Remarque

    Méthode de contraction : par récurrence \(|u_n-\ell|\le k^{n}|u_0-\ell|\), et \(k^{n}\to 0\) car \(0\le k<1\). Donc \(u_n\to\ell\).

11. Question 11

    \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}\) vaut :

    • A\(0\)
    • ✓\(1\)
    • C\(+\infty\)
    • D\(\tfrac12\)

    Remarque

    \(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\frac1n}\to 1\).

12. Question 12

    Théorème des gendarmes (suites) : si \(|u_n|\le v_n\) et \(v_n\to 0\), alors :

    • ✓\(u_n\to 0\)
    • B\(u_n\to +\infty\)
    • C\((u_n)\) diverge
    • D\(u_n\to v_n\)

    Remarque

    \(-v_n\le u_n\le v_n\) avec \(v_n\to 0\) : par encadrement \(u_n\to 0\).

13. Question 13

    La somme \(1^{2}+2^{2}+\dots+n^{2}\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
    • B\(\dfrac{n(n+1)}{2}\)
    • C\(\Big(\dfrac{n(n+1)}{2}\Big)^{2}\)
    • D\(\dfrac{n^{3}}{3}\)

    Remarque

    Somme des carrés des \(n\) premiers entiers : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

14. Question 14

    La suite \(u_n=(-1)^{n}\) :

    • Aconverge vers \(0\)
    • ✓diverge (elle oscille entre \(-1\) et \(1\))
    • Cconverge vers \(1\)
    • Dtend vers \(+\infty\)

    Remarque

    Les sous-suites paire (\(=1\)) et impaire (\(=-1\)) ont des limites différentes : \((u_n)\) n'a pas de limite, elle diverge.

15. Question 15

    Toute suite décroissante et minorée :

    • Adiverge vers \(-\infty\)
    • ✓converge
    • Cest constante
    • Dtend vers son minorant

    Remarque

    Théorème de la convergence monotone : une suite décroissante et minorée converge (vers un réel \(\ge\) tout minorant).

16. Question 16

    \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big(\dfrac12\Big)^{n}\) vaut :

    • ✓\(0\)
    • B\(1\)
    • C\(+\infty\)
    • D\(\tfrac12\)

    Remarque

    Pour \(|q|<1\), \(q^{n}\to 0\). Ici \(q=\tfrac12\), donc \(\big(\tfrac12\big)^{n}\to 0\).

17. Question 17

    Si \(u_n\to\ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\), alors la suite \(\big(f(u_n)\big)\) :

    • ✓tend vers \(f(\ell)\)
    • Btend vers \(\ell\)
    • Cdiverge
    • Dtend vers \(f'(\ell)\)

    Remarque

    Continuité séquentielle : si \(u_n\to\ell\) et \(f\) continue en \(\ell\), alors \(f(u_n)\to f(\ell)\).

18. Question 18

    Toute suite convergente est :

    • ✓bornée
    • Bcroissante
    • Cgéométrique
    • Dnon majorée

    Remarque

    Une suite convergente est nécessairement bornée (la réciproque est fausse : \((-1)^{n}\) est bornée mais diverge).

19. Question 19

    \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n^{2}+n}{n^{2}+1}\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(1\)
    • ✓\(2\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    On factorise par \(n^{2}\) : \(\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac{1}{n^{2}}}\to 2\).

20. Question 20

    Si \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue et \(u_n\to\ell\), alors la limite \(\ell\) vérifie :

    • ✓\(\ell=f(\ell)\)
    • B\(\ell=f'(\ell)\)
    • C\(\ell=0\)
    • D\(f(\ell)=0\)

    Remarque

    En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\) (\(f\) continue), on obtient \(\ell=f(\ell)\) : la limite est un point fixe de \(f\).