Fiche de révision — Lois de composition interne · 2ᵉ Bac SM

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Les lois de composition interne ouvrent l'algèbre abstraite du programme Sciences Mathématiques. Cette fiche réunit les propriétés d'une loi (associativité, commutativité, élément neutre, symétrique) et la notion de partie stable. C'est le vocabulaire de base sur lequel reposent les structures de groupe, d'anneau et de corps. En SM, la difficulté est de raisonner sur une loi abstraite « ∗ » sans se raccrocher à l'addition ou à la multiplication habituelles. Vérifiez toujours l'existence du neutre avant de chercher un symétrique.

∗

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Lois de composition interne — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Les fondations

Loi interne

a\ast b\in E

« interne » = stable

Neutre

a\ast e=e\ast a=a

unique · résoudre

a\ast e=a

Symétrique

a\ast a'=e

unique si associative

Morphisme

f(a\ast b)=f(a)\top f(b)

bijectif = isomorphisme

Distributivité

a\top(b\ast c)=(a\top b)\ast(a\top c)

relie deux lois → anneau

Associativité

(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)

place des parenthèses

Commutativité

a\ast b=b\ast a

ordre indifférent

Régulier

a\ast x=a\ast y\Rightarrow x=y

symétrisable ⇒ régulier

2 · Les méthodes types

Étudier une loi

\ast

① stabilité $a\ast b\in E$
② commutative ? associative ?
③ neutre ④ symétriques

toujours dans cet ordre.

Trouver le neutre

résoudre $a\ast e=a$
indépendant de $a$ ⇒ neutre
dépend de $a$ ⇒ pas de neutre

Trouver les symétriques

résoudre $a\ast a'=e$
discuter l'existence de $a'$

préciser quels

a

sont symétrisables.

Prouver un morphisme

vérifier $f(a\ast b)=f(a)\top f(b)$
bijectif ⇒ isomorphisme

il transporte neutre & symétriques.

Partie stable

$\forall x,y\in F,\ x\ast y\in F$

Matrices

\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

$+$ et $\times$ : deux lois
calculer $AB$ et $BA$

\times

associative, non commutative.

3 · Réflexes & valeurs clés

stabilité = 1ʳᵉ étape

neutre :

a\ast e=a

symétrique :

a\ast a'=e

symétrisable ⇒ régulier

réciproque fausse :

(\mathbb{N},+)

\ln

(\mathbb{R}_+^{*},\times)\to(\mathbb{R},+)

I

neutre de

\times

O

neutre de

+

AB\neq BA

en général

4 · Distinctions fines

Régulier vs symétrisable

symétrisable $\Rightarrow$ régulier
régulier $\not\Rightarrow$ symétrisable

contre-ex. :

(\mathbb{N},+)

Associatif vs commutatif

indépendants l'un de l'autre
$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ : assoc. non commut.

Morphisme → structures (ch. 12)

isomorphes = indiscernables
brique des groupes / anneaux

Neutre à deux côtés

vérifier $a\ast e$ et $e\ast a$
tant que $\ast$ non commutative

★ Astuces géniales

La stabilité d'abord — inutile de tester le reste si la loi n'est pas interne.
Neutre qui dépend de $a$ ⇒ il n'y a pas de neutre.
Un isomorphisme rend deux structures interchangeables ( $\ln$ / $\exp$ ).
Distributivité = pont vers l'anneau du chapitre suivant.

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