2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 5

Les fonctions exponentielles

La fonction exponentielle est introduite en Sciences Mathématiques par une caractérisation forte : c'est l'unique fonction égale à sa dérivée qui vaut 1 en zéro. Ce cours en déduit les propriétés algébriques, la dérivée, les limites et les croissances comparées, puis relie l'exponentielle au logarithme dont elle est la réciproque. Vous exploiterez sa stricte positivité et sa stricte croissance pour résoudre proprement équations et inéquations en passant au logarithme. En SM, l'exponentielle irrigue les études de fonctions, les suites et les équations différentielles ; ce chapitre en fixe les propriétés que vous réutiliserez tout au long de l'année.

1 · Résumé du cours

Au chapitre 4, $\ln$ est apparue comme une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ . Toute bijection admet une réciproque : c'est la fonction exponentielle. Elle est égale à sa propre dérivée — l'unique fonction vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ .

1.1 Définition & équivalences fondamentales

Définition La fonction exponentielle, notée

\exp

, est la réciproque de

\ln

\exp:\mathbb{R}\longrightarrow\,]0,+\infty[

. Pour tout

x\in\mathbb{R}

et tout

y>0

\boxed{y=\exp(x)\iff x=\ln(y)}\qquad \ln\big(\exp x\big)=x,\quad \exp\big(\ln y\big)=y.

Deux conséquences immédiates

$\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — contrairement à $\ln$ ;
$\exp(x)>0$ toujours : l'ensemble d'arrivée de $\ln$ devient l'ensemble d'arrivée de $\exp$ . Ces faits découlent de la définition, pas d'un calcul.

1.2 Le nombre $e$ et la notation $e^{x}$

Notation Comme

\ln e=1

, on a

\exp(1)=e

, et pour

n\in\mathbb{Z}

\exp(n)=e^{n}

: d'où la notation

\boxed{\exp(x)=e^{x}}

pour tout

x\in\mathbb{R}

. On retient

e^{0}=1

e^{1}=e\approx2{,}718

1.3 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous réels

a,b

\boxed{e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}}

\exp

transforme les sommes en produits.

Conséquences Pour

a,b\in\mathbb{R}

n\in\mathbb{Z}

e^{-a}=\frac1{e^{a}},\quad e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}},\quad \big(e^{a}\big)^{n}=e^{na},\quad e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}.

Exactement l'inverse de

\ln

\ln

change les produits en sommes ;

\exp

change les sommes en produits (deux réciproques). Et l'erreur est symétrique de celle du chapitre 4 :

e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}

1.4 Dérivée & variations

Théorème

\exp

est dérivable sur

\mathbb{R}

\boxed{(e^{x})'=e^{x}}

. C'est le théorème de la dérivée d'une réciproque (chapitre 3) :

\exp'(x)=\dfrac1{\ln'(\exp x)}=\dfrac1{\frac1{\exp x}}=\exp x

Sens de variation & convexité Comme

e^{x}>0

\exp'>0\Rightarrow\exp

strictement croissante ;

\exp''(x)=e^{x}>0\Rightarrow\exp

convexe sur

\mathbb{R}

1.5 Limites, courbe & symétrie avec $\ln$

Limites & branche infinie

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+}\ \text{(asymptote }y=0),\qquad \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.

+\infty

\frac{e^{x}}{x}\to+\infty

: la courbe admet une branche parabolique de direction $(Oy)$ .

Symétrie : une lecture qui fait gagner du temps

\exp

\ln

étant réciproques, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ . Chaque propriété de

\ln

se traduit : asymptote verticale

x=0

→ asymptote horizontale

y=0

;

\ln

concave →

\exp

convexe ; branche parabolique

(Ox)

→

(Oy)

. Rien à réapprendre : on échange

x

y

\mathcal{C}_{\exp}

\mathcal{C}_{\ln}

sont symétriques par rapport à

y=x

: au point

(1,e)

de l'une répond

(e,1)

de l'autre.

1.6 Limites importantes & inégalité de convexité

À connaître par cœur

\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\ \big(=\exp'(0)\big),\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0.

Croissances comparées : le sens s'inverse Au chapitre 4, la puissance l'emportait sur

\ln

. Ici, c'est l'exponentielle qui l'emporte sur toute puissance. La hiérarchie à retenir :

\boxed{\ln x\ \ll\ x^{n}\ \ll\ e^{x}}

Tangente en

0

La tangente à

\mathcal{C}_{\exp}

O

est

y=x+1

, et la convexité donne l'inégalité utile

\boxed{e^{x}\ge x+1\ \text{pour tout }x\in\mathbb{R}}

(la courbe est au-dessus de sa tangente).

1.7 Exponentielle d'une fonction

Dérivée de

e^{u}

u

est dérivable sur

I

\boxed{(e^{u})'=u'\,e^{u}}

. Comme

e^{u}>0

, le signe de $(e^{u})'$ est celui de $u'$ :

e^{u}

a les mêmes variations que

u

Primitives & limites composées À l'envers : une primitive de

u'e^{u}

est

e^{u}

(chapitre 6). Limites :

\lim u=+\infty\Rightarrow\lim e^{u}=+\infty

;

\lim u=-\infty\Rightarrow\lim e^{u}=0

. Exemples :

(e^{x^{2}})'=2x\,e^{x^{2}}

(e^{-3x})'=-3e^{-3x}

(e^{\sqrt x})'=\dfrac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}

1.8 Équations & inéquations

Propriété Pour tous réels

a,b

e^{a}=e^{b}\iff a=b

;

e^{a}&lt;e^{b}\iff a&lt;b

. Et

e^{x}=k\iff x=\ln k

k>0

, aucune solution si

k\le0

Méthode — le trinôme déguisé

ae^{2x}+be^{x}+c=0

① Remarquer

e^{2x}=(e^{x})^{2}

. ② Poser

X=e^{x}

avec la contrainte

\boxed{X>0}

. ③ Résoudre

aX^{2}+bX+c=0

. ④ Écarter les racines $\le0$ . ⑤ Revenir par

x=\ln X

La bonne nouvelle par rapport à

\ln

Aucune condition d'existence à poser :

e^{x}

est définie partout. En revanche, vérifier la positivité du second membre avant d'appliquer

\ln

— c'est le piège symétrique.

1.9 Systèmes d'équations exponentielles

Méthode Poser

X=e^{x}>0

Y=e^{y}>0

: le système devient algébrique en

X,Y

(penser à

e^{x+y}=e^{x}e^{y}=XY

). Résoudre, écarter les valeurs $\le0$ , puis revenir par

x=\ln X

y=\ln Y

1.10 Exponentielle de base $a$

Définition Soit

a>0

. L'exponentielle de base $a$ est définie sur

\mathbb{R}

par

\boxed{a^{x}=e^{x\ln a}}

. Cela donne un sens à

2^{\sqrt3}

3^{\pi}

— à

a^{x}

pour tout réel

x

Propriétés & étude

a^{x+y}=a^{x}a^{y}

(a^{x})^{y}=a^{xy}

(ab)^{x}=a^{x}b^{x}

\ln(a^{x})=x\ln a

. Sa dérivée

(a^{x})'=\ln a\times a^{x}

a le signe de $\ln a$ :

si $a>1$ : strictement croissante, $\lim_{-\infty}a^{x}=0$ , $\lim_{+\infty}a^{x}=+\infty$ ;
si $0<a<1$ : strictement décroissante (limites échangées) ;
si $a=1$ : constante égale à $1$ .

Toutes les courbes passent par

(0,1)

, avec

y=0

asymptote horizontale.

Limite fondamentale en base

a

Pour tout

a>0

\boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a}

(c'est la dérivée de

a^{x}

0

). Le cas

a=e

redonne

\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & réciprocité

$\exp$ réciproque de $\ln$ , $y=e^{x}\iff x=\ln y$ , $e^{x}>0$ .

Propriétés algébriques

$e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ ; l'inverse de $\ln$ .

Étude & symétrie

$(e^{x})'=e^{x}$ , croissance, convexité, courbe symétrique de $\ln$ .

Limites & croissances comparées

$\ln x\ll x^{n}\ll e^{x}$ , $e^{x}\ge x+1$ .

$e^{u}$ , équations, systèmes

$(e^{u})'=u'e^{u}$ , poser $X=e^{x}>0$ .

Base $a$

$a^{x}=e^{x\ln a}$ , sens de variation, $\lim\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Trinôme déguisé ·

X=e^{x}

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ .

Voir la correction

$e^{2x}=(e^{x})^{2}$ : posons $X=e^{x}$ avec $\boxed{X>0}$ . L'équation devient $X^{2}-3X+2=0\iff(X-1)(X-2)=0$ , donc $X=1$ ou $X=2$ (toutes deux $>0$ , aucune à rejeter). Retour : $e^{x}=1\Rightarrow x=0$ ; $e^{x}=2\Rightarrow x=\ln2$ . Vérification en $0$ : $1-3+2=0$ . ✓ $\boxed{S=\{0\,;\,\ln2\}}$ .

Étude · forme produit

Exercice 2

Soit $f(x)=x\,e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ . Limites en $\pm\infty$ et variations.

Voir la correction

En $-\infty$ : $x\to-\infty$ , $e^{-x}\to+\infty$ , donc $f\to-\infty$ . En $+\infty$ (F.I. $\infty\times0$ ) : $x\,e^{-x}=\dfrac{x}{e^{x}}=\dfrac1{e^{x}/x}\to0^{+}$ (croissance comparée), asymptote $y=0$ . Produit $u=x,\ v=e^{-x}$ ( $v'=-e^{-x}$ ) : $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ . Signe de $1-x$ : $f\nearrow$ sur $]-\infty,1]$ , $f\searrow$ sur $[1,+\infty[$ , maximum $f(1)=\dfrac1e\approx0{,}37$ . ∎

Inéquation · base

&lt;1

Exercice 3

Résoudre $\left(\dfrac12\right)^{x}>8$ .

Voir la correction

Base $a=\frac12\in\,]0,1[$ : décroissante. M1 (comparaison) : $8=\left(\frac12\right)^{-3}$ , donc $\left(\frac12\right)^{x}>\left(\frac12\right)^{-3}$ change de sens ⇒ $x<-3$ . M2 (logarithme) : $x\ln\frac12>\ln8$ ; or $\ln\frac12=-\ln2<0$ , diviser par un négatif retourne l'inégalité : $x<\dfrac{\ln8}{-\ln2}=\dfrac{3\ln2}{-\ln2}=-3$ . $\boxed{S=\,]-\infty\,;-3[}$ .

Système ·

X=e^{x},\ Y=e^{y}

Exercice 4

Résoudre $\begin{cases} e^{x}+e^{y}=5\\ e^{x+y}=6\end{cases}$ .

Voir la correction

Posons $X=e^{x}>0$ , $Y=e^{y}>0$ : $X+Y=5$ et $XY=6$ (car $e^{x+y}=XY$ ). $X,Y$ racines de $t^{2}-5t+6=0\iff(t-2)(t-3)=0$ , soit $\{X,Y\}=\{2,3\}$ (positives ✓). Retour : $(x,y)=(\ln2,\ln3)$ ou $(\ln3,\ln2)$ . ∎

Dérivée de

e^{u}

· convexité

Exercice 5

a) Dériver $g(x)=e^{x^{2}}$ et $h(x)=e^{-3x}$ . b) Justifier $e^{x}\ge x+1$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

a) $g'(x)=2x\,e^{x^{2}}$ ; $h'(x)=-3\,e^{-3x}$ . b) Soit $\varphi(x)=e^{x}-x-1$ : $\varphi'(x)=e^{x}-1$ , négative sur $]-\infty,0]$ et positive sur $[0,+\infty[$ , donc $\varphi$ admet un minimum en $0$ : $\varphi(0)=0$ . Ainsi $\varphi\ge0$ , c.-à-d. $e^{x}\ge x+1$ . ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce $\exp$ est LA réciproque de $\ln$ : tout se déduit par symétrie par rapport à

y=x

Astuce $e^{x}>0$ toujours — c'est ce qui impose

X>0

dans les changements de variable.

Astuce Croissances comparées :

\ln x\ll x^{n}\ll e^{x}

; l'exponentielle gagne toujours.

Astuce Base $a$ :

a^{x}=e^{x\ln a}

;

\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a

(dérivée en

0

Piège $e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}$ : la propriété concerne la somme → produit.

Piège Positivité du second membre :

e^{x}=k

n'a de solution que si

k>0

Piège Trinôme déguisé : ne jamais oublier

X>0

, et écarter les racines

\le0

Piège Base $<1$ :

a^{x}

est décroissante ⇒ les inéquations changent de sens.

Formulaire à retenir

Définition

y=e^{x}\iff x=\ln y\ (y>0)

\ln(e^{x})=x

e^{\ln y}=y

Signe & valeurs

e^{x}>0

pour tout

x

e^{0}=1

e^{1}=e\approx2{,}718

Propriété fondamentale

e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}

Conséquences

e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}

e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}

(e^{a})^{n}=e^{na}

Dérivée

(e^{x})'=e^{x}

(e^{u})'=u'\,e^{u}

Variations

\exp

strictement croissante et convexe sur

\mathbb{R}

Limites aux bornes

\lim_{-\infty}e^{x}=0^{+}

(asympt.

y=0

\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty

Nombre dérivé en

0

\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1

Croissances comparées

\lim_{+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty

\lim_{-\infty}x\,e^{x}=0

Hiérarchie

\ln x\ \ll\ x^{n}\ \ll\ e^{x}

+\infty

Inégalité de convexité

e^{x}\ge x+1

(tangente

y=x+1

0

)

Primitive

\displaystyle\int u'\,e^{u}=e^{u}+k

Équations

e^{a}=e^{b}\iff a=b

;

e^{a}&lt;e^{b}\iff a&lt;b

Résolution

e^{x}=k\iff x=\ln k\ (k>0)

, sinon aucune solution

Trinôme déguisé poser

X=e^{x}>0

dans

ae^{2x}+be^{x}+c=0

Symétrie

\mathcal{C}_{\exp}

\mathcal{C}_{\ln}

symétriques par rapport à

y=x

Base

a

(

a>0

)

a^{x}=e^{x\ln a}

(a^{x})'=\ln a\times a^{x}

\ln(a^{x})=x\ln a

Sens de variation base

a

a>1\Rightarrow\nearrow

;

0&lt;a&lt;1\Rightarrow\searrow

Limite base

a

\lim_{x\to0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les fonctions exponentielles

1 · Résumé du cours

1.1 Définition & équivalences fondamentales

1.2 Le nombre eee et la notation exe^{x}ex

1.3 Propriétés algébriques

1.4 Dérivée & variations

1.5 Limites, courbe & symétrie avec ln⁡\lnln

1.6 Limites importantes & inégalité de convexité

1.7 Exponentielle d'une fonction

1.8 Équations & inéquations

1.9 Systèmes d'équations exponentielles

1.10 Exponentielle de base aaa

2 · Feuille de route

Définition & réciprocité

Propriétés algébriques

Étude & symétrie

Limites & croissances comparées

eue^{u}eu, équations, systèmes

Base aaa

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 Le nombre $e$ et la notation $e^{x}$

1.5 Limites, courbe & symétrie avec $\ln$

1.10 Exponentielle de base $a$

$e^{u}$ , équations, systèmes

Base $a$