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L'arithmétique dans ℤ est une spécificité forte du programme Sciences Mathématiques. Cette fiche réunit la division euclidienne, l'algorithme d'Euclide, le PGCD et le PPCM, les théorèmes de Bézout et de Gauss, les congruences et les équations diophantiennes. C'est un chapitre où la démonstration prime sur le calcul : on attend un raisonnement rigoureux. Le réflexe utile : traduire un problème de divisibilité en congruences modulo n, souvent le chemin le plus court vers la solution dans les sujets d'examen national.

ℤ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Arithmétique dans ℤ — Méthodes & Formules

Math Excellence
1 · Les fondations
Division euclidienne
a=bq+ra=bq+r
0\le r<|b|, (q,r)(q,r) unique
PGCD × PPCM
=∣ab∣=|ab|
deux entiers seulement
Bézout
au+bv=1au+bv=1
  ⟺  a∧b=1\iff a\wedge b=1
Gauss
a∣bc, a∧b=1⇒a∣ca\mid bc,\ a\wedge b=1\Rightarrow a\mid c
condition obligatoire !
Fermat
ap−1≡1 [p]a^{p-1}\equiv1\ [p]
pp premier, p∤ap\nmid a
Congruence
a≡b [n]a\equiv b\ [n]
  ⟺  n∣a−b\iff n\mid a-b
Euclide
a∧b=b∧ra\wedge b=b\wedge r
algo des restes
Premiers
n=∏piαin=\prod p_i^{\alpha_i}
τ(n)=∏(αi+1)\tau(n)=\prod(\alpha_i+1)
2 · Les méthodes types
PGCD & Bézout
  • Euclide : pgcd⁡(a,b)=pgcd⁡(b,r)\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r)
  • couple : remonter l'algorithme
Premiers entre eux : exhiber au+bv=1au+bv=1.
Diophantienne ax+by=cax+by=c
  • ① tester (a∧b)∣c(a\wedge b)\mid c
  • ② simplifier par dd
  • ③ solution particulière
  • ④ (x0+kb′, y0−ka′)(x_0+kb',\,y_0-ka')
Vérifier : les kk disparaissent.
Grande puissance mod nn
  • chercher la période : ak≡1a^{k}\equiv1
  • ou Fermat si n=pn=p premier
  • diviser l'exposant, garder le reste
Inverse dans Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
  • vérifier a∧n=1a\wedge n=1
  • Bézout au+nv=1au+nv=1
  • aˉ−1=uˉ\bar a^{-1}=\bar u
Changer de base
  • base 10→bb : divisions par bb
  • restes lus de bas en haut
Nombre de diviseurs
  • n=∏piαin=\prod p_i^{\alpha_i}
  • τ(n)=∏(αi+1)\tau(n)=\prod(\alpha_i+1)
3 · Réflexes & valeurs clés
10≡1 [9]10\equiv1\ [9] → somme chiffres
10≡−1 [11]10\equiv-1\ [11] → somme alternée
23≡1 [7]2^{3}\equiv1\ [7] (période 3)
52≡−1 [13]5^{2}\equiv-1\ [13]
pgcd⁡(252,105)=21\operatorname{pgcd}(252,105)=21
τ(360)=24\tau(360)=24
Z/5Z\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} : corps
Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} : 2ˉ3ˉ=0ˉ\bar2\bar3=\bar0
101101‾ 2=45\overline{101101}^{\,2}=45
4 · Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} & distinctions fines
Anneau Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
  • nn classes 0ˉ,…,n−1‾\bar0,\dots,\overline{n-1}
  • aˉ+bˉ=a+b‾\bar a+\bar b=\overline{a+b}, aˉbˉ=ab‾\bar a\bar b=\overline{ab}
Corps   ⟺  n\iff n premier.
Deux à deux vs ensemble
  • ensemble : pgcd⁡(a1,…,an)=1\operatorname{pgcd}(a_1,\dots,a_n)=1
  • deux à deux : pgcd⁡(ai,aj)=1\operatorname{pgcd}(a_i,a_j)=1 (plus fort)
6,10,156,10,15 : ensemble oui, deux à deux non.
Lien structures (ch. 12)
  • Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = corps fini fondamental
  • éclaire Fermat (groupe mult.)
Diviseurs de zéro
  • nn non premier ⇒ ∃ aˉbˉ=0ˉ\exists\,\bar a\bar b=\bar0, aˉ,bˉ≠0ˉ\bar a,\bar b\neq\bar0
  • ⇒ pas un corps
★ Astuces géniales
  • L'arithmétique = raisonnement : citez les conditions des théorèmes.
  • Gauss sans a∧b=1a\wedge b=1 : erreur nº1 du chapitre.
  • Diophantienne : tester d∣cd\mid c avant tout calcul.
  • Grandes puissances ⇒ congruences / Fermat.
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