2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 7

Les équations différentielles

En Sciences Mathématiques, ce chapitre couvre les équations différentielles du premier ordre (y′ = ay et y′ = ay + b) et celles du second ordre à coefficients constants, résolues selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique. Ce cours détaille les trois formes de solutions possibles et la méthode générale de résolution. La difficulté propre à la filière tient souvent à la recherche d'une solution particulière et à l'imposition rigoureuse des conditions initiales. Vous retiendrez la structure invariante de la démarche : solution générale de l'équation homogène, plus une solution particulière, puis détermination des constantes. Le cours en donne un déroulé applicable à tous les cas.

1 · Résumé du cours

Jusqu'ici une équation cherchait un nombre. Ici, l'inconnue est une fonction, et l'équation la relie à ses dérivées. C'est le langage de la physique (décroissance radioactive, circuits RC/RLC, refroidissement), et l'outil central est l'exponentielle du chapitre 5 — l'unique fonction vérifiant $y'=y$ et $y(0)=1$ .

1.1 Définitions & forme unitaire

Définition Une équation différentielle a pour inconnue une fonction

y

et fait intervenir

y

et ses dérivées. Une solution sur

I

est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité pour tout

x\in I

Forme unitaire (réduite) Toute équation du 1ᵉʳ ordre à coefficients constants s'écrit, après division par le coefficient de $y'$ , sous la forme

\boxed{y'=a\,y+b}

. C'est elle qui permet de lire

a

b

Piège de lecture

2y'+6y=4

n'est pas sous forme unitaire. On divise par

2

y'+3y=2\iff y'=-3y+2

, donc

a=-3

b=2

. Ne jamais lire $a,b$ avant d'avoir ramené $y'$ à un coefficient $1$ .

1.2 L'équation $y'=a\,y$

Théorème Les solutions sur

\mathbb{R}

y'=a\,y

sont exactement les

\boxed{y(x)=C\,e^{ax},\ C\in\mathbb{R}}

Pourquoi c'est exactement l'exponentielle On cherche une fonction proportionnelle à sa dérivée :

(e^{ax})'=a\,e^{ax}

. Pour l'unicité, posons

z=y\,e^{-ax}

: alors

z'=e^{-ax}(y'-ay)=0

, donc

z

constante

=C

sur l'intervalle, d'où

y=Ce^{ax}

(même argument que le «

+k

» du chapitre 6).

Unicité & linéarité Pour tous

x_0,y_0

, il existe une unique solution vérifiant

y(x_0)=y_0

. De plus l'équation est linéaire : si

y_1,y_2

sont solutions,

\lambda y_1+\mu y_2

l'est encore — l'ensemble des solutions est la droite vectorielle engendrée par

x\mapsto e^{ax}

1.3 L'équation $y'=a\,y+b$

Théorème (

a\neq0

) Les solutions sur

\mathbb{R}

y'=a\,y+b

sont

\boxed{y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac ba,\ C\in\mathbb{R}}

La structure à comprendre :

y=y_p+y_h

La solution générale se décompose toujours en

y=\underbrace{-\tfrac ba}_{y_p\ \text{(sol. constante)}}+\underbrace{C\,e^{ax}}_{y_h\ \text{(sol. de }y'=ay)}.

La constante

-\frac ba

s'obtient en cherchant

y

constante (

y'=0\Rightarrow 0=ay+b

). En physique :

-\frac ba

est le régime permanent,

Ce^{ax}

le régime transitoire (qui s'éteint si

a&lt;0

Méthode — 1ᵉʳ ordre ① Mettre sous forme

y'=ay+b

(lire

a,b

). ② Écrire

y=Ce^{ax}-\frac ba

. ③ Condition initiale ⇒

C

. ④ Vérifier en dérivant.

1.4 Le second ordre $y''+a\,y'+b\,y=0$

Équation caractéristique À

y''+ay'+by=0

on associe

\boxed{r^{2}+a\,r+b=0}

, de discriminant

\Delta=a^{2}-4b

D'où elle sort On cherche

y=e^{rx}

: alors

y''+ay'+by=e^{rx}(r^{2}+ar+b)

. Comme

e^{rx}\neq0

toujours, l'équation équivaut à

r^{2}+ar+b=0

. Ce n'est pas une recette : c'est ce qui reste après factorisation par l'exponentielle.

Les trois cas

\begin{array}{c|c|c} \text{signe de }\Delta & \text{racines} & \text{solution générale}\\\hline \Delta>0 & r_1\neq r_2\ \text{réelles} & y=A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}\\ \Delta=0 & r=-\tfrac a2\ \text{(double)} & y=(A+Bx)\,e^{rx}\\ \Delta&lt;0 & r=p\pm iq\ \text{conjuguées} & y=e^{px}\big(A\cos qx+B\sin qx\big) \end{array}

avec

A,B\in\mathbb{R}

, et dans le cas

\Delta&lt;0

p=-\frac a2

q=\frac{\sqrt{|\Delta|}}2

Cas

\Delta&lt;0

: les racines

p\pm iq

donnent des oscillations (fréquence pilotée par

q

) d'enveloppe

e^{px}

— amorties si

p&lt;0

, entretenues si

p=0

, amplifiées si

p>0

. C'est le régime d'un circuit RLC.

Le lien avec le chapitre 8 Quand

\Delta&lt;0

, les racines complexes conjuguées

p\pm iq

produisent les

\cos

\sin

via Euler

e^{iqx}=\cos qx+i\sin qx

. La partie réelle $p$ pilote l'amortissement, la partie imaginaire $q$ pilote la fréquence.

Unicité (deux conditions) & méthode Il existe une unique solution vérifiant

y(x_0)=y_0

y'(x_0)=y'_0

: deux constantes

A,B

⇒ deux conditions (position et vitesse). Méthode : équation caractéristique →

\Delta

→ solution générale → traduire les 2 conditions en un système (dériver

y

pour la 2ᵉ) → résoudre.

1.5 Équations se ramenant à une forme usuelle

Deux réductions classiques

Second membre constant $y''+ay'+by=c\ (b\neq0)$ : solution particulière $y_p=\frac cb$ ; en posant $z=y-y_p$ , $z$ vérifie l'homogène. Donc $y=y_p+z_h$ .
Absence du terme en $y$ $y''+ay'=c$ : poser $z=y'$ (ordre 1 : $z'=-az+c$ ), résoudre $z$ , puis intégrer pour $y$ .

Exemples

y''-3y'+2y=4

: homogène

r^{2}-3r+2=0\ (r=1,2)

y_p=2

⇒

y=Ae^{x}+Be^{2x}+2

. —

y''+y'=3

z=y'\Rightarrow z=Ce^{-x}+3

, puis

y=Ke^{-x}+3x+D

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Forme unitaire

Diviser par le coeff. de $y'$ : $y'=ay+b$ .

$y'=ay$

$y=Ce^{ax}$ , unicité, linéarité.

$y'=ay+b$

$y=Ce^{ax}-\frac ba$ ; $y_p+y_h$ .

Équation caractéristique

$r^{2}+ar+b=0$ , $\Delta$ , 3 cas.

Conditions initiales

Ordre 1 : une ; ordre 2 : deux (système $A,B$ ).

Réductions

Second membre constant ; $z=y'$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

1ᵉʳ ordre ·

y'=ay

Exercice 1

Résoudre $y'=3y$ , puis la solution vérifiant $y(0)=5$ .

Voir la correction

$a=3$ : $y(x)=Ce^{3x}$ . Condition $y(0)=C=5$ , donc $\boxed{y(x)=5e^{3x}}$ . Vérif. : $y'=15e^{3x}=3y$ . ✓

1ᵉʳ ordre ·

y'=ay+b

Exercice 2

Résoudre $y'=-2y+6$ , puis la solution telle que $y(0)=1$ .

Voir la correction

$a=-2,\ b=6$ ⇒ $-\frac ba=3$ , donc $y(x)=Ce^{-2x}+3$ . Condition $y(0)=C+3=1\Rightarrow C=-2$ : $\boxed{y(x)=-2e^{-2x}+3}$ . Vérif. : $y'=4e^{-2x}$ et $-2y+6=4e^{-2x}$ . ✓ Quand $x\to+\infty$ , $y\to3$ (régime permanent). ∎

2ⁿᵈ ordre ·

\Delta>0

\Delta&lt;0

Exercice 3

Résoudre a) $y''-5y'+6y=0$ ; b) $y''+4y=0$ .

Voir la correction

a) $r^{2}-5r+6=0$ , $\Delta=1>0$ , $r_1=3,\ r_2=2$ : $\boxed{y=Ae^{3x}+Be^{2x}}$ . b) $a=0,\ b=4$ : $r^{2}+4=0$ , $\Delta=-16<0$ , $r=\pm2i$ donc $p=0,\ q=2$ : $\boxed{y=A\cos 2x+B\sin 2x}$ . Comme $p=0$ , aucun amortissement — oscillateur harmonique. ∎

2ⁿᵈ ordre ·

\Delta=0

+ 2 conditions

Exercice 4

Résoudre $y''-4y'+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$ .

Voir la correction

1) $r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0$ , $\Delta=0$ , racine double $r=2$ : $y=(A+Bx)e^{2x}$ . 2) $y'=(B+2A+2Bx)e^{2x}$ . 3) $\begin{cases}y(0)=A=1\\ y'(0)=B+2A=3\end{cases}\Rightarrow A=1,\ B=1$ . Donc $\boxed{y(x)=(1+x)e^{2x}}$ . Vérif. : $y'(0)=(1+2)e^{0}=3$ . ✓

Réduction · second membre constant

Exercice 5

Résoudre $y''+y'=3$ (en posant $z=y'$ ).

Voir la correction

Poser $z=y'$ : $z'+z=3\iff z'=-z+3$ , donc $z=Ce^{-x}+3$ . En intégrant : $y=\int z\,dx=\boxed{Ke^{-x}+3x+D}$ . Vérif. : $y'=-Ke^{-x}+3$ , $y''=Ke^{-x}$ , donc $y''+y'=3$ . ✓

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Forme unitaire d'abord : diviser par le coefficient de

y'

avant de lire

a

b

Astuce $y'=ay\Rightarrow y=Ce^{ax}$ : l'exponentielle, proportionnelle à sa dérivée.

Astuce Structure $y=y_p+y_h$ : régime permanent

+

régime transitoire.

Astuce $\Delta<0$ ⇒ racines

p\pm iq

⇒ oscillations :

q

fait osciller, le signe de

p

décide de l'amortissement.

Piège Ordre 1 : une condition ; ordre 2 : deux conditions (deux constantes

A,B

Piège Pour la 2ᵉ condition, ne pas oublier de dériver

y

avant de remplacer

x_0

Piège L'équation caractéristique ne vaut que pour l'homogène ; avec second membre, ajouter

y_p

Piège Toujours vérifier en dérivant la solution trouvée.

Formulaire à retenir

Forme unitaire (1ᵉʳ ordre) diviser par le coeff. de

y'

y'=a\,y+b

Équation

y'=ay

y(x)=C\,e^{ax}

C\in\mathbb{R}

Équation

y'=ay+b

(

a\neq0

)

y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac ba

Structure

y=y_p+y_h

y_p=-\dfrac ba

(permanent),

y_h=Ce^{ax}

(transitoire)

Condition initiale (ordre 1)

y(x_0)=y_0

fixe

C

(une seule condition)

Linéarité combinaison de solutions de

y'=ay

⇒ encore solution

2ⁿᵈ ordre

y''+a\,y'+b\,y=0

⇒ caractéristique

r^{2}+a\,r+b=0

\Delta=a^{2}-4b

Cas

\Delta>0

r_1\neq r_2

réelles :

y=A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}

Cas

\Delta=0

r=-\tfrac a2

double :

y=(A+Bx)\,e^{rx}

Cas

\Delta&lt;0

r=p\pm iq

y=e^{px}\big(A\cos qx+B\sin qx\big)

p=-\tfrac a2

q=\tfrac{\sqrt{|\Delta|}}2

Conditions initiales (ordre 2)

y(x_0)=y_0

y'(x_0)=y'_0

(deux conditions)

Second membre constant

y''+ay'+by=c\ (b\neq0)

y_p=\dfrac cb

y=y_p+z_h

Absence du terme en

y

y''+ay'=c

: poser

z=y'

, puis intégrer

Interprétation physique

p

= amortissement,

q

= fréquence des oscillations

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 15 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les équations différentielles

1 · Résumé du cours

1.1 Définitions & forme unitaire

1.2 L'équation y′=a yy'=a\,yy′=ay

1.3 L'équation y′=a y+by'=a\,y+by′=ay+b

1.4 Le second ordre y′′+a y′+b y=0y''+a\,y'+b\,y=0y′′+ay′+by=0

1.5 Équations se ramenant à une forme usuelle

2 · Feuille de route

Forme unitaire

y′=ayy'=ayy′=ay

y′=ay+by'=ay+by′=ay+b

Équation caractéristique

Conditions initiales

Réductions

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 L'équation $y'=a\,y$

1.3 L'équation $y'=a\,y+b$

1.4 Le second ordre $y''+a\,y'+b\,y=0$

$y'=ay$

$y'=ay+b$