QCM — Les fonctions exponentielles (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(e^{0}\) et \(e^{1}\) valent :

   • A\(0\) et \(1\)
   • ✓\(1\) et \(e\)
   • C\(1\) et \(1\)
   • D\(e\) et \(e^{2}\)

   Remarque

   \(e^{0}=1\) et \(e^{1}=e\approx 2{,}718\).

2. Question 2

   \(e^{a+b}=\) :

   • A\(e^{a}+e^{b}\)
   • ✓\(e^{a}\,e^{b}\)
   • C\(e^{ab}\)
   • D\(a\,e^{b}\)

   Remarque

   L'exponentielle transforme les sommes en produits : \(e^{a+b}=e^{a}e^{b}\).

3. Question 3

   \((e^{x})'=\) :

   • ✓\(e^{x}\)
   • B\(x\,e^{x-1}\)
   • C\(\dfrac{1}{e^{x}}\)
   • D\(1\)

   Remarque

   L'exponentielle est sa propre dérivée : \((e^{x})'=e^{x}\).

4. Question 4

   Pour tout réel \(x\), \(\ln(e^{x})=\) :

   • ✓\(x\)
   • B\(e^{x}\)
   • C\(1\)
   • D\(\ln x\)

   Remarque

   \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques : \(\ln(e^{x})=x\) pour tout \(x\), et \(e^{\ln x}=x\) pour \(x>0\).

5. Question 5

   \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}\) vaut :

   • A\(+\infty\)
   • B\(1\)
   • ✓\(0\)
   • D\(-\infty\)

   Remarque

   En \(-\infty\), \(e^{x}\to 0^{+}\) (asymptote horizontale \(y=0\)) ; en \(+\infty\), \(e^{x}\to +\infty\).

6. Question 6

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • B\(1\)
   • ✓\(+\infty\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Croissances comparées : \(e^{x}\) l'emporte sur toute puissance de \(x\), donc \(\dfrac{e^{x}}{x}\to +\infty\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(1\)
   • C\(+\infty\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Limite usuelle (nombre dérivé de \(\exp\) en \(0\)) : \(\dfrac{e^{x}-1}{x}\to 1\).

8. Question 8

   Pour tout réel \(x\), l'inégalité de convexité donne :

   • A\(e^{x}\le 1+x\)
   • ✓\(e^{x}\ge 1+x\)
   • C\(e^{x}\le x\)
   • D\(e^{x}\ge x^{2}\)

   Remarque

   La courbe de \(\exp\) est au-dessus de sa tangente en \(0\) (\(y=1+x\)) : \(e^{x}\ge 1+x\) pour tout \(x\).

9. Question 9

   L'équation \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\) a pour solutions :

   • ✓\(x=0\) et \(x=\ln 2\)
   • B\(x=1\) et \(x=2\)
   • C\(x=\ln 3\)
   • Daucune solution

   Remarque

   En posant \(X=e^{x}>0\) : \(X^{2}-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(X=2\), d'où \(x=0\) ou \(x=\ln 2\).

10. Question 10

    L'exponentielle de base \(a\) (\(a>0\)) est \(a^{x}=\) :

    • ✓\(e^{x\ln a}\)
    • B\(e^{a\ln x}\)
    • C\(x\,e^{a}\)
    • D\(\ln(ax)\)

    Remarque

    \(a^{x}=e^{x\ln a}\) ; sa dérivée est \((a^{x})'=a^{x}\ln a\) et \(a^{x}>0\) pour tout \(x\).

11. Question 11

    \(e^{a-b}=\) :

    • ✓\(\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\)
    • B\(e^{a}-e^{b}\)
    • C\(e^{a}e^{b}\)
    • D\(\dfrac{e^{b}}{e^{a}}\)

    Remarque

    \(e^{a-b}=e^{a}\cdot e^{-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\).

12. Question 12

    \((e^{3x})'=\) :

    • ✓\(3e^{3x}\)
    • B\(e^{3x}\)
    • C\(3x\,e^{3x-1}\)
    • D\(e^{3}\)

    Remarque

    Avec \((e^{u})'=u'e^{u}\) et \(u=3x\) : \((e^{3x})'=3e^{3x}\).

13. Question 13

    \(e^{x}=1\) équivaut à :

    • ✓\(x=0\)
    • B\(x=1\)
    • C\(x=e\)
    • D\(x=-1\)

    Remarque

    \(\exp\) est bijective et \(e^{0}=1\), donc \(e^{x}=1\iff x=0\).

14. Question 14

    \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}\) vaut :

    • ✓\(0\)
    • B\(-\infty\)
    • C\(1\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    Croissances comparées : \(e^{x}\) l'emporte, \(x\,e^{x}\to 0^{-}\) quand \(x\to-\infty\).

15. Question 15

    Pour tout réel \(x\) et \(n\in\mathbb{Z}\), \((e^{x})^{n}=\) :

    • ✓\(e^{nx}\)
    • B\(e^{x^{n}}\)
    • C\(n\,e^{x}\)
    • D\(e^{x+n}\)

    Remarque

    \((e^{x})^{n}=e^{nx}\) (règle des puissances de l'exponentielle).

16. Question 16

    Une primitive de \(e^{2x}\) est :

    • ✓\(\dfrac12 e^{2x}\)
    • B\(e^{2x}\)
    • C\(2e^{2x}\)
    • D\(e^{2x}+x\)

    Remarque

    \(\Big(\dfrac12 e^{2x}\Big)'=e^{2x}\) : une primitive de \(e^{ax}\) est \(\dfrac1a e^{ax}\).

17. Question 17

    L'équation \(e^{x}=5\) a pour solution :

    • ✓\(x=\ln 5\)
    • B\(x=5\)
    • C\(x=e^{5}\)
    • D\(x=\dfrac{1}{\ln 5}\)

    Remarque

    On applique \(\ln\) : \(e^{x}=5\iff x=\ln 5\).

18. Question 18

    L'inéquation \(e^{x}\ge 1\) a pour ensemble de solutions :

    • ✓\([0,+\infty[\)
    • B\(]-\infty,0]\)
    • C\(]0,+\infty[\)
    • D\(\mathbb{R}\)

    Remarque

    \(e^{x}\ge 1=e^{0}\) et \(\exp\) est croissante : donc \(x\ge 0\).