Fiche de révision — Dérivation & étude des fonctions · 2ᵉ Bac SM

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L'étude des fonctions en Sciences Mathématiques mobilise des outils fins : dérivée d'une fonction réciproque, dérivées d'ordre supérieur, convexité, théorème de Rolle et théorème des accroissements finis. Cette fiche réunit les dérivées usuelles, les règles de dérivation et les théorèmes d'analyse à connaître par cœur. Dans les sujets d'examen national SM, ces théorèmes servent à démontrer des inégalités ou l'existence de solutions. Ne confondez pas extremum et point d'inflexion : le premier concerne f′, le second f″.

f′

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Dérivation & étude des fonctions — Méthodes & Théorèmes

Math Excellence

1 · Dériver sans erreur

Composée

(v\circ u)'=u'\,v'(u)

toujours le

u'

Quotient

\Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}

(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}

Exp / log

(e^{u})'=u'e^{u}

(\ln u)'=\frac{u'}{u}

Arctan

\big(\operatorname{Arctan}u\big)'=\frac{u'}{1+u^{2}}

(\tan x)'=1+\tan^{2}x

Réciproque

\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac1{f'(a)}

b=f(a)

f'(a)\neq0

Produit

(uv)'=u'v+uv'

deux facteurs

Puissance / racine

(u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1}

(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}

Trigo

(\sin u)'=u'\cos u

(\cos u)'=-u'\sin u

2 · Les grands théorèmes

Tangente & approximation

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$

Ex :

\sqrt{4{,}02}\approx2{,}005

Rolle

Continue $[a,b]$ , dérivable $]a,b[$
$f(a)=f(b)\Rightarrow\exists c,\ f'(c)=0$

Idée : tangente horizontale.

Accroissements finis

$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
Tangente ∥ à la corde

Encadrer :

\ln b-\ln a=\frac{b-a}{c}

Inégalité des A.F.

$|f'|\le k\Rightarrow|f(b)-f(a)|\le k|b-a|$

Lien : contraction des suites récurrentes.

Dérivable ⇒ continue

Jamais l'inverse
$|x|$ continue mais non dérivable en $0$

Identité constante ?

Montrer $g'=0$
Évaluer en un point

Ex :

\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x=\frac\pi2

3 · Dérivées usuelles

(x^{r})'=r\,x^{r-1}

\big(\frac1x\big)'=-\frac1{x^{2}}

(\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}

(e^{x})'=e^{x}

(\ln x)'=\frac1x

(\sin x)'=\cos x

(\cos x)'=-\sin x

(\tan x)'=1+\tan^{2}x

\big(\operatorname{Arctan}x\big)'=\frac1{1+x^{2}}

4 · Plan d'étude d'une fonction

Étapes (7)

① Domaine $D_f$
② Symétries, période
③ Limites ⇒ asymptotes
④ $f'$ , signe, variations
⑤ $f''$ , convexité, inflexions
⑥ Points & tangentes
⑦ Tracé

Extremum

$f'$ s'annule en changeant de signe

Piège :

x^{3}

f'(0)=0

sans extremum.

Asymptote oblique

y=ax+b

$a=\lim\frac{f(x)}{x}$
$b=\lim\big(f(x)-ax\big)$

Branche parabolique

$L=\lim\frac{f(x)}{x}$ décide

Piège : direction

\neq

asymptote.

★ Astuces géniales

Composée : ne jamais oublier le $u'$ .
Rolle : même hauteur ⇒ $f'$ s'annule.
Arctan : réciproque de $\tan$ , dérivée $\frac1{1+x^{2}}$ .
Identité constante ? $g'=0$ puis un point.

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