QCM — Lois de composition interne (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Une loi de composition interne \(*\) sur \(E\) est une application :

   • ✓\(E\times E\to E\)
   • B\(E\to E\)
   • C\(E\times E\to \mathbb{R}\)
   • D\(E\to \mathbb{R}\)

   Remarque

   Une loi interne associe à \((x,y)\in E\times E\) un élément \(x*y\) de \(E\) : elle est « stable » dans \(E\).

2. Question 2

   La loi \(*\) est commutative lorsque, pour tous \(x,y\) :

   • ✓\(x*y=y*x\)
   • B\((x*y)*z=x*(y*z)\)
   • C\(x*x=x\)
   • D\(x*e=x\)

   Remarque

   Commutativité : l'ordre n'importe pas, \(x*y=y*x\).

3. Question 3

   La loi \(*\) est associative lorsque :

   • ✓\((x*y)*z=x*(y*z)\)
   • B\(x*y=y*x\)
   • C\(x*y=e\)
   • D\(x*e=x\)

   Remarque

   Associativité : les parenthèses n'importent pas, \((x*y)*z=x*(y*z)\).

4. Question 4

   \(e\) est élément neutre pour \(*\) lorsque, pour tout \(x\) :

   • ✓\(x*e=e*x=x\)
   • B\(x*e=e\)
   • C\(x*e=0\)
   • D\(e*e=x\)

   Remarque

   Le neutre \(e\) vérifie \(x*e=e*x=x\). Par exemple \(0\) pour \(+\) et \(1\) pour \(\times\) dans \(\mathbb{R}\).

5. Question 5

   Dans \((\mathbb{R},+)\), le symétrique de \(x\) est :

   • ✓\(-x\)
   • B\(\dfrac{1}{x}\)
   • C\(x\)
   • D\(0\)

   Remarque

   Le symétrique de \(x\) pour l'addition (neutre \(0\)) est \(-x\), car \(x+(-x)=0\).

6. Question 6

   Lorsqu'une loi \(*\) admet un élément neutre, celui-ci est :

   • ✓unique
   • Btoujours \(0\)
   • Cen général multiple
   • Dinexistant

   Remarque

   Si un neutre existe, il est unique : si \(e\) et \(e'\) sont neutres, \(e=e*e'=e'\).

7. Question 7

   \(*\) est distributive sur \(\top\) lorsque :

   • ✓\(x*(y\top z)=(x*y)\top(x*z)\)
   • B\(x*y=y*x\)
   • C\(x\top y=x*y\)
   • D\(x*(y\top z)=x*y\)

   Remarque

   Distributivité (à gauche) : \(x*(y\top z)=(x*y)\top(x*z)\). Exemple : \(\times\) est distributive sur \(+\).

8. Question 8

   \(f:(E,*)\to(F,\top)\) est un homomorphisme lorsque, pour tous \(x,y\) :

   • ✓\(f(x*y)=f(x)\top f(y)\)
   • B\(f(x*y)=f(x)*f(y)\)
   • C\(f(x)=x\)
   • D\(f(x\top y)=f(x)*f(y)\)

   Remarque

   Un homomorphisme « transporte » la loi : \(f(x*y)=f(x)\top f(y)\).

9. Question 9

   Sur \(E=\mathbb{R}\) on pose \(x*y=x+y-3\). Son élément neutre est :

   • ✓\(3\)
   • B\(0\)
   • C\(-3\)
   • Dil n'y en a pas

   Remarque

   On cherche \(e\) avec \(x+e-3=x\), soit \(e=3\). On vérifie \(x*3=x+3-3=x\).

10. Question 10

    Dans \(\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}),\times\big)\), la multiplication des matrices est :

    • ✓associative mais non commutative
    • Bcommutative
    • Csans élément neutre
    • Dnon associative

    Remarque

    Le produit matriciel est associatif, de neutre \(I_2\), mais non commutatif : en général \(AB\ne BA\).

11. Question 11

    Dans \((\mathbb{R}^{*},\times)\), le symétrique (inverse) de \(x\) est :

    • ✓\(\dfrac{1}{x}\)
    • B\(-x\)
    • C\(x\)
    • D\(1\)

    Remarque

    Pour \(\times\) (neutre \(1\)), le symétrique de \(x\ne 0\) est \(\dfrac1x\), car \(x\times\dfrac1x=1\).

12. Question 12

    Dans \((\mathbb{R},\times)\), \(0\) est un élément :

    • ✓absorbant (\(x\times 0=0\))
    • Bneutre
    • Csymétrisable
    • Drégulier

    Remarque

    \(x\times 0=0\) pour tout \(x\) : \(0\) est l'élément absorbant de la multiplication.

13. Question 13

    La soustraction dans \(\mathbb{R}\) est :

    • ✓non associative
    • Bassociative
    • Ccommutative
    • Dde neutre \(0\) des deux côtés

    Remarque

    \((a-b)-c\ne a-(b-c)\) en général (ex. \((5-3)-1=1\) mais \(5-(3-1)=3\)) : la soustraction n'est pas associative.

14. Question 14

    Sur \(E=\mathbb{R}\) on pose \(x*y=x+y+xy\). Son élément neutre est :

    • ✓\(0\)
    • B\(1\)
    • C\(-1\)
    • Dil n'y en a pas

    Remarque

    On cherche \(e\) avec \(x+e+xe=x\), soit \(e(1+x)=0\) pour tout \(x\), donc \(e=0\). On vérifie \(x*0=x\).

15. Question 15

    L'ensemble \(2\mathbb{Z}\) des entiers pairs est stable pour :

    • ✓l'addition et la multiplication
    • Bseulement la division
    • Caucune loi
    • Dla multiplication mais pas l'addition

    Remarque

    La somme et le produit de deux entiers pairs restent pairs : \(2\mathbb{Z}\) est une partie stable de \((\mathbb{Z},+)\) et de \((\mathbb{Z},\times)\).