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Ce chapitre construit les grandes structures algébriques du programme Sciences Mathématiques : groupes, anneaux et corps. Cette fiche condense le critère de sous-groupe, les morphismes, les diviseurs de zéro et la caractérisation d'un corps. En SM, on attend des démonstrations abstraites propres, par exemple montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe. Un résultat à retenir absolument : ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est premier — il revient régulièrement dans les sujets d'examen national.

G
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Groupes, anneaux et corps — Méthodes & Formules

Math Excellence
1 · Les structures
Groupe
interne · assoc. · neutre · symétr.
4 axiomes à cocher
Abélien
a∗b=b∗aa\ast b=b\ast a
groupe + commutative
Sous-groupe
e∈H, x∗y′∈He\in H,\ x\ast y'\in H
assoc. héritée
Morphisme
f(a∗b)=f(a)⊤f(b)f(a\ast b)=f(a)\top f(b)
bijectif = isomorphisme
Anneau
(A,+)(A,+) abélien · ×\times distrib.
deux lois qui coopèrent
Intègre
ab=0⇒a=0ab=0\Rightarrow a=0 ou b=0b=0
autorise la factorisation
Corps
tout non nul inversible
« on peut diviser »
Hiérarchie
corps ⇒\Rightarrow anneau ⇒\Rightarrow groupe
par ajout d'axiomes
2 · Les méthodes types
Montrer que (G,∗)(G,\ast) est un groupe
  • ① interne a∗b∈Ga\ast b\in G
  • ② associative ③ neutre a∗e=aa\ast e=a
  • ④ symétrique a∗a′=ea\ast a'=e, a′∈Ga'\in G
abélien si ∗\ast commutative.
Montrer que HH est un sous-groupe
  • e∈He\in H (donc H≠∅H\neq\varnothing)
  • x∗y′∈Hx\ast y'\in H pour tous x,yx,y
ne pas re-vérifier l'associativité.
Prouver un morphisme
  • vérifier f(a∗b)=f(a)⊤f(b)f(a\ast b)=f(a)\top f(b)
  • bijectif ⇒ isomorphisme
il transporte neutre & symétriques.
Anneau intègre / diviseurs de zéro
  • chercher a,b≠0a,b\neq0 avec ab=0ab=0
  • si aucun ⇒ intègre
Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} : 2ˉ3ˉ=0ˉ\bar{2}\bar{3}=\bar{0}.
Montrer que c'est un corps
  • anneau commutatif unitaire
  • tout a≠0a\neq0 inversible (calculer a−1a^{-1})
Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : nn premier.
Distributivité (anneau)
  • a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
  • (b+c)a=ba+ca(b+c)a=ba+ca
à gauche ET à droite.
3 · Réflexes & valeurs clés
(Z,+),(R,+),(C,+)(\mathbb{Z},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+) abéliens
(N,+)(\mathbb{N},+) pas un groupe
(R∗,×)(\mathbb{R}^{*},\times) groupe
Z\mathbb{Z} intègre, pas corps
R,C\mathbb{R},\mathbb{C} corps
Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} corps ⟺ nn premier
Z/6Z\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} non intègre
M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) anneau non commut.
tout corps est intègre
4 · Distinctions fines
Anneau vs corps
  • anneau : ×\times associative + distrib.
  • corps : + tout non nul inversible
Z\mathbb{Z} anneau mais pas corps.
Intègre vs non intègre
  • intègre : ab=0⇒a=0ab=0\Rightarrow a=0 ou b=0b=0
  • non intègre : factorisation KO
tout corps est intègre.
Emboîtement par axiomes
  • pas une inclusion d'ensembles
  • on ajoute un axiome à chaque cran
Unitaire : 1A≠0A1_A\neq0_A
  • neutre de ×\times distinct de 0A0_A
  • distributivité à 2 côtés
★ Astuces géniales
  • Une structure = une liste d'axiomes : on coche, on ne « ressent » pas.
  • Sous-groupe : l'associativité est héritée — deux lignes suffisent.
  • L'intégrité est ce qui autorise « produit nul ⟺ un facteur nul ».
  • Un corps est un anneau où l'on peut diviser (Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : nn premier).
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