QCM — Calcul de probabilité (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le nombre de permutations (arrangements de tous les éléments) de \(n\) objets distincts est :

   • A\(n^{2}\)
   • ✓\(n!\)
   • C\(2^{n}\)
   • D\(n\)

   Remarque

   On peut ordonner \(n\) objets distincts de \(n!\) façons (\(n\) factorielle).

2. Question 2

   \(\dbinom{5}{2}\) (nombre de combinaisons) vaut :

   • ✓\(10\)
   • B\(20\)
   • C\(25\)
   • D\(5\)

   Remarque

   \(\dbinom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times 4}{2}=10\).

3. Question 3

   Pour l'univers \(\Omega\), \(p(\Omega)=\) :

   • A\(0\)
   • ✓\(1\)
   • C\(\dfrac{1}{2}\)
   • Dcela dépend

   Remarque

   L'événement certain a pour probabilité \(p(\Omega)=1\).

4. Question 4

   En situation d'équiprobabilité, \(p(A)=\) :

   • ✓\(\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}\)
   • B\(\mathrm{card}(A)\)
   • C\(\dfrac{1}{\mathrm{card}(A)}\)
   • D\(\mathrm{card}(A)\times\mathrm{card}(\Omega)\)

   Remarque

   En équiprobabilité, \(p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}=\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}\).

5. Question 5

   \(p(\overline{A})=\) :

   • ✓\(1-p(A)\)
   • B\(-p(A)\)
   • C\(p(A)\)
   • D\(1+p(A)\)

   Remarque

   L'événement contraire vérifie \(p(\overline{A})=1-p(A)\).

6. Question 6

   \(p(A\cup B)=\) :

   • A\(p(A)+p(B)\)
   • ✓\(p(A)+p(B)-p(A\cap B)\)
   • C\(p(A)\,p(B)\)
   • D\(p(A)-p(B)\)

   Remarque

   Formule d'inclusion-exclusion : \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\).

7. Question 7

   La probabilité conditionnelle \(p(B\mid A)\) (\(p(A)\ne 0\)) vaut :

   • ✓\(\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\)
   • B\(p(A\cap B)\)
   • C\(\dfrac{p(A)}{p(B)}\)
   • D\(p(A)\,p(B)\)

   Remarque

   Par définition \(p(B\mid A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}\).

8. Question 8

   Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :

   • ✓\(p(A\cap B)=p(A)\,p(B)\)
   • B\(p(A\cap B)=0\)
   • C\(p(A\cup B)=1\)
   • D\(A=B\)

   Remarque

   Indépendance : \(p(A\cap B)=p(A)\,p(B)\) (à ne pas confondre avec incompatibles, où \(A\cap B=\varnothing\)).

9. Question 9

   Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), \(P(X=k)=\) :

   • ✓\(\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)
   • B\(p^{k}(1-p)^{k}\)
   • C\(\dbinom{n}{k}p^{n}\)
   • D\(\dfrac{k}{n}\)

   Remarque

   Loi binomiale (\(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes) : \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\).

10. Question 10

    Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), l'espérance \(E(X)\) vaut :

    • ✓\(np\)
    • B\(np(1-p)\)
    • C\(\dfrac{p}{n}\)
    • D\(n+p\)

    Remarque

    Pour la loi binomiale, \(E(X)=np\) (et la variance \(V(X)=np(1-p)\)).

11. Question 11

    Le nombre d'arrangements \(A_n^{k}\) (choix ordonné de \(k\) parmi \(n\)) vaut :

    • ✓\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
    • B\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
    • C\(k!\)
    • D\(n^{k}\)

    Remarque

    \(A_n^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\). Par exemple \(A_5^{2}=\dfrac{5!}{3!}=5\times 4=20\).

12. Question 12

    Par la symétrie \(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\), \(\dbinom{7}{5}\) vaut :

    • ✓\(21\)
    • B\(35\)
    • C\(42\)
    • D\(7\)

    Remarque

    \(\dbinom{7}{5}=\dbinom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=21\).

13. Question 13

    Pour l'événement impossible \(\varnothing\), \(p(\varnothing)=\) :

    • ✓\(0\)
    • B\(1\)
    • C\(\tfrac12\)
    • Dindéterminé

    Remarque

    \(p(\varnothing)=0\) : l'événement impossible a une probabilité nulle.

14. Question 14

    Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A\cap B=\varnothing\)), alors \(p(A\cup B)=\) :

    • ✓\(p(A)+p(B)\)
    • B\(p(A)\,p(B)\)
    • C\(p(A)+p(B)-1\)
    • D\(p(A)-p(B)\)

    Remarque

    Pour des événements incompatibles, \(p(A\cap B)=0\), donc \(p(A\cup B)=p(A)+p(B)\).

15. Question 15

    Formule des probabilités totales avec le système complet \(\{A,\overline{A}\}\) : \(p(B)=\) :

    • ✓\(p(A)\,p(B\mid A)+p(\overline{A})\,p(B\mid\overline{A})\)
    • B\(p(A)\,p(B)\)
    • C\(p(B\mid A)+p(B\mid\overline{A})\)
    • D\(p(A\cap B)+p(A)\)

    Remarque

    \(p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)=p(A)\,p(B\mid A)+p(\overline{A})\,p(B\mid\overline{A})\).

16. Question 16

    Pour une variable aléatoire \(X\) prenant les valeurs \(x_i\) de probabilités \(p_i\), \(E(X)=\) :

    • ✓\(\displaystyle\sum_i x_i\,p_i\)
    • B\(\displaystyle\sum_i x_i\)
    • C\(\displaystyle\sum_i p_i\)
    • D\(\dfrac1n\displaystyle\sum_i x_i\)

    Remarque

    L'espérance est la moyenne pondérée : \(E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,p_i\).

17. Question 17

    La variance \(V(X)\) se calcule par :

    • ✓\(E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}\)
    • B\(E(X)-E(X^{2})\)
    • C\(\big(E(X)\big)^{2}\)
    • D\(E(X^{2})+\big(E(X)\big)^{2}\)

    Remarque

    Formule de König-Huygens : \(V(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}\), et l'écart-type est \(\sigma=\sqrt{V(X)}\).

18. Question 18

    Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), la variance \(V(X)\) vaut :

    • ✓\(np(1-p)\)
    • B\(np\)
    • C\(\sqrt{np}\)
    • D\(np^{2}\)

    Remarque

    Pour la loi binomiale, \(E(X)=np\) et \(V(X)=np(1-p)\).

19. Question 19

    Le nombre de parties (sous-ensembles) d'un ensemble à \(n\) éléments est :

    • ✓\(2^{n}\)
    • B\(n!\)
    • C\(n^{2}\)
    • D\(2n\)

    Remarque

    Chaque élément est pris ou non : \(2\times\dots\times 2=2^{n}\) parties (\(=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\)).

20. Question 20

    On lance deux fois un dé équilibré. La probabilité d'obtenir « \(6\) » aux deux lancers est :

    • ✓\(\dfrac{1}{36}\)
    • B\(\dfrac{1}{6}\)
    • C\(\dfrac{1}{12}\)
    • D\(\dfrac{2}{6}\)

    Remarque

    Les deux lancers sont indépendants : \(p=\dfrac16\times\dfrac16=\dfrac{1}{36}\).