2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 3

Dérivation & étude des fonctions

L'étude des fonctions en Sciences Mathématiques mobilise des théorèmes que les autres filières n'abordent pas. Ce cours présente la dérivée d'une fonction réciproque, les dérivées successives, la convexité, ainsi que les théorèmes de Rolle et des accroissements finis. Vous apprendrez à vous en servir pour démontrer des inégalités ou établir l'existence de solutions — des usages typiques des sujets d'examen national. Le cours distingue soigneusement ce qui relève de la dérivée première (variations, extremums) et de la dérivée seconde (convexité, points d'inflexion). En SM, l'étude de fonction n'est pas qu'un calcul : c'est un raisonnement structuré que ce chapitre vous apprend à conduire.

1 · Résumé du cours

La dérivation transforme une formule en information sur la courbe. En Sciences Maths, on va plus loin : les théorèmes de Rolle et des accroissements finis fondent l'étude des variations, et la fonction Arctangente enrichit la boîte à outils.

1.1 Nombre dérivé & tangente

Définition

f

est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f'(a)

est le coefficient directeur de la tangente en

A(a,f(a))

\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}

Demi-tangentes Si

f'_d(a)\neq f'_g(a)

A

est un point anguleux (ex.

|x|

0

, pentes

-1

+1

). Si le quotient tend vers

\pm\infty

, la courbe admet une tangente verticale en

A

1.2 Approximation affine locale

Propriété Si

f

est dérivable en

a

, alors pour

h

voisin de

0

\boxed{f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)}

Plus précisément

f(a+h)=f(a)+h\,f'(a)+h\,\varepsilon(h)

avec

\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0

: au voisinage de

a

, on remplace la courbe par sa tangente.

Exemple Estimons

\sqrt{4{,}02}

avec

f(x)=\sqrt x

a=4

h=0{,}02

f'(4)=\frac1{2\sqrt4}=\frac14

, donc

\sqrt{4{,}02}\approx2+0{,}02\times\frac14=2{,}005

(exact :

2{,}00499\ldots

, erreur

\sim10^{-5}

1.3 Dérivabilité et continuité

Théorème Si

f

est dérivable en

a

, alors

f

est continue en

a

La réciproque est fausse

x\mapsto|x|

est continue en

0

sans y être dérivable. Retenez : dérivable $\Rightarrow$ continue, jamais l'inverse.

1.4 Dérivées usuelles & opérations

Dérivées usuelles

\begin{array}{c|c} f & f' \\ \hline x^{r}\ (r\in\mathbb{Q}) & r\,x^{r-1} \\ \dfrac1x & -\dfrac1{x^{2}} \\ \sqrt x & \dfrac1{2\sqrt x} \\ e^{x} & e^{x} \\ \ln x & \dfrac1x \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} f & f' \\ \hline \sin x & \cos x \\ \cos x & -\sin x \\ \tan x & 1+\tan^{2}x \\ \operatorname{Arctan}x & \dfrac1{1+x^{2}} \\ \sqrt[n]{x} & \dfrac1{n\sqrt[n]{x^{\,n-1}}} \end{array}

Opérations & composée

(uv)'=u'v+uv',\qquad \Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad (v\circ u)'=u'\times v'(u).

Conséquences :

(u^{n})'=nu'u^{n-1}

(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}

(e^{u})'=u'e^{u}

(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}

\big(\operatorname{Arctan}u\big)'=\dfrac{u'}{1+u^{2}}

Ne jamais oublier le

u'

\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}

, et non

3(2x+1)^{2}

1.5 Dérivée d'une fonction réciproque

Théorème Soit

f

continue strictement monotone sur

I

, bijective de

I

sur

J=f(I)

. Si

f

est dérivable en

a

f'(a)\neq0

, alors

f^{-1}

est dérivable en

b=f(a)

\boxed{\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac1{f'\big(f^{-1}(b)\big)}=\frac1{f'(a)}}

Pentes inverses Si la courbe de

f

a en

A

une tangente de pente

f'(a)

, la courbe de

f^{-1}

a au point symétrique (par rapport à

y=x

) une tangente de pente

\frac1{f'(a)}

. Si

f'(a)=0

, cette tangente est verticale.

1.6 La fonction Arctangente

Définition

\tan

est continue strictement croissante sur

\big]-\frac\pi2,\frac\pi2\big[

, à valeurs dans

\mathbb{R}

: c'est une bijection. Sa réciproque est l'Arctangente :

\boxed{y=\operatorname{Arctan}x\iff \big(x=\tan y\ \text{et}\ y\in\big]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\big[\big)}

définie sur

\mathbb{R}

Propriétés

\tan(\operatorname{Arctan}x)=x

pour tout

x\in\mathbb{R}

\operatorname{Arctan}

est continue, impaire, strictement croissante sur

\mathbb{R}

, et

\big(\operatorname{Arctan}x\big)'=\frac1{1+x^{2}},\qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}x=-\frac\pi2.

Une dérivée sans racine

\operatorname{Arctan}

est la fonction de référence dont la dérivée est

\frac1{1+x^{2}}

— d'où son rôle capital en calcul intégral (primitive de

\frac1{1+x^{2}}

). Les droites

y=\pm\frac\pi2

sont deux asymptotes horizontales. Valeurs :

\operatorname{Arctan}0=0

\operatorname{Arctan}1=\frac\pi4

\operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac\pi3

1.7 Dérivées successives

Définition Si

f'

est dérivable, sa dérivée est

f''

; en itérant, on définit la dérivée $n$ -ième

f^{(n)}

, avec

f^{(0)}=f

f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}\big)'

. Ex.

\big(e^{x}\big)^{(n)}=e^{x}

; pour

x^{3}

f''=6x

f'''=6

f^{(4)}=0

1.8 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle Soit

f

continue sur

[a,b]

, dérivable sur

]a,b[

, telle que

f(a)=f(b)

. Alors il existe

c\in\,]a,b[

tel que

\boxed{f'(c)=0}

.
Lecture géométrique : la courbe part et revient à la même hauteur ⇒ tangente horizontale entre les deux.

Théorème des accroissements finis (T.A.F.) Soit

f

continue sur

[a,b]

, dérivable sur

]a,b[

. Il existe

c\in\,]a,b[

tel que

\boxed{f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)}

Il existe un point où la tangente est parallèle à la corde

(AB)

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

. Rolle en est le cas particulier (corde horizontale).

Inégalité des accroissements finis Si

m\le f'(x)\le M

sur

[a,b]

, alors

m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)

. En particulier, si

|f'(x)|\le k

\boxed{|f(b)-f(a)|\le k\,|b-a|}

Une inégalité déjà rencontrée C'est l'outil de la méthode de contraction des suites récurrentes (chapitre 2) :

|f'|\le k<1\Rightarrow|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell|

, d'où la convergence.

1.9 Sens de variation & extremums

Théorème Sur un intervalle

I

f'>0\Rightarrow f

strictement croissante ;

f'<0\Rightarrow f

strictement décroissante ;

f'=0\Rightarrow f

constante. (C'est le T.A.F. qui le démontre : $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)$ .)

Extremum Si

f'

s'annule en changeant de signe en

a

f

admet un extremum local en

a

. L'annulation seule ne suffit pas :

f'(0)=0

pour

x^{3}

, mais

f'=3x^{2}\ge0

ne change pas de signe ⇒ aucun extremum.

1.10 Concavité & points d'inflexion

Théorème

f''\ge0\iff

courbe convexe ;

f''\le0\iff

courbe concave. Si

f''

s'annule en changeant de signe en

a

I(a,f(a))

est un point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente.

1.11 Asymptotes & branches infinies

Asymptotes

$\lim_{x\to a^{\pm}}f=\pm\infty\Rightarrow$ asymptote verticale $x=a$ ;
$\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell\Rightarrow$ asymptote horizontale $y=\ell$ ;
$\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0\ (a\neq0)\Rightarrow$ asymptote oblique $y=ax+b$ .

Branches paraboliques Si

\lim_{+\infty}f=\pm\infty

sans asymptote oblique, on pose

L=\lim\frac{f(x)}{x}

L=\pm\infty

(direction

(Oy)

) ;

L=0

(direction

(Ox)

) ;

L=a\neq0

f(x)-ax\to\pm\infty

(direction

y=ax

). Direction $\neq$ asymptote : l'écart

f(x)-ax

tend vers l'infini.

1.12 Symétries & plan d'étude

Symétries

x=a

axe de symétrie si

f(2a-x)=f(x)

;

\Omega(a,b)

centre de symétrie si

f(2a-x)+f(x)=2b

. Cas particuliers :

f

paire (axe

(Oy)

f

impaire (centre

O

Plan d'étude complet ① Domaine

D_f

— ② symétries, périodicité — ③ limites ⇒ asymptotes/branches — ④

f'

factorisée, signe, tableau de variations — ⑤

f''

: convexité, inflexions — ⑥ points particuliers, tangentes — ⑦ tracé.

1.13 Étude complète : $f(x)=x^{3}-3x$

Synthèse Domaine :

\mathbb{R}

. Symétrie :

f(-x)=-f(x)

, impaire, centre

O

. Limites :

\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty

;

\frac{f(x)}{x}=x^{2}-3\to+\infty

, branche parabolique de direction

(Oy)

. Variations :

f'(x)=3(x-1)(x+1)

; maximum

f(-1)=2

, minimum

f(1)=-2

. Convexité :

f''(x)=6x

, inflexion en

I(0,0)

. Zéros :

-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3

Courbe de

f

: maximum

(-1,2)

, minimum

(1,-2)

, inflexion

I(0,0)

, zéros

-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Nombre dérivé & tangente

Définition, tangente, approximation affine, dérivable ⇒ continue.

Dérivées & composée

Usuelles, opérations, $(v\circ u)'$ , toujours le $u'$ .

Réciproque & Arctangente

$(f^{-1})'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$ , $\operatorname{Arctan}$ et sa dérivée.

Rolle & T.A.F.

Tangente horizontale / parallèle à la corde, inégalité des A.F.

Variations, convexité

Signe de $f'$ , extremums, $f''$ et inflexions.

Asymptotes & étude complète

Branches, symétries, plan d'étude, tracé.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Dérivée d'un quotient · tangente

Exercice 1

Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Calculer $f'$ , la tangente en $0$ et le sens de variation.

Voir la correction

$f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2x+3}{(x-1)^{2}}$ . $f(0)=0$ , $f'(0)=3$ : tangente $y=3x$ . Le numérateur a $\Delta=4-12=-8<0$ : toujours positif, donc $f'>0$ ; $f$ croît sur chaque intervalle de son domaine.

T.A.F. · encadrement

Exercice 2

À l'aide du T.A.F. sur $[a,b]\subset\,]0,+\infty[$ , montrer que $\dfrac{b-a}{b}\le\ln b-\ln a\le\dfrac{b-a}{a}$ .

Voir la correction

$\ln$ continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ , $\ln'=\frac1x$ . Le T.A.F. donne $c\in\,]a,b[$ tel que $\ln b-\ln a=\frac1c(b-a)$ . Or $a<c<b$ ⇒ $\frac1b<\frac1c<\frac1a$ ; en multipliant par $(b-a)>0$ : $\frac{b-a}{b}\le\ln b-\ln a\le\frac{b-a}{a}$ . ∎

Arctangente · dérivée nulle

Exercice 3

Montrer que $\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\dfrac1x=\dfrac\pi2$ pour tout $x>0$ .

Voir la correction

Posons $g(x)=\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x$ sur $]0,+\infty[$ . Alors $g'(x)=\frac1{1+x^{2}}+\big(-\frac1{x^{2}}\big)\frac1{1+\frac1{x^{2}}}=\frac1{1+x^{2}}-\frac1{x^{2}+1}=0$ . Donc $g$ est constante ; en $x=1$ , $g(1)=\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2$ . Ainsi $g(x)=\frac\pi2$ pour tout $x>0$ . ∎

Composée · ne pas oublier

u'

Exercice 4

Dériver $g(x)=\operatorname{Arctan}(x^{2})$ et $h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ .

Voir la correction

$g'(x)=\dfrac{2x}{1+(x^{2})^{2}}=\dfrac{2x}{1+x^{4}}$ ; $h'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Rolle · existence d'une racine de

f'

Exercice 5

Soit $f(x)=x^{3}-3x+1$ sur $[-2,2]$ — non, sur $[-\sqrt3,\sqrt3]$ où $f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)$ . Montrer que $f'$ s'annule sur $]-\sqrt3,\sqrt3[$ .

Voir la correction

$f$ est polynomiale donc continue sur $[-\sqrt3,\sqrt3]$ et dérivable sur l'ouvert. Et $f(-\sqrt3)=-3\sqrt3+3\sqrt3+1=1=f(\sqrt3)$ . Le théorème de Rolle assure l'existence de $c\in\,]-\sqrt3,\sqrt3[$ tel que $f'(c)=0$ . (Ici $f'(x)=3x^{2}-3$ s'annule en $\pm1$ .) ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Approximation affine :

f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)

— la tangente approche la courbe près de

a

Astuce Rolle : même hauteur ⇒ tangente horizontale. T.A.F. : tangente parallèle à la corde.

Astuce Arctangente : réciproque de

\tan

, dérivée

\frac1{1+x^{2}}

, asymptotes

y=\pm\frac\pi2

Astuce Une identité constante ? Montrer que la dérivée est nulle, puis évaluer en un point.

Piège Dérivable $\Rightarrow$ continue, jamais l'inverse (

|x|

0

Piège Ne jamais oublier le $u'$ dans une composée :

\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}

Piège Extremum : il faut que

f'

change de signe, pas seulement s'annule (

x^{3}

0

Piège Direction $\neq$ asymptote : dans une branche parabolique, l'écart

f(x)-ax

tend vers l'infini.

Formulaire à retenir

Nombre dérivé

f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Tangente en

a

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Approximation affine

f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)

Composée

(v\circ u)'=u'\times v'(u)

Quotient

\Big(\dfrac uv\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}

Puissance & racine

(u^{n})'=nu'u^{n-1}

(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}

Exp / log

(e^{u})'=u'e^{u}

(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}

Tangente / Arctan

(\tan x)'=1+\tan^{2}x

\big(\operatorname{Arctan}u\big)'=\dfrac{u'}{1+u^{2}}

Réciproque

\big(f^{-1}\big)'(b)=\dfrac1{f'(a)}

b=f(a)

Arctangente impaire,

\nearrow

, asymptotes

y=\pm\dfrac\pi2

;

\operatorname{Arctan}1=\dfrac\pi4

Rolle

f(a)=f(b)\Rightarrow\exists c,\ f'(c)=0

T.A.F.

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

Inégalité des A.F.

|f'|\le k\Rightarrow|f(b)-f(a)|\le k|b-a|

Variations

f'>0\Rightarrow\ \nearrow

;

f'<0\Rightarrow\ \searrow

Convexité

f''\ge0\Rightarrow

convexe ;

f''

change de signe

\Rightarrow

inflexion

Asymptote oblique

\lim\big[f(x)-(ax+b)\big]=0

Branche parabolique

L=\lim\dfrac{f(x)}{x}

décide de la direction

Symétries axe :

f(2a-x)=f(x)

; centre :

f(2a-x)+f(x)=2b

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Dérivation & étude des fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Nombre dérivé & tangente

1.2 Approximation affine locale

1.3 Dérivabilité et continuité

1.4 Dérivées usuelles & opérations

1.5 Dérivée d'une fonction réciproque

1.6 La fonction Arctangente

1.7 Dérivées successives

1.8 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

1.9 Sens de variation & extremums

1.10 Concavité & points d'inflexion

1.11 Asymptotes & branches infinies

1.12 Symétries & plan d'étude

1.13 Étude complète : f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3xf(x)=x3−3x

2 · Feuille de route

Nombre dérivé & tangente

Dérivées & composée

Réciproque & Arctangente

Rolle & T.A.F.

Variations, convexité

Asymptotes & étude complète

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.13 Étude complète : $f(x)=x^{3}-3x$