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Le calcul intégral en Sciences Mathématiques est présenté avec le théorème fondamental de l'analyse (la fonction x ↦ ∫ₐˣ f a pour dérivée f), la relation de Chasles, l'intégration par parties et le changement de variable. Cette fiche condense les propriétés et les méthodes de calcul. En SM, l'intégrale sert aussi à établir des inégalités et à étudier des suites d'intégrales. Le réflexe : identifier la bonne technique (IPP ou changement de variable) avant de se lancer, et ne jamais intervertir les bornes sans changer le signe.

∫
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Calcul intégral — Méthodes & Formules

Math Excellence
1 · Primitives & formes composées
Définition
F′=fF'=f
toutes : F+kF+k (vérif. en dérivant)
Puissance
∫u′un=un+1n+1\int u'u^{n}=\frac{u^{n+1}}{n+1}
∫u′u=2u\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u
Logarithme
∫u′u=ln⁡∣u∣\int\frac{u'}{u}=\ln|u|
reconnaître un quotient
Exp / Arctan
∫u′eu=eu\int u'e^{u}=e^{u}
∫u′1+u2=arctan⁡u\int\frac{u'}{1+u^{2}}=\arctan u
Ce qui n'existe pas
primitive d'un produit
aucune formule ⇒ IPP
Racine
∫u′u=2u\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u
forme u′/uu'/\sqrt u
Trigo
∫u′cos⁡u=sin⁡u\int u'\cos u=\sin u
∫u′sin⁡u=−cos⁡u\int u'\sin u=-\cos u
Intégrale définie
∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a)
[F]ab[F]_a^b
2 · Les 3 méthodes de calcul
① Méthode directe
  • reconnaître une forme composée
  • primitive FF (ajuster le coeff.)
  • évaluer F(b)−F(a)F(b)-F(a)
Ex : ∫01e2x=e2−12\int_0^1 e^{2x}=\frac{e^2-1}{2}
② Intégration par parties
  • ∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′\int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'
  • vv : se simplifie en dérivant
  • u′u' : se primitive
Ex : ∫1eln⁡x=1\int_1^e\ln x=1 (v=ln⁡x, u′=1v=\ln x,\ u'=1)
③ Changement de variable
  • poser u=φ(t)u=\varphi(t), du=φ′ dtdu=\varphi'\,dt
  • changer les bornes
Ex : ∫012t et2=e−1\int_0^1 2t\,e^{t^2}=e-1
Aire entre courbes
  • intersections = bornes
  • signe de f−gf-g (qui domine ?)
  • A=∫(f−g)\mathcal{A}=\int(f-g), dessus −- dessous
Volume de révolution
  • (Ox)(Ox) : V=π∫f2dxV=\pi\int f^{2}dx
  • (Oy)(Oy) : V=π∫g2dyV=\pi\int g^{2}dy
Piège : π∫f2\pi\int f^2, pas π(∫f)2\pi(\int f)^2
Somme de Riemann
  • ∫01f=lim⁡1n∑f(kn)\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn)
  • reconnaître ⇒ calculer l'intégrale
3 · Propriétés & valeurs clés
∫abf=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)
∫aaf=0\displaystyle\int_a^a f=0
∫abf=−∫baf\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f
Chasles : ∫ab+∫bc=∫ac\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c
impaire : ∫−aaf=0\int_{-a}^{a}f=0
paire : ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f
μ=1b−a∫abf\mu=\frac1{b-a}\int_a^b f
∫01x dx=12\int_0^1 x\,dx=\frac12
∫01dx1+x2=π4\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4
4 · Théorème fondamental & moyenne
Fonction intégrale
  • Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt
  • Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)
  • Φ\Phi = primitive nulle en aa
Clé : dériver « annule » l'intégrale.
Bornes variables (Leibniz)
  • ddx∫uvf=v′f(v)−u′f(u)\frac{d}{dx}\int_{u}^{v}f=v'f(v)-u'f(u)
  • ne pas calculer l'intégrale
Ex : (∫0x2dt1+t2)′=2x1+x4(\int_0^{x^2}\frac{dt}{1+t^2})'=\frac{2x}{1+x^4}
Théorème de la moyenne
  • ff continue sur [a,b][a,b]
  • ∃c, ∫abf=(b−a)f(c)\exists c,\ \int_a^b f=(b-a)f(c)
  • μ\mu est atteinte
Intégrale & ordre (a≤ba\le b)
  • f≥0⇒∫f≥0f\ge0\Rightarrow\int f\ge0
  • f≤g⇒∫f≤∫gf\le g\Rightarrow\int f\le\int g
  • m≤f≤M⇒m(b−a)≤∫f≤M(b−a)m\le f\le M\Rightarrow m(b{-}a)\le\int f\le M(b{-}a)
★ Astuces géniales
  • Un doute sur une primitive ? Dérivez-la.
  • Dans une intégrale, pas de +k+k : la constante s'élimine.
  • Intégrale ≠\neq aire si ff change de signe : découper (Chasles).
  • Limite de somme 1n∑f(kn)\frac1n\sum f(\frac kn) ⇒ pensez Riemann.
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