Fiche de révision — Les fonctions exponentielles · 2ᵉ Bac SM

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La fonction exponentielle, réciproque du logarithme, est traitée en Sciences Mathématiques avec sa caractérisation comme unique solution de f′ = f vérifiant f(0) = 1. Cette fiche réunit ses propriétés, sa dérivée, ses limites et les croissances comparées. En SM, elle apparaît dans les études de fonctions, les suites et les équations différentielles. Point de rigueur apprécié des correcteurs : exp est strictement positive et strictement croissante, ce qui permet de résoudre proprement équations et inéquations en passant au logarithme.

eˣ

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les fonctions exponentielles — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Propriétés algébriques

Fondamentale

e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}

somme ⇒ produit

Quotient

e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}

e^{-a}=\frac1{e^{a}}

Puissance

(e^{a})^{n}=e^{na}

e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}

Erreur n°1

e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}

jamais la somme !

2 · Méthodes de résolution

Équation

e^{x}=k

$k>0\Rightarrow x=\ln k$
$k\le0\Rightarrow$ aucune solution
$e^{a}=e^{b}\iff a=b$

Piège : vérifier

k>0

d'abord.

Trinôme déguisé

$e^{2x}=(e^{x})^{2}$
poser $X=e^{x}$ , $\boxed{X>0}$
écarter les racines $\le0$

Ex :

e^{2x}{-}3e^{x}{+}2{=}0\Rightarrow S{=}\{0,\ln2\}

Système exponentiel

$X=e^{x},\ Y=e^{y}\ (>0)$
$e^{x+y}=XY$

Ex : somme

5

e^{x+y}=6\Rightarrow\{\ln2,\ln3\}

Inéquation base

&lt;1

$a^{x}$ décroissante
l'inégalité change de sens

Ex :

(\tfrac12)^{x}>8\Rightarrow x&lt;-3

Dérivée / primitive

$(e^{u})'=u'\,e^{u}$
signe de $u'$ ⇒ variations de $e^{u}$
$\int u'e^{u}=e^{u}+k$

Croissances comparées

l'exponentielle l'emporte
$\frac{e^{x}}{x^{n}}\to+\infty$ , $x\,e^{x}\to0$

3 · Limites & valeurs usuelles

e^{0}=1

e^{1}=e\approx2{,}718

\displaystyle\lim_{-\infty}e^{x}=0^{+}

\displaystyle\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1

\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty

\displaystyle\lim_{-\infty}x\,e^{x}=0

(e^{x})'=e^{x}>0\ (\nearrow)

e^{x}\ge x+1

4 · Courbe, symétrie & base

a

La fonction

\exp

$\nearrow$ sur $\mathbb{R}$ , convexe
Asymptote horizontale $y=0$
Passe par $(0,1)$ et $(1,e)$
Branche parabolique dir. $(Oy)$

Symétrie avec

\ln

$\mathcal{C}_{\exp}$ et $\mathcal{C}_{\ln}$ symétriques
par rapport à $y=x$

Clé : on échange

x

y

Base

a>0

$a^{x}=e^{x\ln a}$
$(a^{x})'=\ln a\times a^{x}$
$\ln(a^{x})=x\ln a$

Clé : le signe de

\ln a

décide.

Sens de variation base

a

$a>1\Rightarrow\nearrow$
$0<a<1\Rightarrow\searrow$
$\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a$

★ Astuces géniales

$\exp$ est LA réciproque de $\ln$ : symétrie par $y=x$ .
$e^{x}>0$ toujours ⇒ impose $X>0$ dans un changement de variable.
Face à $\ln$ ou une puissance, $e^{x}$ gagne toujours.
Base $<1$ : on retourne l'inégalité.

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