2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 4

Les fonctions logarithmes

En Sciences Mathématiques, la fonction logarithme est étudiée dans toute sa généralité, jusqu'au logarithme de base a. Ce cours construit ln, établit ses propriétés algébriques complètes, sa dérivée sous forme composée ln(u), ses limites et croissances comparées, ainsi que les primitives qui en découlent. Une attention constante est portée au domaine de définition, exigence de rigueur systématiquement valorisée par les correcteurs SM. Vous verrez comment le logarithme intervient dans des études de fonctions poussées et dans la résolution d'équations et d'inéquations parfois délicates. Ce chapitre prépare aussi directement l'étude de l'exponentielle, sa fonction réciproque.

1 · Résumé du cours

Une seule fonction usuelle résistait à la primitivation : $x\mapsto\frac1x$ (aucune $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ne marche pour $n=-1$ ). Le logarithme népérien est né pour combler ce trou — et il transforme, au passage, les produits en sommes.

1.1 La fonction logarithme népérien

Définition La fonction

x\mapsto\frac1x

est continue sur

]0,+\infty[

: elle y admet des primitives (chapitre 6). On appelle logarithme népérien, noté

\ln

, l'unique primitive de

\frac1x

sur

]0,+\infty[

qui s'annule en $1$ :

\boxed{\ln'(x)=\frac1x\quad\text{et}\quad\ln(1)=0}\qquad\text{c.-à-d.}\qquad\boxed{\ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}}

Lire la définition intégrale Pour

x>1

\ln x

est l'aire sous la courbe de

\frac1t

entre

1

x

: positive, donc

\ln x>0

. Pour

0&lt;x&lt;1

, on intègre « à l'envers », l'aire est comptée négativement, donc

\ln x&lt;0

. La définition contient déjà le signe de

\ln

1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous

a>0

b>0

\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b}

. Elle transforme les produits en sommes.

Conséquences Pour

a>0,\ b>0,\ n\in\mathbb{Z}

\ln\frac1b=-\ln b,\quad \ln\frac ab=\ln a-\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,

\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a,\qquad \ln\sqrt[n]{a}=\tfrac1n\ln a.

Une seule règle :

\ln(a^{r})=r\ln a

pour tout

r\in\mathbb{Q}

Les deux dernières égalités ne sont que les cas

r=\frac12

r=\frac1n

d'une seule règle : pour tout rationnel

r=\frac pq

et tout

a>0

\boxed{\ln(a^{r})=r\ln a}

. En effet

a^{r}=\sqrt[q]{a^{p}}

(puissance rationnelle, chapitre 1), donc

\ln(a^{r})=\frac1q\ln(a^{p})=\frac pq\ln a

L'erreur n°1 du chapitre

\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b

. La propriété concerne le produit, jamais la somme. Vérifiez :

\ln(1+1)=\ln2\approx0{,}69

, alors que

\ln1+\ln1=0

1.3 Dérivée, variations, concavité, signe

Propriété Sur

]0,+\infty[

\ln'(x)=\dfrac1x>0\Rightarrow\ln

strictement croissante ;

\ln''(x)=-\dfrac1{x^{2}}&lt;0\Rightarrow\ln

concave.

Signe de

\ln

\ln x=0\iff x=1

;

\ln x>0\iff x>1

;

\ln x&lt;0\iff 0&lt;x&lt;1

1.4 Limites aux bornes, le nombre $e$ et la courbe

Limites & branche infinie

\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\quad\text{(asymptote verticale }x=0),\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

Comme

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0

, la courbe admet une branche parabolique de direction $(Ox)$ :

\ln

tend vers l'infini, mais de plus en plus lentement.

Le nombre

e

\ln

est continue et strictement croissante de

]0,+\infty[

sur

\mathbb{R}

: c'est une bijection (chapitre 1). L'équation

\ln x=1

admet donc une unique solution, notée

e

\boxed{\ln(e)=1},\ e\approx2{,}718

. Pour tout

n\in\mathbb{Z}

\ln(e^{n})=n

\mathcal{C}_{\ln}

: asymptote verticale

x=0

, passage par

(1,0)

(e,1)

, croissance lente et concavité vers le bas.

1.5 Limites importantes

À connaître par cœur

\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0\ (n>0).

Croissances comparées : qui gagne ? Face à un conflit entre

\ln

et une puissance de

x

, c'est toujours la puissance qui l'emporte. Les deux premières limites, elles, ne sont que le nombre dérivé de

\ln

1

\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x-\ln1}{x-1}=\ln'(1)=1

1.6 Dérivée logarithmique & primitives

Dérivée de

\ln u

u

est dérivable et strictement positive sur

I

\boxed{(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}}

. Plus généralement, si

u

ne s'annule pas :

(\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}

La conséquence en primitives En lisant la formule à l'envers : une primitive de

\dfrac{u'}{u}

est

\ln|u|

(forme composée du chapitre 6). Exemples :

(\ln(x^{2}+1))'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}

;

(\ln(3x-5))'=\dfrac{3}{3x-5}

pour

x>\frac53

1.7 Équations & inéquations

Propriété Pour

a>0

b>0

\ln a=\ln b\iff a=b

;

\ln a&lt;\ln b\iff a&lt;b

(stricte croissance).

Méthode — résoudre une équation avec

\ln

① Poser la condition d'existence : tout argument d'un

\ln

doit être strictement positif (l'étape qu'on oublie). ② Regrouper les

\ln

d'un même côté. ③ « enlever » les

\ln

par stricte croissance. ④ Résoudre, puis confronter à la condition d'existence pour écarter les solutions parasites.

1.8 Systèmes d'équations logarithmiques

Méthode ① Poser les conditions d'existence (

x>0,\ y>0,\dots

). ② Soit poser

X=\ln x,\ Y=\ln y

pour se ramener à un système linéaire ; soit utiliser

\ln x+\ln y=\ln(xy)

pour obtenir somme et produit de

x,y

. ③ Revenir aux inconnues, puis confronter aux conditions.

1.9 Logarithme de base $a$

Définition Soit

a>0

avec

a\neq1

. Le logarithme de base $a$ est défini sur

]0,+\infty[

par

\boxed{\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}}

. Si

a=1

\ln a=0

: le dénominateur s'annule, la définition n'a aucun sens.

Propriétés & étude

\log_a

hérite des propriétés de

\ln

(ce n'est qu'un multiple) :

\log_a1=0

\log_a a=1

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

\log_a(x^{n})=n\log_a x

. Sa dérivée

\log_a'(x)=\dfrac1{x\ln a}

a le signe de $\ln a$ :

si $a>1$ : $\log_a$ strictement croissante ;
si $0<a<1$ : $\log_a$ strictement décroissante.

Toutes les courbes passent par

(1,0)

, avec l'axe

(Oy)

pour asymptote verticale.

Résoudre en base

a

Pour

a>0,\ a\neq1,\ x>0,\ b\in\mathbb{R}

\boxed{\log_a x=b\iff x=a^{b}}

(car

\log_a x=b\iff\ln x=b\ln a

). En particulier

\log_a x=\log_a y\iff x=y

\log_a(a^{k})=k

Piège — sens des inéquations Pour

0&lt;a&lt;1

\log_a

est décroissante :

\log_a x&lt;\log_a y\iff x>y

— l'inégalité change de sens. Avec une base

>1

, on la garde.

1.10 Le logarithme décimal

Définition Le logarithme décimal est le logarithme de base

10

, noté

\log

\boxed{\log(x)=\log_{10}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}}

. Ainsi

\log10=1

\log100=2

\log(10^{n})=n

À quoi il sert Le logarithme décimal « compte les zéros » : il donne l'ordre de grandeur d'un nombre. D'où sa présence en physique et chimie — notamment le pH :

\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & propriétés

$\ln$ primitive de $\frac1x$ nulle en $1$ ; $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

Étude de $\ln$

Croissance, concavité, signe, limites, le nombre $e$ .

Limites & croissances comparées

Limites usuelles, la puissance l'emporte, nombre dérivé en $1$ .

Dérivée logarithmique

$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ , primitive de $\frac{u'}{u}=\ln|u|$ .

Équations, inéquations, systèmes

Condition d'existence d'abord, confronter à la fin.

Base $a$ & log décimal

$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$ , sens de variation, $\log_a x=b\iff x=a^{b}$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Équation · condition d'existence

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)$ .

Voir la correction

Condition d'existence : $x>0$ et $x-2>0$ , donc $\boxed{x>2}$ . Résolution : $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln\big(x(x-2)\big)=\ln3$ , d'où par stricte croissance $x(x-2)=3\iff x^{2}-2x-3=0\iff(x-3)(x+1)=0$ . On trouve $x=3$ ou $x=-1$ . Confrontation : $x>2$ écarte $-1$ (et $\ln(-1)$ n'existe pas). Vérification : $\ln3+\ln1=\ln3$ . ✓ Unique solution $\boxed{x=3}$ .

Étude · maximum en

e

Exercice 2

Soit $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ . Déterminer limites/asymptotes et variations.

Voir la correction

En $0^{+}$ : $\ln x\to-\infty$ et $\frac1x\to+\infty$ , donc $f\to-\infty$ : asymptote verticale $x=0$ . En $+\infty$ (croissance comparée) : $f\to0$ : asymptote horizontale $y=0$ . Quotient $u=\ln x,\ v=x$ : $f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ . Signe de $1-\ln x$ : $>0\iff x<e$ . Donc $f\nearrow$ sur $]0,e]$ , $f\searrow$ sur $[e,+\infty[$ , maximum $f(e)=\dfrac1e\approx0{,}37$ . ∎

Inéquation · base

&lt;1

Exercice 3

Résoudre $\log_{0{,}5}(x)>2$ .

Voir la correction

Condition : $x>0$ . Base $a=0{,}5\in\,]0,1[$ : $\log_a$ décroissante. Or $2=\log_{0{,}5}(0{,}5^{2})=\log_{0{,}5}(0{,}25)$ . L'inéquation $\log_{0{,}5}(x)>\log_{0{,}5}(0{,}25)$ change de sens : $x<0{,}25$ . Avec la condition : $\boxed{S=\,]0\,;\,0{,}25[}$ . Réflexe : base $<1$ ⇒ on retourne l'inégalité.

Système · somme & produit

Exercice 4

Résoudre $\begin{cases} x+y=5\\ \ln x+\ln y=\ln 6\end{cases}$ avec $x>0,\ y>0$ .

Voir la correction

La 2ᵉ équation donne $\ln(xy)=\ln6$ , soit $xy=6$ . Donc $x,y$ ont pour somme $5$ et produit $6$ : ce sont les racines de $t^{2}-5t+6=0\iff(t-2)(t-3)=0$ . D'où $\{x,y\}=\{2,3\}$ : les couples $(2,3)$ et $(3,2)$ , tous deux $>0$ . ∎

Dérivée logarithmique · résolution base

a

Exercice 5

a) Dériver $g(x)=\ln(x^{2}+1)$ . b) Résoudre $\log_2 x=3$ , $\log_9 x=\frac12$ , $\log_{10}x=-1$ .

Voir la correction

a) $g'(x)=\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ (défini sur $\mathbb{R}$ car $x^{2}+1>0$ ). b) $\log_2 x=3\iff x=2^{3}=8$ ; $\log_9 x=\frac12\iff x=9^{1/2}=3$ ; $\log_{10}x=-1\iff x=10^{-1}=\frac1{10}$ .

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce $\ln$ est LA primitive de

\frac1x

qui s'annule en

1

. Tout part de là.

Astuce Croissances comparées : la puissance l'emporte toujours sur

\ln

(

\frac{\ln x}{x}\to0

x\ln x\to0

Astuce Reconnaître $\frac{u'}{u}$ : c'est la dérivée de

\ln|u|

, donc sa primitive (chapitre 6).

Astuce Base $a$ :

\log_a x=b\iff x=a^{b}

; et

\ln(a^{r})=r\ln a

pour tout

r\in\mathbb{Q}

Piège $\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ : la propriété concerne le produit.

Piège Condition d'existence d'abord : l'argument doit être strictement positif — puis confronter les solutions à la fin.

Piège Base $<1$ :

\log_a

est décroissante ⇒ les inéquations changent de sens.

Piège $\log_a$ exige $a\neq1$ : sinon

\ln a=0

au dénominateur.

Formulaire à retenir

Définition

\ln'(x)=\dfrac1x

\ln1=0

\ln x=\displaystyle\int_1^x\dfrac{dt}{t}

Propriété fondamentale

\ln(ab)=\ln a+\ln b

Conséquences

\ln\frac ab=\ln a-\ln b

\ln\frac1b=-\ln b

Puissance rationnelle

\ln(a^{r})=r\ln a

pour tout

r\in\mathbb{Q}

Racines

\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a

\ln\sqrt[n]{a}=\tfrac1n\ln a

Signe

\ln x>0\iff x>1

;

\ln x&lt;0\iff 0&lt;x&lt;1

Le nombre

e

\ln e=1

e\approx2{,}718

\ln(e^{n})=n

Limites aux bornes

\lim_{0^{+}}\ln x=-\infty

\lim_{+\infty}\ln x=+\infty

Nombre dérivé en

1

\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1=\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}

Croissances comparées

\lim_{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0

\lim_{0^{+}}x\ln x=0

Dérivée logarithmique

(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}

(\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}

Primitive

\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}=\ln|u|+k

Équations

\ln a=\ln b\iff a=b

;

\ln a&lt;\ln b\iff a&lt;b

Base

a

\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}

(

a>0,\ a\neq1

)

Résolution base

a

\log_a x=b\iff x=a^{b}

Sens de variation

a>1\Rightarrow\nearrow

;

0&lt;a&lt;1\Rightarrow\searrow

(inéq. change de sens)

Log décimal

\log x=\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln10}

\log(10^{n})=n

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les fonctions logarithmes

1 · Résumé du cours

1.1 La fonction logarithme népérien

1.2 Propriétés algébriques

1.3 Dérivée, variations, concavité, signe

1.4 Limites aux bornes, le nombre eee et la courbe

1.5 Limites importantes

1.6 Dérivée logarithmique & primitives

1.7 Équations & inéquations

1.8 Systèmes d'équations logarithmiques

1.9 Logarithme de base aaa

1.10 Le logarithme décimal

2 · Feuille de route

Définition & propriétés

Étude de ln⁡\lnln

Limites & croissances comparées

Dérivée logarithmique

Équations, inéquations, systèmes

Base aaa & log décimal

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.4 Limites aux bornes, le nombre $e$ et la courbe

1.9 Logarithme de base $a$

Étude de $\ln$

Base $a$ & log décimal