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Le chapitre des suites en Sciences Mathématiques va plus loin que l'analyse standard : suites adjacentes, suites du type uₙ₊₁ = f(uₙ) avec contraction, et démonstrations soignées par récurrence. Cette fiche rassemble le vocabulaire, les limites de référence, le théorème des gendarmes et la convergence monotone. En SM, on attend une rédaction irréprochable des récurrences et une justification propre du passage à la limite ℓ = f(ℓ). Le réflexe gagnant : encadrer pour conclure, plutôt qu'affirmer une limite sans preuve.

uₙ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Limite d'une suite — Méthodes & Théorèmes

Math Excellence
1 · Suites de référence & sommes
Arithmétique
un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r
un=u0+nru_n=u_0+nr
Géométrique
un+1=q unu_{n+1}=q\,u_n
un=u0 q nu_n=u_0\,q^{\,n}
Somme arith.
nb × moyenne
(n−p+1)up+un2(n{-}p{+}1)\dfrac{u_p+u_n}{2}
Somme géo.
q≠1q\neq1
∑k=0nqk=1−q n+11−q\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}
Compter
nb de termes
de upu_p à unu_n : n−p+1n-p+1
Arithmético-géo.
un+1=a un+bu_{n+1}=a\,u_n+b
point fixe ℓ=b1−a\ell=\frac{b}{1-a}
Limite de qnq^{n}
|q|<1\Rightarrow q^{n}\to0
q>1⇒+∞q>1\Rightarrow+\infty
Récurrente
un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
monotonie + ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell)
2 · Prouver une limite — la bonne méthode
∞∞\frac{\infty}{\infty}, 00\frac00…
  • Méthodes du chapitre 1
  • Factoriser le terme dominant
  • Quantité conjuguée
Ex : lim⁡n2−n2n2+1=12\displaystyle\lim\frac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}=\frac12
Gendarmes
  • Encadrer un≤vn≤wnu_n\le v_n\le w_n
  • Déclencheur : sin⁡n\sin n, cos⁡n\cos n
Astuce : −1≤sin⁡n≤1-1\le\sin n\le1 !
Ex : lim⁡sin⁡nn=0\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0
Convergence monotone
  • Croissante + majorée ⇒ converge
  • Décroissante + minorée ⇒ converge
Piège : ℓ≤M\ell\le M, pas ℓ=M\ell=M !
Comparaison
  • un≥vn→+∞⇒un→+∞u_n\ge v_n\to+\infty\Rightarrow u_n\to+\infty
Astuce : pour +∞+\infty, il faut minorer !
Suites adjacentes
  • ↗\nearrow, ↘\searrow, vn−un→0v_n-u_n\to0
  • Même limite, un≤ℓ≤vnu_n\le\ell\le v_n
Définition « ε\varepsilon »
  • Résoudre ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon
  • N=⌊valeur⌋+1N=\lfloor\text{valeur}\rfloor+1
3 · Limites usuelles & qnq^{n}
lim⁡n→+∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0
lim⁡n→+∞1n2=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^{2}}=0
lim⁡n→+∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0
lim⁡n→+∞n=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n=+\infty
lim⁡n→+∞n=+∞\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty
lim⁡n→+∞nk=+∞ (k>0)\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^{k}=+\infty\ (k>0)
qn→0q^{n}\to0 si ∣q∣<1|q|<1
qn→+∞q^{n}\to+\infty si q>1q>1
qnq^{n} diverge si q≤−1q\le-1
4 · Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
Méthode (4 étapes)
  • ① Bornée (récurrence)
  • ② Monotonie
  • ③ Convergence monotone
  • ④ Résoudre ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell), écarter
Piège : convergence d'abord, point fixe ensuite !
Point fixe
  • (un)(u_n) converge + ff continue
  • ⇒ℓ=f(ℓ)\Rightarrow\ell=f(\ell)
Ex : un+1=un+2⇒ℓ=2u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\Rightarrow\ell=2
Arithmético-géo un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b
  • ℓ=b1−a\ell=\frac{b}{1-a}
  • vn=un−ℓv_n=u_n-\ell géométrique de raison aa
  • un=ℓ+(u0−ℓ)anu_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}
Contraction (SM)
  • |f'(x)|\le k&lt;1 sur II
  • ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣→0|u_n-\ell|\le k^{n}|u_0-\ell|\to0
Astuce : convergence géométrique, rapide !
★ Astuces géniales
  • Bornée ≠\neq convergente : (−1)n(-1)^{n} le prouve.
  • Un sin⁡n\sin n / cos⁡n\cos n ? ⇒\Rightarrow gendarmes.
  • Pour qnq^{n}, c'est ∣q∣|q| qui décide.
  • Récurrente : prouver la convergence avant de résoudre ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell).
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