QCM — Espaces vectoriels (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Un espace vectoriel réel est muni :

   • ✓d'une addition et d'une multiplication par un réel (scalaire)
   • Bd'une seule loi interne
   • Cd'un produit scalaire uniquement
   • Dd'un ordre total

   Remarque

   Un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel possède une addition interne (groupe abélien) et une loi externe \(\mathbb{R}\times E\to E\) vérifiant les axiomes usuels.

2. Question 2

   \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) lorsque \(F\) est non vide et :

   • ✓\(\forall u,v\in F,\ \forall\lambda\in\mathbb{R},\ u+\lambda v\in F\)
   • B\(F\) est fini
   • C\(0\notin F\)
   • D\(F=E\)

   Remarque

   Critère du sous-espace : \(F\) contient \(0_E\) et est stable par combinaison linéaire, \(u+\lambda v\in F\).

3. Question 3

   Une combinaison linéaire des vecteurs \(u\) et \(v\) est un vecteur de la forme :

   • ✓\(\alpha u+\beta v\)
   • B\(u\cdot v\)
   • C\(u\wedge v\)
   • D\(\dfrac{u}{v}\)

   Remarque

   Une combinaison linéaire s'écrit \(\alpha u+\beta v\) avec des scalaires \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).

4. Question 4

   La famille \((u_1,\dots,u_n)\) est libre lorsque \(\alpha_1u_1+\dots+\alpha_nu_n=0_E\) entraîne :

   • ✓\(\alpha_1=\dots=\alpha_n=0\)
   • Bles \(u_i\) sont nuls
   • C\(n=1\)
   • Dau moins un \(\alpha_i\ne 0\)

   Remarque

   Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls.

5. Question 5

   Une famille est liée lorsque :

   • ✓il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls
   • Belle est libre
   • Ctous ses vecteurs sont nuls
   • Delle est génératrice

   Remarque

   Liée = non libre : il existe une relation \(\alpha_1u_1+\dots+\alpha_nu_n=0_E\) avec au moins un \(\alpha_i\ne 0\) (un vecteur est alors combinaison des autres).

6. Question 6

   Une base d'un espace vectoriel est une famille :

   • ✓libre et génératrice
   • Bseulement libre
   • Cseulement génératrice
   • Dde vecteurs orthogonaux

   Remarque

   Une base est une famille à la fois libre et génératrice ; tout vecteur s'y décompose de façon unique.

7. Question 7

   La dimension de \(\mathbb{R}^{3}\) est :

   • A\(1\)
   • B\(2\)
   • ✓\(3\)
   • Dinfinie

   Remarque

   La base canonique \((e_1,e_2,e_3)\) compte \(3\) vecteurs : \(\dim\mathbb{R}^{3}=3\).

8. Question 8

   Dans \(\mathbb{R}^{2}\), deux vecteurs non colinéaires forment :

   • ✓une base
   • Bune famille liée
   • Cun sous-espace de dimension 1
   • Dtoujours \(\mathbb{R}^{2}\) entier comme vecteur

   Remarque

   Deux vecteurs non colinéaires de \(\mathbb{R}^{2}\) sont libres et au nombre de \(\dim\mathbb{R}^{2}=2\) : ils forment une base.

9. Question 9

   Toute famille contenant le vecteur nul \(0_E\) est :

   • ✓liée
   • Blibre
   • Cune base
   • Dgénératrice de \(E\)

   Remarque

   Si \(0_E\) figure dans la famille, la relation \(1\cdot 0_E=0_E\) est une combinaison nulle à coefficient non nul : la famille est liée.

10. Question 10

    Une famille de \(3\) vecteurs de \(\mathbb{R}^{2}\) est :

    • ✓nécessairement liée
    • Bnécessairement libre
    • Ctoujours une base
    • Dde dimension 3

    Remarque

    Dans un espace de dimension \(2\), toute famille de plus de \(2\) vecteurs est liée : \(3>\dim\mathbb{R}^{2}\).

11. Question 11

    La dimension de \(\mathbb{R}^{4}\) est :

    • ✓\(4\)
    • B\(3\)
    • C\(16\)
    • Dinfinie

    Remarque

    La base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) compte \(n\) vecteurs : \(\dim\mathbb{R}^{4}=4\).

12. Question 12

    Le sous-espace \(\{0_E\}\) réduit au vecteur nul est de dimension :

    • ✓\(0\)
    • B\(1\)
    • Cindéfinie
    • D\(-1\)

    Remarque

    \(\{0_E\}\) est le sous-espace nul : il ne contient aucune famille libre non vide, sa dimension est \(0\).

13. Question 13

    Pour un vecteur \(u\ne 0_E\), \(\mathrm{Vect}(u)\) est :

    • ✓une droite vectorielle (dimension 1)
    • Bun plan vectoriel
    • Cl'espace entier
    • Dle sous-espace nul

    Remarque

    \(\mathrm{Vect}(u)=\{\lambda u,\ \lambda\in\mathbb{R}\}\) : c'est la droite vectorielle engendrée par \(u\), de dimension \(1\).

14. Question 14

    L'intersection \(F\cap G\) de deux sous-espaces vectoriels de \(E\) est :

    • ✓un sous-espace vectoriel de \(E\)
    • Bjamais un sous-espace
    • Ctoujours \(\{0_E\}\)
    • Dégale à \(F\cup G\)

    Remarque

    \(F\cap G\) contient \(0_E\) et est stable par combinaison linéaire : c'est un sous-espace vectoriel (contrairement à \(F\cup G\) en général).

15. Question 15

    La base canonique de \(\mathbb{R}^{2}\) est :

    • ✓\(\big((1,0),(0,1)\big)\)
    • B\(\big((1,1),(0,0)\big)\)
    • C\(\big((1,0),(1,0)\big)\)
    • D\(\big((0,0),(1,1)\big)\)

    Remarque

    \(e_1=(1,0)\) et \(e_2=(0,1)\) forment la base canonique : libre et génératrice de \(\mathbb{R}^{2}\).

16. Question 16

    Deux vecteurs colinéaires forment une famille :

    • ✓liée
    • Blibre
    • Cune base
    • Dgénératrice du plan

    Remarque

    Si \(v=\lambda u\), alors \(v-\lambda u=0_E\) est une relation non triviale : la famille \((u,v)\) est liée.

17. Question 17

    Dans un espace de dimension \(n\), toute famille libre de \(n\) vecteurs est :

    • ✓une base
    • Bliée
    • Cgénératrice mais non libre
    • Dde dimension \(n-1\)

    Remarque

    En dimension \(n\), une famille libre de \(n\) vecteurs est automatiquement génératrice : c'est une base.

18. Question 18

    La décomposition d'un vecteur dans une base donnée est :

    • ✓unique
    • Bpossible de plusieurs façons
    • Cimpossible en général
    • Dunique seulement en dimension 2

    Remarque

    Par définition d'une base (libre et génératrice), tout vecteur s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base : ce sont ses coordonnées.