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Les espaces vectoriels concluent l'algèbre de Sciences Mathématiques et préparent les études supérieures. Cette fiche réunit la notion de sous-espace vectoriel, les familles libres et liées, les bases et la dimension. En SM, l'enjeu est de manipuler des vecteurs de manière abstraite : montrer qu'une famille est libre, qu'elle engendre, ou qu'elle forme une base. Le résultat structurant : dans un espace de dimension n, toute famille libre de n vecteurs est automatiquement une base — un raccourci puissant à bien maîtriser.

V
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Espaces vectoriels — Méthodes & Formules

Math Excellence
1 · Les notions
Espace vectoriel
(E,+)(E,+) abélien + loi externe
4 axiomes du ⋅\cdot
Règle du zéro
λx⃗=0⃗  ⟺  λ=0\lambda\vec x=\vec0\iff\lambda=0 ou x⃗=0⃗\vec x=\vec0
« diviser par λ\lambda »
Sous-espace (SEV)
0⃗∈F, αu⃗+βv⃗∈F\vec0\in F,\ \alpha\vec u+\beta\vec v\in F
axiomes hérités
Vect\mathrm{Vect}
toutes les comb. linéaires
le plus petit SEV
Famille libre
∑αiv⃗i=0⃗⇒αi=0\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0\Rightarrow\alpha_i=0
aucune redondance
Famille liée
un vecteur = comb. des autres
colinéaires si 2
Base
libre et génératrice
coordonnées uniques
Dimension
nombre de vecteurs d'une base
dim⁡Rn=n\dim\mathbb{R}^{n}=n
2 · Les méthodes types
Montrer que FF est un SEV
  • 0⃗∈F\vec0\in F (donc F≠∅F\neq\varnothing)
  • αu⃗+βv⃗∈F\alpha\vec u+\beta\vec v\in F pour tous α,β,u⃗,v⃗\alpha,\beta,\vec u,\vec v
ou l'écrire F=Vect(… )F=\mathrm{Vect}(\dots).
Étudier libre / liée
  • poser ∑αiv⃗i=0⃗\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0
  • traduire en système, résoudre
solution nulle seule ⇒ libre.
Critère du déterminant
  • dim 2 : x1y2−x2y1≠0x_1y_2-x_2y_1\neq0
  • dim 3 : det⁡ 3×3≠0\det\ 3\times3\neq0
≠0⇒\neq0\Rightarrow libre, =0⇒=0\Rightarrow liée.
Trouver une base / la dimension
  • écrire F=Vect(v⃗1,… )F=\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots)
  • garder une sous-famille libre
dim⁡F=\dim F= nb de vecteurs gardés.
Coordonnées dans une base
  • résoudre ∑xie⃗i=u⃗\sum x_i\vec e_i=\vec u
  • les xix_i sont uniques
Raccourci de la dimension
  • en dim nn : nn vecteurs libres ⇒ base
  • (idem si génératrice)
évite de vérifier les deux.
3 · Réflexes & valeurs clés
dim⁡R2=2, dim⁡R3=3\dim\mathbb{R}^{2}=2,\ \dim\mathbb{R}^{3}=3
dim⁡M2(R)=4\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=4
dim⁡Rn[X]=n+1\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1
2 vecteurs liés   ⟺  \iff colinéaires
famille avec 0⃗\vec0 ⇒ liée
libre ⇒ tous non nuls
droite =Vect(x⃗1), x⃗1≠0⃗=\mathrm{Vect}(\vec x_1),\ \vec x_1\neq\vec0
plan =Vect(x⃗1,x⃗2)=\mathrm{Vect}(\vec x_1,\vec x_2) non colin.
det⁡≠0⇒\det\neq0\Rightarrow libre
4 · Distinctions fines
Libre vs génératrice
  • libre : « pas trop » de vecteurs
  • génératrice : « assez » de vecteurs
base = les deux à la fois.
Monotonie des familles
  • sous-famille d'une libre : libre
  • sur-famille d'une liée : liée
Deux voies pour un SEV
  • critère αu⃗+βv⃗∈F\alpha\vec u+\beta\vec v\in F
  • ou forme Vect(… )\mathrm{Vect}(\dots)
Vect\mathrm{Vect} donne aussi une base.
Droite vs plan vectoriel
  • droite : dim 1, un vecteur non nul
  • plan : dim 2, deux non colinéaires
★ Astuces géniales
  • Le réflexe unique : poser ∑αiv⃗i=0⃗\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0, puis résoudre le système.
  • Pour un SEV, l'écrire Vect(… )\mathrm{Vect}(\dots) : immédiat, et une base offerte.
  • En dim 22–33, le déterminant tranche libre/liée d'un calcul.
  • Le raccourci : nn vecteurs libres en dim nn forment déjà une base.
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