Fiche de révision — Calcul de probabilité · 2ᵉ Bac SM

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En Sciences Mathématiques, le calcul de probabilité s'appuie sur un dénombrement solide (arrangements, combinaisons) et sur les notions de probabilité conditionnelle, d'indépendance et de variable aléatoire. Cette fiche récapitule les formules clés, dont l'espérance, la variance et la loi binomiale. En SM, l'exercice mêle souvent dénombrement et arbre de probabilité. Le piège : oublier de vérifier l'indépendance avant d'utiliser p(A∩B) = p(A)·p(B), ou confondre arrangement (ordonné) et combinaison (non ordonnée).

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Calcul de probabilité — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Les fondations

Combinaisons

\dbinom np=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}

tirage simultané, sans ordre

Équiprobabilité

P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}

favorables / possibles

Conditionnelle

P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

P(A\cap B)=P(A)P_A(B)

Indépendance

P(A\cap B)=P(A)P(B)

\iff P_A(B)=P(B)

Loi binomiale

P(X{=}k)=\dbinom nk p^{k}(1{-}p)^{n-k}

E(X)=np

Arrangements

A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}

ordonné, sans répétition

Réunion / contraire

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(\bar A)=1-P(A)

Probabilités totales

P(B)=\sum_i P(A_i)\,P_{A_i}(B)

arbre pondéré · Bayes

2 · Les méthodes types

Compter (dénombrer)

① l'ordre compte-t-il ?
② y a-t-il remise ?

avec remise

n^{p}

· sans

A_n^{p}

· simultané

\binom np

« Au moins un »

passer au contraire
« au moins un » ⟷ « aucun »

P(A)=1-P(\overline A)

Arbre pondéré

multiplier le long d'un chemin
additionner les chemins
branches d'un nœud : somme $=1$

Totales & Bayes

totales : $P(B)=\sum P(A_i)P_{A_i}(B)$
Bayes : $P_B(A_j)=\dfrac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{P(B)}$

totales = descendre ; Bayes = remonter.

Variable aléatoire

loi : $\sum p_i=1$
$E(X)=\sum x_i p_i$
$V=\sum x_i^{2}p_i-E(X)^{2}$ (Kœnig)

Loi binomiale

citer les 3 conditions
$P(X=k)=\binom nk p^{k}(1-p)^{n-k}$
$E=np,\ V=np(1-p)$

3 · Réflexes & valeurs clés

« simultanément » →

\binom np

« au moins un » → contraire

\binom n2=\dfrac{n(n-1)}{2}

\binom np=\binom n{n-p}

P(\overline A)=1-P(A)

E(X)=np

(binomiale)

F_X

: escalier,

0\to1

saut de

F_X

x_i

=p_i

sans remise ⇒ pas binomiale

4 · Distinctions fines

Indépendants vs incompatibles

incompatibles : $A\cap B=\varnothing$
indépendants : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

presque le contraire l'un de l'autre !

P_A(B)

P_B(A)

ce sont deux nombres différents
passer de l'un à l'autre : Bayes

erreur classique de les confondre.

Arrangement vs combinaison

arrangement : ordre compte
combinaison : $=\dfrac{A_n^{p}}{p!}$

E(X)

n'est pas une valeur de

X

c'est la moyenne sur un grand nombre d'essais
$\sigma(X)$ = dispersion

★ Astuces géniales

Toujours modéliser avant de calculer : ordre ? remise ?
Un doute en conditionnelle ⇒ dessiner l'arbre.
« Au moins un » ⇒ contraire, presque toujours plus court.
Loi binomiale : les 3 conditions sont au barème — écrivez-les.

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