Fiche de révision — Les nombres complexes · 2ᵉ Bac SM

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Les nombres complexes en Sciences Mathématiques vont bien au-delà du calcul : racines n-ièmes, formule de Moivre, notation exponentielle e^(iθ) et surtout les transformations du plan (rotations, similitudes directes). Cette fiche condense les formes, le module, l'argument et ces applications géométriques. Dans les examens nationaux SM, l'exercice de complexes est riche et souvent décisif. Le point clé : associer chaque écriture complexe à une transformation géométrique — une similitude directe z′ = az + b a pour rapport |a| et pour angle arg(a).

ℂ

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les nombres complexes — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Écritures, module & argument

Algébrique

z=a+ib

i^{2}=-1

· une égalité = deux

Trigonométrique

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

r=|z|

\theta=\arg z

Exponentielle

z=r\,e^{i\theta}

pour les puissances

Conjugué

\bar z=a-ib

z\bar z=|z|^{2}

Module

|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

AB=|z_B-z_A|

Argument

\arg(zz')=\arg z+\arg z'

modulo

2\pi

Moivre

(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta

puissances

n

-ièmes

Euler

\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

2 · Outils de calcul

Quotient

multiplier par le conjugué du dénominateur
$(1+i)(1-i)=2$

Clé :

z\bar z=|z|^{2}

rend le dénominateur réel.

Argument

$\cos\theta=\tfrac ar$ , $\sin\theta=\tfrac br$
résoudre le système

Piège : le cosinus seul est ambigu — le sinus tranche le signe.

Moivre — développer

$(e^{i\theta})^{n}=e^{in\theta}$
$z^{n}$ , $\cos 3\theta$ en $\cos\theta$

Euler — linéariser

$\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
$\cos^{3}\theta=\tfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}$ ⇒ primitiver

Angle moitié

$1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}$
$1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}$

Puissances de

i

période $4$ : $1,i,-1,-i$
$i^{n}$ : garder le reste de $n/4$

3 · Racines, équations & valeurs clés

z^{n}=1\Rightarrow\omega_k=e^{i2k\pi/n}

\sum\omega_k=0

(

n\ge2

)

j=e^{2i\pi/3}

1+j+j^{2}=0

z^{n}=\rho e^{i\varphi}\Rightarrow\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}

\Delta&lt;0\Rightarrow z=\tfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}

z_1+z_2=-\tfrac ba

z_1z_2=\tfrac ca

coeff. complexes :

z=\tfrac{-b\pm\delta}{2a}

e^{i\pi}=-1

e^{i\pi/2}=i

1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}

4 · Géométrie & transformations

Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

$Z\in\mathbb{R}$ : alignés
$Z$ imaginaire pur : $\perp$
$|Z|=1$ : isocèle en $A$
$Z=\pm i$ : rectangle isocèle
$Z=e^{\pm i\pi/3}$ : équilatéral

Similitude

z'=az+b

centre $\omega=\tfrac{b}{1-a}$ (point fixe)
rapport $k=|a|$ , angle $\arg a$

Cas :

a=1

translation,

|a|=1

rotation,

a\in\mathbb{R}_+^*

homothétie.

Écritures réduites

translation $z'=z+b$
rotation $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$
homothétie $z'-\omega=k(z-\omega)$

Barycentre & distance

$z_G=\tfrac{\sum\alpha_k z_k}{\sum\alpha_k}$
$|z-z_A|=r$ : cercle
$|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice

★ Astuces géniales

Une égalité complexe = deux équations réelles.
Puissances ⇒ exponentielle (Moivre) ; linéarisation ⇒ Euler.
Un module de différence ⇒ pense « distance », l'exercice devient géométrique.
Composer deux transformations n'est pas commutatif.

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