2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 13

Espaces vectoriels

Les espaces vectoriels concluent le programme d'algèbre de Sciences Mathématiques et préparent les études supérieures. Ce cours introduit la notion de sous-espace vectoriel, les familles libres et liées, les familles génératrices, les bases et la dimension. L'enjeu, spécifique à la filière, est de manipuler des vecteurs de façon abstraite : prouver qu'une famille est libre, qu'elle engendre l'espace, ou qu'elle en constitue une base. Le cours met en avant un résultat structurant qui fait gagner du temps : dans un espace de dimension n, toute famille libre de n vecteurs forme automatiquement une base. Un chapitre exigeant, mais dont la logique, une fois comprise, se révèle très systématique.

1 · Résumé du cours

L'algèbre linéaire commence ici, et vous suivra jusqu'en classes préparatoires. Le vocabulaire est nouveau, mais les idées sont géométriques : tout revient à comprendre comment des vecteurs se combinent. Le réflexe unique du chapitre : poser une combinaison linéaire, puis résoudre. Partout, $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ .

1.1 Espace vectoriel réel

Définition

E

est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ (ou

\mathbb{R}

-espace vectoriel) s'il est muni d'une addition interne et d'une loi externe

\cdot:\mathbb{R}\times E\to E

telles que : ①

(E,+)

est un groupe abélien (neutre le vecteur nul

\vec 0

) ; ② pour tous

\lambda,\mu\in\mathbb{R}

\vec x,\vec y\in E

\lambda(\vec x+\vec y)=\lambda\vec x+\lambda\vec y,\quad(\lambda+\mu)\vec x=\lambda\vec x+\mu\vec x,\quad\lambda(\mu\vec x)=(\lambda\mu)\vec x,\quad 1\cdot\vec x=\vec x.

Les éléments de

E

sont les vecteurs, ceux de

\mathbb{R}

les scalaires. Références :

\mathbb{R}^{2}

\mathbb{R}^{3}

\mathbb{R}^{n}

Règles de calcul Dans tout espace vectoriel :

0\cdot\vec x=\vec 0

\lambda\cdot\vec 0=\vec 0

(-1)\vec x=-\vec x

, et surtout

\boxed{\;\lambda\vec x=\vec 0\ \Longleftrightarrow\ \lambda=0\ \text{ ou }\ \vec x=\vec 0\;}

La règle du produit nul, version vectorielle Cette équivalence est l'exact analogue de l'intégrité dans

\mathbb{R}

(chapitre 12) : un produit externe

\lambda\vec x

est nul si et seulement si l'un des deux facteurs l'est. C'est elle qui autorise à « diviser par

\lambda

» (quand

\lambda\neq0

) dans une égalité vectorielle.

1.2 Des espaces vectoriels au-delà de $\mathbb{R}^{n}$

Exemples fondamentaux Un seul jeu d'axiomes, une infinité d'objets qui s'y plient :

$\mathbb{C}$ , avec son addition et la multiplication par un réel ;
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , les fonctions, avec $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ ;
$\mathbb{R}_n[X]$ , les polynômes de degré $\le n$ ;
$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , les matrices carrées d'ordre $2$ (chapitre 11).

1.3 Sous-espace vectoriel

Critère du sous-espace vectoriel (SEV) Une partie

F

E

est un sous-espace vectoriel si et seulement si : ①

\vec 0\in F

(donc

F\neq\varnothing

) ; ② pour tous

\vec u,\vec v\in F

et tous réels

\alpha,\beta

\boxed{\,\alpha\vec u+\beta\vec v\in F\,}

Le critère qui remplace tout Inutile de revérifier les axiomes d'espace vectoriel sur

F

: ils sont hérités de

E

. Le critère en deux points suffit — et la deuxième condition regroupe à elle seule la stabilité par addition et par multiplication scalaire.

1.4 Combinaisons linéaires & sous-espace engendré

Combinaison linéaire · famille génératrice Une combinaison linéaire de

\vec v_1,\dots,\vec v_p

est un vecteur

\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p

(

\alpha_i\in\mathbb{R}

). La famille est génératrice de

E

si tout vecteur de

E

est une telle combinaison — ils suffisent à « fabriquer » l'espace.

Sous-espace engendré

\mathrm{Vect}

\boxed{\;\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=\big\{\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p\ ;\ \alpha_i\in\mathbb{R}\big\}\;}

C'est toujours un sous-espace vectoriel de

E

(le plus petit contenant les

\vec v_i

). De plus : la famille est génératrice de

E

\iff\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=E

Une combinaison linéaire

\alpha\vec u+\beta\vec v

s'obtient par la règle du parallélogramme. L'ensemble de toutes ces combinaisons, quand

\vec u

\vec v

ne sont pas colinéaires, remplit un plan : c'est

\mathrm{Vect}(\vec u,\vec v)

1.5 Familles libres, familles liées

Définition

(\vec v_1,\dots,\vec v_p)

est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls :

\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p=\vec 0\ \Longrightarrow\ \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0.

Sinon, la famille est liée.

Propriétés à connaître

Deux vecteurs sont liés $\iff$ ils sont colinéaires ;
toute famille contenant $\vec 0$ est liée ; une famille libre n'a que des vecteurs non nuls ;
une famille est liée $\iff$ l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres (il est redondant) ;
monotonie : toute sous-famille d'une libre est libre ; toute sur-famille d'une liée est liée.

Critère du déterminant Coordonnées prises dans une base fixée : deux vecteurs

\vec u(x_1,y_1)

\vec v(x_2,y_2)

du plan sont libres

\iff

\boxed{\;\begin{vmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1\neq0\;}

En dimension

3

, trois vecteurs sont libres

\iff

leur déterminant

3\times3

est non nul.

Déterminant nul = vecteurs liés Le déterminant mesure une aire (dim

2

) ou un volume (dim

3

) : il s'annule exactement quand les vecteurs sont « aplatis », c'est-à-dire liés. Pour deux ou trois vecteurs, ce calcul remplace avantageusement la résolution du système.

1.6 Base et dimension

Base · coordonnées Une base de

E

est une famille à la fois libre et génératrice. Dans une base

(\vec e_1,\dots,\vec e_n)

, tout vecteur s'écrit de manière unique

\vec u=x_1\vec e_1+\cdots+x_n\vec e_n

; les

x_i

sont les coordonnées de

\vec u

Dimension Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs : c'est la dimension

\dim E

. Ainsi

\dim\mathbb{R}^{2}=2

\dim\mathbb{R}^{3}=3

\dim\mathbb{R}^{n}=n

. Toute matrice se décompose de manière unique sur

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

: d'où

\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=4

Droite & plan vectoriels Un SEV de dimension

1

est une droite vectorielle :

\mathrm{Vect}(\vec x_1)

avec

\vec x_1\neq\vec 0

. Un SEV de dimension

2

est un plan vectoriel :

\mathrm{Vect}(\vec x_1,\vec x_2)

avec

\vec x_1,\vec x_2

non colinéaires.

Le raccourci sur la dimension Dans un espace de dimension

n

: une famille libre a au plus

n

vecteurs ; une famille génératrice au moins

n

; et une famille de exactement $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre (ou dès qu'elle est génératrice) — inutile de vérifier les deux.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Espace vectoriel

$(E,+)$ abélien + loi externe ; $\lambda\vec x=\vec0\iff\lambda=0$ ou $\vec x=\vec0$ .

Sous-espace

Critère : $\vec0\in F$ et $\alpha\vec u+\beta\vec v\in F$ .

$\mathrm{Vect}$ & génératrice

Toutes les combinaisons linéaires ; $\mathrm{Vect}=E$ ⇒ génératrice.

Libre / liée

Poser $\sum\alpha_i\vec v_i=\vec0$ , résoudre le système.

Déterminant

Dim $2$ – $3$ : $\det\neq0\Rightarrow$ libre.

Base & dimension

Libre + génératrice ; $n$ vecteurs libres en dim $n$ ⇒ base.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Famille libre

Exercice 1

Dans $\mathbb{R}^{3}$ , la famille $\big(\vec u(1,0,1),\ \vec v(0,1,1)\big)$ est-elle libre ?

Voir la correction

On pose $\alpha\vec u+\beta\vec v=\vec 0$ , soit $(\alpha,\beta,\alpha+\beta)=(0,0,0)$ , d'où le système $\begin{cases}\alpha=0\\\beta=0\\\alpha+\beta=0\end{cases}$

Les deux premières équations imposent $\alpha=\beta=0$ (la troisième suit). La seule solution est nulle : la famille est libre.

Comme elle ne compte que $2$ vecteurs dans $\mathbb{R}^{3}$ (dimension $3$ ), elle n'est pas génératrice : elle engendre un plan vectoriel dont elle constitue une base. ∎

Famille liée · colinéarité

Exercice 2

Dans $\mathbb{R}^{2}$ , la famille $\big(\vec u(1,2),\ \vec v(3,6)\big)$ est-elle libre ou liée ?

Voir la correction

On remarque que $\vec v=(3,6)=3(1,2)=3\vec u$ : les deux vecteurs sont colinéaires, donc la famille est liée.

Confirmation par la définition : $3\vec u-\vec v=\vec 0$ est une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls ( $3$ et $-1$ ). Par le déterminant : $\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}=6-6=0$ ✓.

Réflexe : dans le plan, deux vecteurs sont liés dès que leurs coordonnées sont proportionnelles. ∎

Sous-espace vectoriel

Exercice 3

Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\ ;\ x+y-z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ , puis en donner une base.

Voir la correction

Méthode $\mathrm{Vect}$ (la plus rentable). La condition $x+y-z=0$ s'écrit $z=x+y$ . Un élément de $F$ est donc $(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1).$

Ainsi $F=\mathrm{Vect}\big((1,0,1),(0,1,1)\big)$ : c'est automatiquement un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ .

Les deux vecteurs $(1,0,1)$ et $(0,1,1)$ sont non colinéaires (exercice 1 : libres), donc ils forment une base de $F$ , et $\dim F=2$ : $F$ est un plan vectoriel. ∎

Base & coordonnées

Exercice 4

Montrer que $\mathcal{B}=\big(\vec e_1(1,1),\ \vec e_2(1,-1)\big)$ est une base de $\mathbb{R}^{2}$ , puis donner les coordonnées de $\vec w(5,1)$ dans $\mathcal{B}$ .

Voir la correction

Base : $\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=(1)(-1)-(1)(1)=-2\neq0$ , donc $\mathcal{B}$ est libre. Deux vecteurs libres dans $\mathbb{R}^{2}$ (dimension $2$ ) forment automatiquement une base (raccourci de la dimension).

Coordonnées : on cherche $a,b$ tels que $a\vec e_1+b\vec e_2=\vec w$ , soit $\begin{cases}a+b=5\\a-b=1\end{cases}\Longrightarrow a=3,\ b=2.$

Donc $\vec w=3\vec e_1+2\vec e_2$ : ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont $(3,2)$ , et elles sont uniques. ∎

Redondance · déterminant

Exercice 5

Dans $\mathbb{R}^{3}$ , la famille $\big(\vec u(1,0,1),\ \vec v(0,1,1),\ \vec w(1,1,2)\big)$ est-elle libre ?

Voir la correction

Observation directe : $\vec w=(1,1,2)=(1,0,1)+(0,1,1)=\vec u+\vec v$ . Le vecteur $\vec w$ est redondant (combinaison linéaire des deux autres) : la famille est liée.

Confirmation par le déterminant : $\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{vmatrix}=1(1\cdot2-1\cdot1)-0+1(0\cdot1-1\cdot1)=1-1=0.$

Le déterminant est nul : les trois vecteurs sont « aplatis » dans un même plan (celui de l'exercice 1), donc liés. ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Le réflexe unique : pour tester une famille, poser $\sum\alpha_i\vec v_i=\vec 0$ , traduire en système, résoudre.

Astuce Pour prouver qu'une partie est un SEV, l'écrire sous forme $\mathrm{Vect}(\dots)$ : c'est immédiat, et on gagne une base au passage.

Astuce En dimension

2

–

3

, le déterminant tranche :

\neq0\Rightarrow

libre,

=0\Rightarrow

liée — plus rapide que le système.

Astuce Raccourci :

n

vecteurs libres dans un espace de dimension

n

forment déjà une base — pas besoin de vérifier « génératrice ».

Piège Une famille contenant le vecteur nul est toujours liée : une famille libre n'a que des vecteurs non nuls.

Piège « Libre » et « génératrice » sont indépendants : une famille peut être libre sans engendrer

E

(trop peu de vecteurs), ou génératrice sans être libre (redondance).

Piège Ne pas confondre colinéaires (deux vecteurs) et liés : la colinéarité n'est le critère que pour deux vecteurs.

Piège Vérifier

\vec 0\in F

d'abord : si le vecteur nul n'y est pas,

F

n'est pas un sous-espace, inutile d'aller plus loin.

Formulaire à retenir

Espace vectoriel

(E,+,\cdot)

(E,+)

groupe abélien de neutre

\vec 0

· loi externe

\cdot:\mathbb{R}\times E\to E

Axiomes de la loi externe

\lambda(\vec x+\vec y)=\lambda\vec x+\lambda\vec y

(\lambda+\mu)\vec x=\lambda\vec x+\mu\vec x

\lambda(\mu\vec x)=(\lambda\mu)\vec x

1\cdot\vec x=\vec x

Règles de calcul

0\cdot\vec x=\vec 0

\lambda\cdot\vec 0=\vec 0

(-1)\vec x=-\vec x

Règle du zéro

\lambda\vec x=\vec 0\iff\lambda=0

\vec x=\vec 0

Exemples d'espaces vectoriels

\mathbb{R}^{n}

\mathbb{C}

\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})

\mathbb{R}_n[X]

\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

Sous-espace vectoriel

\vec 0\in F

\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R},\ \forall\vec u,\vec v\in F,\ \alpha\vec u+\beta\vec v\in F

Combinaison linéaire

\alpha_1\vec v_1+\alpha_2\vec v_2+\cdots+\alpha_p\vec v_p

\alpha_i\in\mathbb{R}

Sous-espace engendré

\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=\{\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_p\vec v_p\}

— toujours un SEV

Famille génératrice

\mathrm{Vect}(\vec v_1,\dots,\vec v_p)=E

Famille libre

\sum\alpha_i\vec v_i=\vec 0\Rightarrow\alpha_1=\cdots=\alpha_p=0

Famille liée non libre — un vecteur est combinaison linéaire des autres

Deux vecteurs liés

\iff

colinéaires

Critère du déterminant (dim 2)

\vec u,\vec v

libres

\iff\begin{vmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1\neq0

Base famille libre et génératrice

Coordonnées (uniques)

\vec u=x_1\vec e_1+\cdots+x_n\vec e_n

dans une base

(\vec e_i)

Dimension

\dim\mathbb{R}^{n}=n

\dim\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=4

\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1

Droite / plan vectoriels

\dim 1:\mathrm{Vect}(\vec x_1),\ \vec x_1\neq\vec 0

\dim 2:\mathrm{Vect}(\vec x_1,\vec x_2)

non colinéaires

Raccourci dimension en dim

n

n

vecteurs libres

\Rightarrow

base (idem

n

vecteurs générateurs)

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Espaces vectoriels

1 · Résumé du cours

1.1 Espace vectoriel réel

1.2 Des espaces vectoriels au-delà de Rn\mathbb{R}^{n}Rn

1.3 Sous-espace vectoriel

1.4 Combinaisons linéaires & sous-espace engendré

1.5 Familles libres, familles liées

1.6 Base et dimension

2 · Feuille de route

Espace vectoriel

Sous-espace

Vect\mathrm{Vect}Vect & génératrice

Libre / liée

Déterminant

Base & dimension

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 Des espaces vectoriels au-delà de $\mathbb{R}^{n}$

$\mathrm{Vect}$ & génératrice