2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 8

Les nombres complexes

En Sciences Mathématiques, les nombres complexes forment un chapitre riche, qui va bien au-delà du calcul algébrique. Ce cours aborde les racines n-ièmes, la formule de Moivre, la notation exponentielle e^(iθ) et, surtout, les transformations du plan : rotations et similitudes directes. Vous apprendrez à lire chaque écriture complexe comme une opération géométrique — une similitude directe z′ = az + b a pour rapport |a| et pour angle arg(a). Dans les examens nationaux SM, l'exercice de complexes est souvent décisif par sa richesse. Le cours articule systématiquement calcul algébrique et interprétation géométrique, la double lecture qui fait la force de ce chapitre.

1 · Résumé du cours

L'équation $x^{2}=-1$ n'a aucune solution réelle. Plutôt que de s'arrêter là, on crée un nombre dont le carré vaut $-1$ — et l'on découvre un ensemble où toute équation du second degré a des solutions, et où la géométrie du plan se calcule à l'algèbre. C'est le chapitre le plus riche du programme.

1.1 Généralités

Définition Il existe un ensemble noté

\mathbb{C}

, contenant

\mathbb{R}

, muni d'une addition et d'une multiplication, et contenant un élément

i

tel que

\boxed{i^{2}=-1}

. Tout

z\in\mathbb{C}

s'écrit de manière unique sous la forme algébrique

z=a+ib

avec

a,b\in\mathbb{R}

a=\operatorname{Re}(z)

est la partie réelle,

b=\operatorname{Im}(z)

la partie imaginaire.

Piège —

\operatorname{Im}(z)

est un RÉEL La partie imaginaire de

z=3+2i

est

2

, et non

2i

. C'est une erreur de notation très fréquente — et elle fausse tous les calculs qui suivent.

Égalité & cas particuliers

a+ib=a'+ib'\iff\begin{cases}a=a'\\ b=b'\end{cases}\qquad z=0\iff\begin{cases}a=0\\ b=0\end{cases}

z

est réel

\iff\operatorname{Im}(z)=0

;

z

est imaginaire pur

\iff\operatorname{Re}(z)=0

Le principe le plus utile du chapitre Une égalité complexe = deux équations réelles. Identifier parties réelles et parties imaginaires transforme une équation dans

\mathbb{C}

en deux équations dans

\mathbb{R}

Puissances de

i

i^{0}=1,\ i^{1}=i,\ i^{2}=-1,\ i^{3}=-i,\ i^{4}=1,\ \dots

Elles sont périodiques de période $4$ : pour

i^{n}

, on divise

n

par

4

et l'on ne garde que le reste.

1.2 Opérations dans $\mathbb{C}$

Somme & produit Pour

z=a+ib

z'=a'+ib'

z+z'=(a+a')+i(b+b')

z\,z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)

(on développe, avec

i^{2}=-1

Méthode — calculer un quotient Pour écrire

\dfrac{z}{z'}

sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient alors le réel

|z'|^{2}

Exemple

\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1\times(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{1^{2}+1^{2}}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12\,i.

1.3 Le plan complexe

Image & affixe Le plan muni d'un repère orthonormé direct

(O,\vec u,\vec v)

, à tout

z=a+ib

on associe le point

M(a,b)

, appelé image de

z

. Réciproquement,

z

est l'affixe de

M

, noté

z_M

Le point

M

d'affixe

z=a+ib

: sa distance à l'origine est le module

|z|=r

, l'angle avec l'axe des réels est l'argument

\theta

Les formules géométriques de base

Affixe d'un vecteur : $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ ;
affixe du milieu $I$ de $[AB]$ : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$ ;
affixe du centre de gravité $G$ de $ABC$ : $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$ ;
$\vec u,\vec v$ d'affixes $z,z'$ colinéaires $\iff\dfrac{z'}{z}\in\mathbb{R}$ (avec $z\neq0$ ) ;
$A,B,C$ alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$ .

Affixe d'un barycentre Pour

A_1,\dots,A_n

d'affixes

z_1,\dots,z_n

et coefficients

\alpha_1,\dots,\alpha_n

avec

\sum\alpha_k\neq0

, l'affixe du barycentre est

\boxed{\,z_G=\dfrac{\alpha_1 z_1+\dots+\alpha_n z_n}{\alpha_1+\dots+\alpha_n}=\dfrac{\sum_k\alpha_k z_k}{\sum_k\alpha_k}\,}

Le milieu (

n=2

) et le centre de gravité (

n=3

), à poids égaux, en sont les cas particuliers.

1.4 Conjugué

Définition Le conjugué de

z=a+ib

est

\boxed{\bar z=a-ib}

. Son image est le symétrique de celle de

z

par rapport à l'axe des réels.

Opérations & identité clé

\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'},\quad\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar{z'},\quad\overline{\Big(\tfrac{z}{z'}\Big)}=\tfrac{\bar z}{\bar{z'}},\quad\overline{z^{n}}=\big(\bar z\big)^{n}.

Et surtout :

\boxed{\,z\,\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\,}

— la clé des quotients.

Caractérisations

z\in\mathbb{R}\iff\bar z=z

;

z

imaginaire pur

\iff\bar z=-z

. De plus

z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)

z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z)

1.5 Module

Définition Le module de

z=a+ib

est le réel positif

\boxed{\,|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,}

. C'est la distance

OM

Propriétés

|z\,z'|=|z|\,|z'|,\quad\Big|\tfrac{z}{z'}\Big|=\tfrac{|z|}{|z'|},\quad|z^{n}|=|z|^{n},\quad|\bar z|=|z|,

|z|=0\iff z=0,\qquad|z+z'|\le|z|+|z'|\ \text{(inégalité triangulaire)}.

Le module est une DISTANCE C'est la clé de toute la géométrie complexe :

\boxed{AB=|z_B-z_A|}

. Dès que vous voyez un module d'une différence, pensez « distance » — et l'exercice devient géométrique.

Ensembles de points

$|z-z_A|=r$ : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ;
$|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice du segment $[AB]$ .

1.6 Argument et forme trigonométrique

Définition Soit

z\neq0

d'image

M

. On appelle argument de

z

toute mesure de l'angle orienté

\big(\vec u,\overrightarrow{OM}\big)

, noté

\arg(z)

(défini modulo

2\pi

Méthode — trouver un argument On pose

r=|z|

, puis on résout le système

\cos\theta=\dfrac{a}{r}

\sin\theta=\dfrac{b}{r}

Piège — le cosinus SEUL ne suffit pas

\cos\theta=\tfrac12

admet deux solutions dans

]-\pi,\pi]

\tfrac\pi3

-\tfrac\pi3

. C'est le sinus qui tranche le signe. Utilisez toujours les deux — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Forme trigonométrique Tout

z\neq0

s'écrit

\boxed{\,z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)\,}

, avec

r=|z|

\theta=\arg(z)

. Propriétés :

\arg(z\,z')=\arg z+\arg z',\quad\arg\tfrac{z}{z'}=\arg z-\arg z',

\arg(z^{n})=n\arg z,\quad\arg(\bar z)=-\arg z,\quad\arg(-z)=\arg z+\pi.

1.7 Notation exponentielle

Définition On pose

\boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}

. Tout

z\neq0

s'écrit alors sous forme exponentielle

\boxed{\,z=r\,e^{i\theta}\,}

. On a

e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\quad\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')},\quad\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta},\quad\big|e^{i\theta}\big|=1.

Formule de Moivre Pour tout

n\in\mathbb{Z}

\boxed{\,\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\,}

, c'est-à-dire

\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}

Formules d'Euler

\boxed{\,\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\,},\qquad\boxed{\,\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\,}

À quoi servent ces deux formules — sens opposés

Moivre sert à développer : calculer $z^{n}$ , ou exprimer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ ;
Euler sert à linéariser : transformer $\cos^{3}\theta$ en somme de $\cos(k\theta)$ — ce qui permet ensuite de primitiver.

Exemple :

\cos^{2}\theta=\Big(\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\Big)^{2}=\dfrac{2\cos(2\theta)+2}{4}=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}

1.8 Sommes géométriques & angle moitié

Somme géométrique dans

\mathbb{C}

Pour

z\neq1

n\in\mathbb{N}

\boxed{\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^{k}=1+z+\dots+z^{n}=\dfrac{1-z^{\,n+1}}{1-z}\,}

(si

z=1

, la somme vaut

n+1

). Binôme de Newton :

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{k}b^{\,n-k}

Factorisation par l'angle moitié

\boxed{\,1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\;e^{i\theta/2}\,}\qquad\boxed{\,1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\;e^{i\theta/2}\,}

et plus généralement

e^{ia}+e^{ib}=2\cos\dfrac{a-b}2\;e^{\,i\frac{a+b}2}

Séparer module et argument L'angle moitié transforme une somme (

1\pm e^{i\theta}

) en un produit : un facteur réel (

2\cos\tfrac\theta2

2\sin\tfrac\theta2

) qui porte le module, et

e^{i\theta/2}

qui porte l'argument. Attention au signe du facteur réel : négatif, il ajoute

\pi

à l'argument. Associée à la somme géométrique, elle permet de calculer

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}

1.9 Racines $n$ -ièmes

Racines

n

-ièmes de l'unité Soit

n\in\mathbb{N}^{*}

. Une racine $n$ -ième de l'unité est un

z

tel que

z^{n}=1

; leur ensemble est

\mathbb{U}_{n}

. L'équation

z^{n}=1

admet exactement $n$ solutions :

\boxed{\,\omega_{k}=e^{\,i\frac{2k\pi}{n}},\ k\in\{0,\dots,n-1\}\,}

Deux faits à retenir

Les images de $\mathbb{U}_{n}$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant $1$ ;
leur somme est nulle dès que $n\ge2$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega_{k}=0$ .

Les

6

racines sixièmes de l'unité : sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité,

\omega_{0}=1

. Leur somme vaut

0

Le nombre

j

On note

\boxed{\,j=e^{\,i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\,}

. Les racines cubiques de l'unité sont

\mathbb{U}_{3}=\{1,j,j^{2}\}

, avec

j^{2}=\bar j=\tfrac1j

j^{3}=1

\boxed{\,1+j+j^{2}=0\,}

Racines

n

-ièmes d'un complexe non nul Soit

a=\rho\,e^{i\varphi}\neq0

. L'équation

z^{n}=a

admet exactement

n

solutions :

\boxed{\,z_{k}=\sqrt[n]{\rho}\;e^{\,i\frac{\varphi+2k\pi}{n}},\quad k\in\{0,\dots,n-1\}\,}

On les obtient toutes en multipliant l'une d'elles par les racines

n

-ièmes de l'unité. Méthode : mettre

a

sous forme exponentielle, prendre

\sqrt[n]{\rho}

et les arguments

\tfrac{\varphi+2k\pi}{n}

1.10 Complexes et géométrie

Angle de deux vecteurs

\arg(z_B-z_A)

mesure l'angle

\big(\vec u,\overrightarrow{AB}\big)

, et

\boxed{\,\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\ [2\pi]\,}

Les configurations à reconnaître En posant

Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

$A,B,C$ alignés $\iff Z\in\mathbb{R}$ ;
$(AB)\perp(AC)\iff Z$ imaginaire pur ;
$ABC$ isocèle en $A\iff|Z|=1$ ;
$ABC$ rectangle isocèle en $A\iff Z=\pm i$ ;
$ABC$ équilatéral $\iff Z=e^{\pm i\pi/3}$ .

Cocyclicité :

A,B,C,D

distincts sont cocycliques ou alignés

\iff

le birapport

\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}\div\dfrac{z_D-z_A}{z_D-z_B}\in\mathbb{R}

1.11 L'équation du second degré dans $\mathbb{C}$

L'équation

z^{2}=a

a\in\mathbb{R}

a>0

: deux solutions réelles

\pm\sqrt a

;

a=0

z=0

;

a&lt;0

: deux solutions imaginaires pures

\pm i\sqrt{|a|}

Équation

az^{2}+bz+c=0

, coefficients réels Soit

\Delta=b^{2}-4ac

$\Delta>0$ : deux racines réelles $\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ;
$\Delta=0$ : racine double $-\dfrac{b}{2a}$ ;
$\Delta<0$ : deux racines complexes conjuguées $z_{1}=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ , $z_{2}=\overline{z_{1}}$ .

Dans tous les cas

z_1+z_2=-\dfrac ba

z_1 z_2=\dfrac ca

Dans

\mathbb{C}

, il y a TOUJOURS des solutions Un discriminant négatif ne signifie plus « pas de solution », mais « deux solutions conjuguées ». Et elles le sont parce que

a,b,c

sont réels — si les coefficients étaient complexes, les racines n'auraient aucune raison d'être conjuguées.

Racines carrées d'un complexe (méthode algébrique) Tout

w\neq0

admet deux racines carrées opposées. Pour

w=x+iy

, on cherche

\delta=\alpha+i\beta

tel que

\delta^{2}=w

en résolvant

\alpha^{2}-\beta^{2}=x

2\alpha\beta=y

\alpha^{2}+\beta^{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

; le signe de

2\alpha\beta=y

fixe si

\alpha,\beta

sont de même signe.

Équation à coefficients complexes Pour

az^{2}+bz+c=0

avec

a,b,c\in\mathbb{C}

a\neq0

\Delta=b^{2}-4ac

: si

\delta

est une racine carrée de

\Delta

, les solutions sont

\boxed{\,z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\,}

. Le schéma est identique au cas réel : on ne peut plus écrire

\sqrt\Delta

, on choisit

\delta

1.12 Transformations & similitude directe

Écritures complexes Pour

M(z)\mapsto M'(z')

Translation de vecteur d'affixe $b$ : $\boxed{z'=z+b}$ ;
Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ , rapport $k\in\mathbb{R}^{*}$ : $\boxed{z'-\omega=k(z-\omega)}$ ;
Rotation de centre $\Omega(\omega)$ , angle $\theta$ : $\boxed{z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)}$ .

Reconnaître une transformation

z'=\lambda z+\beta

$\lambda=1$ : translation de vecteur d'affixe $\beta$ ;
$\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$ : homothétie de rapport $\lambda$ ;
$|\lambda|=1,\ \lambda\neq1$ : rotation d'angle $\arg\lambda$ .

Le centre

\omega

est le point fixe : on résout

\omega=\lambda\omega+\beta

Similitude directe Toute transformation

\boxed{\,z'=a\,z+b,\ a\in\mathbb{C}^{*},\ b\in\mathbb{C}\,}

. Si

a\neq1

: centre

\omega=\dfrac{b}{1-a}

(point fixe), rapport

k=|a|

, angle

\theta=\arg(a)

, et

z'-\omega=a(z-\omega)

Rotation & homothétie : deux cas particuliers Selon

a

(

a\neq1

) :

|a|=1

⇒ rotation d'angle

\arg a

;

a\in\mathbb{R}_{+}^{*}

⇒ homothétie de rapport

a

; cas général = composée d'une rotation d'angle

\arg a

et d'une homothétie de rapport

|a|

, de même centre. Une similitude directe conserve les angles orientés et multiplie toutes les distances par

k=|a|

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Forme algébrique

$i^{2}=-1$ , $\operatorname{Re}/\operatorname{Im}$ , une égalité = deux équations.

Conjugué & module

$z\bar z=|z|^{2}$ (quotients), $|z_B-z_A|$ = distance.

Argument & forme trig

Système $\cos$ et $\sin$ , $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ .

Exponentielle

$z=re^{i\theta}$ , Moivre (développer), Euler (linéariser).

Racines $n$ -ièmes

$z^{n}=a$ , $\mathbb{U}_n$ , polygone régulier, $1+j+j^{2}=0$ .

Second degré dans $\mathbb{C}$

$\Delta<0$ ⇒ conjuguées ; racine carrée de $\Delta$ .

Géométrie

$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ encode alignés / perpendiculaires / triangles.

Similitude directe

$z'=az+b$ : centre $\frac{b}{1-a}$ , rapport $|a|$ , angle $\arg a$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Forme exponentielle · Moivre

Exercice 1

Écrire $z=1+i\sqrt3$ sous forme exponentielle, puis calculer $z^{6}$ .

Voir la correction

Module : $|z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt3)^{2}}=\sqrt4=2$ .

Argument : on résout le système $\cos\theta=\tfrac12$ et $\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ . Le cosinus seul autoriserait $\pm\tfrac\pi3$ ; le sinus étant positif, $\theta=\tfrac\pi3$ . Donc $\boxed{z=2\,e^{i\pi/3}}$ .

Puissance : avec Moivre, $z^{6}=2^{6}\,e^{i\times6\times\pi/3}=64\,e^{2i\pi}=64$ . Un nombre réel — voilà pourquoi on passe en exponentielle pour les puissances. ∎

Second degré ·

\Delta&lt;0

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-2z+5=0$ .

Voir la correction

Coefficients réels. $\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times5=4-20=-16<0$ : deux racines conjuguées. Comme $\sqrt{|\Delta|}=4$ : $z_{1}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i,\qquad z_{2}=\overline{z_{1}}=1-2i.$ Vérif. : $z_1+z_2=2=-\tfrac ba$ ✓ et $z_1 z_2=(1+2i)(1-2i)=1+4=5=\tfrac ca$ ✓ ∎

Euler · linéarisation

Exercice 3

Linéariser $\cos^{3}\theta$ (l'exprimer en somme de cosinus).

Voir la correction

Avec Euler $\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ : $\cos^{3}\theta=\dfrac{1}{8}\big(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\big)^{3}=\dfrac{1}{8}\big(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\big).$ On regroupe les conjugués : $e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}=2\cos3\theta$ et $3(e^{i\theta}+e^{-i\theta})=6\cos\theta$ , d'où $\boxed{\cos^{3}\theta=\dfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}}.$ Sous cette forme, $\cos^{3}\theta$ se primitive terme à terme. ∎

Racines

n

-ièmes

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=-8$ .

Voir la correction

On met le second membre sous forme exponentielle : $-8=8\,e^{i\pi}$ . Les solutions sont $z_{k}=\sqrt[3]{8}\;e^{\,i\frac{\pi+2k\pi}{3}}=2\,e^{\,i\frac{\pi+2k\pi}{3}},\quad k\in\{0,1,2\}.$ On développe : $z_{0}=2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3$ , $z_{1}=2e^{i\pi}=-2$ , $z_{2}=2e^{i5\pi/3}=1-i\sqrt3$ . Les trois images forment un triangle équilatéral de centre $O$ . ∎

Transformation · rotation

Exercice 5

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $z'=i\,z+1-i$ .

Voir la correction

Ici $\lambda=i$ . Comme $|i|=1$ et $i\neq1$ , c'est une rotation d'angle $\theta=\arg(i)=\tfrac\pi2$ .

Centre = point fixe : $\omega=i\omega+1-i\Rightarrow\omega(1-i)=1-i\Rightarrow\omega=1$ . Conclusion : rotation de centre $\Omega(1)$ , angle $\tfrac\pi2$ .

Vérif. : $z'-1=iz+1-i-1=i(z-1)$ , forme $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ . ✓ ∎

Similitude directe

Exercice 6

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $z'=(1+i)\,z+2$ .

Voir la correction

Ici $a=1+i\neq1$ : similitude directe. $k=|a|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ , $\theta=\arg(1+i)=\tfrac\pi4$ .

Centre (point fixe) : $\omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{2}{1-(1+i)}=\dfrac{2}{-i}=2i$ .

Conclusion : similitude directe de centre $\Omega(2i)$ , rapport $\sqrt2$ , angle $\tfrac\pi4$ (composée d'une rotation d'angle $\tfrac\pi4$ et d'une homothétie de rapport $\sqrt2$ , de même centre). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Une égalité complexe = deux équations réelles (parties réelle et imaginaire).

Astuce $z\bar z=|z|^{2}$ : la clé des quotients — on multiplie par le conjugué.

Astuce Puissances ⇒ forme exponentielle (Moivre) ; linéarisation ⇒ Euler.

Astuce $|z-z_A|$ est une distance : cercle, médiatrice, configurations géométriques.

Astuce $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ encode tout : réel ⇒ alignés, imaginaire pur ⇒ perpendiculaires.

Astuce $1+j+j^{2}=0$ (

j=e^{2i\pi/3}

) : réflexe pour toute expression symétrique en

1,j,j^{2}

Piège

\operatorname{Im}(z)

est un réel : pour

3+2i

, c'est

2

, pas

2i

Piège Pour un argument, résoudre le système $\cos$ et $\sin$ : le cosinus seul est ambigu.

Piège Dans

\mathbb{C}

\Delta&lt;0

ne veut plus dire « pas de solution » mais « deux conjuguées ».

Piège Coefficients complexes : on n'écrit jamais

\sqrt\Delta

— on choisit une racine carrée

\delta

\Delta

Piège Composer deux transformations n'est pas commutatif :

t\circ r\neq r\circ t

(mêmes angles, centres différents).

Formulaire à retenir

Nombre

i

i^{2}=-1

; puissances périodiques de période

4

Forme algébrique

z=a+ib

a=\operatorname{Re}(z)

b=\operatorname{Im}(z)

(un réel)

Égalité

a+ib=a'+ib'\iff a=a'

b=b'

Conjugué

\overline{a+ib}=a-ib

;

z\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}

Quotient multiplier par le conjugué du dénominateur

Réel / imaginaire pur

z\in\mathbb{R}\iff\bar z=z

; imaginaire pur

\iff\bar z=-z

Module

|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

|zz'|=|z||z'|

|z^{n}|=|z|^{n}

Distance

AB=|z_B-z_A|

;

|z-z_A|=r

cercle,

|z-z_A|=|z-z_B|

médiatrice

Argument

\cos\theta=\tfrac ar

\sin\theta=\tfrac br

(système, modulo

2\pi

)

Forme trigonométrique

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

Propriétés de l'argument

\arg(zz')=\arg z+\arg z'

\arg(z^{n})=n\arg z

Forme exponentielle

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

z=re^{i\theta}

|e^{i\theta}|=1

Moivre

(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta

Euler

\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta=\tfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

Angle moitié

1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}

1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}

Somme géométrique

\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{\,n+1}}{1-z}

(

z\neq1

)

Racines de l'unité

z^{n}=1

\omega_k=e^{i2k\pi/n}

\sum\omega_k=0

, polygone régulier

Nombre

j

j=e^{2i\pi/3}

j^{3}=1

1+j+j^{2}=0

j^{2}=\bar j

Racines

n

-ièmes de

a=\rho e^{i\varphi}

z_k=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}

k=0,\dots,n-1

Barycentre

z_G=\dfrac{\sum\alpha_k z_k}{\sum\alpha_k}

(milieu, centre de gravité)

Angle de deux vecteurs

\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

Second degré (réels),

\Delta&lt;0

z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

, conjuguées ;

z_1+z_2=-\tfrac ba

z_1z_2=\tfrac ca

Coefficients complexes

z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}

\delta

racine carrée de

\Delta

Translation

z'=z+b

Homothétie

(k\in\mathbb{R}^{*})

z'-\omega=k(z-\omega)

Rotation (angle

\theta

)

z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)

Similitude directe

z'=az+b

: centre

\omega=\tfrac{b}{1-a}

, rapport

|a|

, angle

\arg a

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les nombres complexes

1 · Résumé du cours

1.1 Généralités

1.2 Opérations dans C\mathbb{C}C

1.3 Le plan complexe

1.4 Conjugué

1.5 Module

1.6 Argument et forme trigonométrique

1.7 Notation exponentielle

1.8 Sommes géométriques & angle moitié

1.9 Racines nnn-ièmes

1.10 Complexes et géométrie

1.11 L'équation du second degré dans C\mathbb{C}C

1.12 Transformations & similitude directe

2 · Feuille de route

Forme algébrique

Conjugué & module

Argument & forme trig

Exponentielle

Racines nnn-ièmes

Second degré dans C\mathbb{C}C

Géométrie

Similitude directe

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 Opérations dans $\mathbb{C}$

1.9 Racines $n$ -ièmes

1.11 L'équation du second degré dans $\mathbb{C}$

Racines $n$ -ièmes

Second degré dans $\mathbb{C}$