2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 12

QCM — Groupes, anneaux et corps (SM)

Groupes et sous-groupes, morphismes, anneaux, diviseurs de zéro et anneaux intègres, corps et hiérarchie des structures algébriques. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

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Question 1 / 18

\((G,*)\) est un groupe lorsque \(*\) est associative, admet un neutre et :

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Question 1
\((G,*)\) est un groupe lorsque \(*\) est associative, admet un neutre et :
- ✓tout élément admet un symétrique
- B\(*\) est commutative
- C\(G\) est fini
- D\(G\subset\mathbb{R}\)
Remarque
Un groupe : loi interne associative, élément neutre, et tout élément symétrisable. La commutativité n'est exigée que pour un groupe abélien.
Question 2
Parmi ces structures, laquelle est un groupe ?
- A\((\mathbb{N},+)\)
- ✓\((\mathbb{Z},+)\)
- C\((\mathbb{Z},\times)\)
- D\((\mathbb{N},\times)\)
Remarque
\((\mathbb{Z},+)\) est un groupe. \((\mathbb{N},+)\) ne l'est pas (pas de symétrique pour \(1\)) ; \((\mathbb{Z},\times)\) non plus (\(2\) n'a pas d'inverse).
Question 3
\(H\) est un sous-groupe de \((G,*)\) si \(H\ne\varnothing\), \(H\subset G\) et :
- ✓\(\forall x,y\in H,\ x*y^{-1}\in H\)
- B\(\forall x\in H,\ x\in G\)
- C\(H\) est fini
- D\(H=G\)
Remarque
Critère du sous-groupe : \(H\) non vide et stable par \((x,y)\mapsto x*y^{-1}\) (ce qui garantit neutre, produit et symétriques).
Question 4
Si \(f:(G,*)\to(G',\top)\) est un morphisme de groupes, alors \(f(e_G)=\) :
- ✓\(e_{G'}\)
- B\(e_G\)
- C\(0\)
- Dn'importe quoi
Remarque
Un morphisme de groupes envoie le neutre sur le neutre : \(f(e_G)=e_{G'}\), et \(f(x^{-1})=\big(f(x)\big)^{-1}\).
Question 5
\((A,+,\times)\) est un anneau lorsque \((A,+)\) est un groupe abélien, \(\times\) est associative et :
- ✓\(\times\) est distributive sur \(+\)
- B\(\times\) est commutative
- C\(A\) est un corps
- Dtout élément est inversible
Remarque
Un anneau : \((A,+)\) groupe abélien, \(\times\) associative et distributive sur \(+\) (unitaire s'il possède un neutre \(1_A\)).
Question 6
Un anneau est commutatif lorsque :
- ✓\(\times\) est commutative
- B\(+\) est commutative
- C\(1_A=0_A\)
- Dil n'a pas de diviseur de zéro
Remarque
Dans tout anneau \(+\) est déjà commutative ; l'anneau est dit commutatif quand sa multiplication \(\times\) l'est aussi.
Question 7
Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), \(\bar 2\) est un diviseur de zéro car :
- ✓\(\bar 2\times\bar 3=\bar 0\) avec \(\bar 2\ne\bar 0,\ \bar 3\ne\bar 0\)
- B\(\bar 2=\bar 0\)
- C\(\bar 2\) est inversible
- D\(\bar 2\times\bar 2=\bar 0\)
Remarque
\(\bar 2\times\bar 3=\bar 6=\bar 0\) alors que \(\bar 2\ne\bar 0\) et \(\bar 3\ne\bar 0\) : \(\bar 2\) est un diviseur de zéro.
Question 8
Un anneau intègre est un anneau commutatif unitaire (\(1_A\ne 0_A\)) :
- ✓sans diviseur de zéro
- Boù tout élément est inversible
- Cfini
- Dnon commutatif
Remarque
Intègre = commutatif, unitaire, \(1_A\ne 0_A\), et \(ab=0\Rightarrow a=0\) ou \(b=0\). Ainsi \((\mathbb{Z},+,\times)\) est intègre.
Question 9
Un corps est un anneau commutatif (\(1\ne 0\)) dans lequel :
- ✓tout élément non nul est inversible
- Btout élément est nilpotent
- Cil y a des diviseurs de zéro
- Dl'addition n'est pas commutative
Remarque
Dans un corps, tout élément \(\ne 0\) admet un inverse. \(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\) sont des corps ; \(\mathbb{Z}\) n'en est pas un.
Question 10
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si :
- ✓\(n\) est premier
- B\(n\) est pair
- C\(n\ge 2\)
- D\(n\) est un carré
Remarque
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps \(\iff n\) est premier (sinon un facteur de \(n\) fournit un diviseur de zéro non inversible).
Question 11
\((\mathbb{R}^{*},\times)\) est un groupe dont l'élément neutre est :
- ✓\(1\)
- B\(0\)
- C\(-1\)
- Dil n'y en a pas
Remarque
\((\mathbb{R}^{*},\times)\) est un groupe abélien de neutre \(1\), tout \(x\ne 0\) ayant pour inverse \(\dfrac1x\).
Question 12
Dans un groupe, le symétrique d'un élément est :
- ✓unique
- Bmultiple
- Ctoujours l'élément lui-même
- Dle neutre
Remarque
Le symétrique est unique : si \(y\) et \(y'\) sont symétriques de \(x\), alors \(y=y*(x*y')=(y*x)*y'=y'\).
Question 13
Si \(f:(G,*)\to(G',\top)\) est un morphisme de groupes, alors \(f(x^{-1})=\) :
- ✓\(\big(f(x)\big)^{-1}\)
- B\(f(x)\)
- C\(-f(x)\)
- D\(e_{G'}\)
Remarque
Un morphisme respecte l'inversion : \(f(x^{-1})=\big(f(x)\big)^{-1}\) (et \(f(e_G)=e_{G'}\)).
Question 14
\((\mathbb{Z},+,\times)\) est :
- ✓un anneau intègre mais pas un corps
- Bun corps
- Cun anneau non commutatif
- Dun anneau avec diviseurs de zéro
Remarque
\(\mathbb{Z}\) est un anneau commutatif unitaire intègre, mais \(2\) (par exemple) n'a pas d'inverse : ce n'est pas un corps.
Question 15
Dans le corps \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), l'inverse de \(\bar 2\) est :
- ✓\(\bar 3\)
- B\(\bar 2\)
- C\(\bar 4\)
- D\(\bar 1\)
Remarque
\(\bar 2\times\bar 3=\bar 6=\bar 1\) dans \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), donc \((\bar 2)^{-1}=\bar 3\).
Question 16
\((\mathbb{Q},+,\times)\) est :
- ✓un corps
- Bun anneau non intègre
- Cun groupe seulement
- Dsans élément neutre
Remarque
\(\mathbb{Q}\) est un corps : tout rationnel non nul \(\dfrac{p}{q}\) a pour inverse \(\dfrac{q}{p}\). De même \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\).
Question 17
Dans un anneau unitaire, l'élément neutre de la multiplication est noté :
- ✓\(1_A\)
- B\(0_A\)
- C\(e\)
- D\(\varnothing\)
Remarque
Le neutre multiplicatif d'un anneau unitaire est \(1_A\) (le neutre additif étant \(0_A\)).
Question 18
L'ensemble \(\{-1,1\}\) muni de la multiplication \(\times\) est :
- ✓un groupe
- Bun anneau non commutatif
- Csans élément neutre
- Dnon stable
Remarque
\(\{-1,1\}\) est stable par \(\times\), de neutre \(1\), chaque élément étant son propre inverse : c'est un groupe (abélien).

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