Fiche de révision — Les équations différentielles · 2ᵉ Bac SM

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En Sciences Mathématiques, les équations différentielles couvrent le premier ordre (y′ = ay, y′ = ay + b) et le second ordre à coefficients constants, résolu selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique. Cette fiche rassemble les trois cas de solutions et la méthode générale. En SM, la difficulté vient souvent de la recherche d'une solution particulière et de l'imposition des conditions initiales. Retenez la structure : solution générale de l'homogène + une solution particulière, puis détermination des constantes.

y′

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les équations différentielles — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Premier ordre

Forme unitaire

y'=a\,y+b

diviser par le coeff. de

y'

y'=ay

y=C\,e^{ax}

proportionnelle à sa dérivée

y'=ay+b

y=C\,e^{ax}-\frac ba

a\neq0

Condition

1 condition ⇒

C

une seule à l'ordre 1

2 · Second ordre — les trois cas

Équation caractéristique

$y''+ay'+by=0$
$r^{2}+ar+b=0$
$\Delta=a^{2}-4b$

D'où : on cherche

y=e^{rx}

e^{rx}\neq0

Cas

\Delta>0

$r_1\neq r_2$ réelles
$y=A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}$

non oscillant

Cas

\Delta=0

$r=-\frac a2$ double
$y=(A+Bx)\,e^{rx}$

Ne pas oublier le facteur

x

Cas

\Delta&lt;0

$r=p\pm iq$ , $p=-\frac a2$ , $q=\frac{\sqrt{|\Delta|}}2$
$y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$

Oscillations :

q

fréquence,

p

amortissement.

Conditions initiales

ordre 2 ⇒ deux conditions
$y(x_0)$ et $y'(x_0)$
système en $A,B$

Réductions

2ⁿᵈ membre $c$ : $y_p=\frac cb$
pas de $y$ : poser $z=y'$

3 · Réflexes & valeurs clés

(e^{ax})'=a\,e^{ax}

y'=y,\ y(0)=1\Rightarrow y=e^{x}

y_p=-\frac ba

(ordre 1)

\Delta=a^{2}-4b

\Delta=0\Rightarrow r=-\frac a2

r^{2}+\omega^{2}=0\Rightarrow r=\pm i\omega

p&lt;0

: amorti

p=0

: entretenu

p>0

: amplifié

4 · Méthode pas à pas

Résoudre — ordre 1

① forme $y'=ay+b$
② $y=Ce^{ax}-\frac ba$
③ condition ⇒ $C$
④ vérifier en dérivant

Résoudre — ordre 2

① $r^{2}+ar+b=0$
② $\Delta$ et racines
③ solution générale (3 cas)
④ système $A,B$ via les 2 conditions

Lien avec ℂ (ch. 8)

$e^{iqx}=\cos qx+i\sin qx$
racines complexes ⇒ $\cos,\sin$

Physique

RC/RLC, désintégration
régime permanent + transitoire
position + vitesse initiales

★ Astuces géniales

L'inconnue est une fonction, pas un nombre.
Forme unitaire avant de lire $a,b$ .
Ordre 2 : deux constantes ⇒ deux conditions.
$\Delta<0$ ⇒ oscillations $e^{px}(\cos,\sin)$ .

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