QCM — Arithmétique dans ℤ (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   La division euclidienne de \(a\) par \(b>0\) donne \(a=bq+r\) avec :

   • ✓\(0\le r<b\)
   • B\(0\le r\le b\)
   • C\(r<0\)
   • D\(r>b\)

   Remarque

   Le reste vérifie \(0\le r<b\), et le couple \((q,r)\) est unique.

2. Question 2

   Si un entier \(d\) divise \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise :

   • ✓\(au+bv\) pour tous entiers \(u,v\)
   • Bseulement \(a+b\)
   • C\(ab\) uniquement
   • Daucun de ceux-ci

   Remarque

   Si \(d\mid a\) et \(d\mid b\), alors \(d\) divise toute combinaison \(au+bv\) (\(u,v\in\mathbb{Z}\)).

3. Question 3

   \(\mathrm{PGCD}(12,18)=\) :

   • A\(2\)
   • B\(3\)
   • ✓\(6\)
   • D\(36\)

   Remarque

   \(12=2^{2}\times 3\) et \(18=2\times 3^{2}\) : le PGCD est \(2\times 3=6\).

4. Question 4

   L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité :

   • ✓\(\mathrm{PGCD}(a,b)=\mathrm{PGCD}(b,\,a\bmod b)\)
   • B\(\mathrm{PGCD}(a,b)=a-b\)
   • C\(\mathrm{PGCD}(a,b)=\mathrm{PPCM}(a,b)\)
   • D\(\mathrm{PGCD}(a,b)=ab\)

   Remarque

   On remplace \((a,b)\) par \((b,\ a\bmod b)\) jusqu'à un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD.

5. Question 5

   Pour deux entiers strictement positifs, \(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=\) :

   • A\(a+b\)
   • ✓\(ab\)
   • C\(a-b\)
   • D\(\dfrac{a}{b}\)

   Remarque

   Relation fondamentale : \(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=ab\).

6. Question 6

   Deux entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si (Bézout) :

   • ✓\(\exists u,v\in\mathbb{Z},\ au+bv=1\)
   • B\(a\) et \(b\) sont premiers
   • C\(a\mid b\)
   • D\(ab=1\)

   Remarque

   Théorème de Bézout : \(\mathrm{PGCD}(a,b)=1\iff \exists u,v\in\mathbb{Z},\ au+bv=1\).

7. Question 7

   Théorème de Gauss : si \(a\mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b)=1\), alors :

   • ✓\(a\mid c\)
   • B\(a\mid b\)
   • C\(a=1\)
   • D\(b\mid c\)

   Remarque

   Théorème de Gauss : si \(a\) divise le produit \(bc\) et est premier avec \(b\), alors \(a\) divise \(c\).

8. Question 8

   Parmi ces affirmations sur les nombres premiers, laquelle est vraie ?

   • A\(1\) est un nombre premier
   • ✓un nombre premier \(p\ge 2\) n'a que \(1\) et \(p\) comme diviseurs positifs
   • Ctout nombre pair est premier
   • D\(9\) est premier

   Remarque

   Un nombre premier est un entier \(p\ge 2\) dont les seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\). \(1\) n'est pas premier ; \(9=3\times 3\) non plus.

9. Question 9

   \(17\equiv\ ?\ [5]\) :

   • A\(1\)
   • ✓\(2\)
   • C\(3\)
   • D\(0\)

   Remarque

   \(17=3\times 5+2\), donc \(17\equiv 2\ [5]\) (le reste dans la division par \(5\)).

10. Question 10

    L'équation diophantienne \(ax+by=c\) admet des solutions entières si et seulement si :

    • ✓\(\mathrm{PGCD}(a,b)\mid c\)
    • B\(c\mid \mathrm{PGCD}(a,b)\)
    • C\(a\mid c\) et \(b\mid c\)
    • D\(a\) et \(b\) sont premiers

    Remarque

    \(ax+by=c\) a des solutions dans \(\mathbb{Z}\) si et seulement si \(\mathrm{PGCD}(a,b)\) divise \(c\).

11. Question 11

    \(a\equiv b\ [n]\) signifie :

    • ✓\(n\mid (a-b)\)
    • B\(a\mid (b-n)\)
    • C\(a-b=n\)
    • D\(a\) et \(b\) sont premiers

    Remarque

    Par définition, \(a\equiv b\ [n]\iff n\) divise \(a-b\) (ils ont le même reste dans la division par \(n\)).

12. Question 12

    Si \(a\equiv b\ [n]\) et \(c\equiv d\ [n]\), alors :

    • ✓\(ac\equiv bd\ [n]\)
    • B\(ac\equiv b+d\ [n]\)
    • C\(a+c\equiv bd\ [n]\)
    • Drien de général

    Remarque

    Les congruences sont compatibles avec le produit (et la somme) : \(ac\equiv bd\ [n]\).

13. Question 13

    Petit théorème de Fermat : si \(p\) est premier et \(p\nmid a\), alors :

    • ✓\(a^{p-1}\equiv 1\ [p]\)
    • B\(a^{p}\equiv 0\ [p]\)
    • C\(a^{p}\equiv a-1\ [p]\)
    • D\(a^{p-1}\equiv 0\ [p]\)

    Remarque

    Petit théorème de Fermat : pour \(p\) premier ne divisant pas \(a\), \(a^{p-1}\equiv 1\ [p]\) (et \(a^{p}\equiv a\ [p]\) pour tout \(a\)).

14. Question 14

    Si \(p\) est premier et \(p\mid ab\), alors :

    • ✓\(p\mid a\) ou \(p\mid b\)
    • B\(p\mid a\) et \(p\mid b\)
    • C\(p=ab\)
    • D\(p\mid a+b\)

    Remarque

    Lemme d'Euclide (conséquence de Gauss) : un nombre premier qui divise un produit divise l'un des facteurs.

15. Question 15

    \(\mathrm{PPCM}(4,6)=\) :

    • ✓\(12\)
    • B\(24\)
    • C\(2\)
    • D\(10\)

    Remarque

    \(\mathrm{PGCD}(4,6)=2\) et \(\mathrm{PPCM}\times\mathrm{PGCD}=4\times 6=24\), donc \(\mathrm{PPCM}=\dfrac{24}{2}=12\).

16. Question 16

    La décomposition en facteurs premiers de \(360\) est :

    • ✓\(2^{3}\times 3^{2}\times 5\)
    • B\(2^{2}\times 3^{2}\times 5\)
    • C\(2^{3}\times 3\times 5^{2}\)
    • D\(2^{4}\times 3\times 5\)

    Remarque

    \(360=8\times 45=2^{3}\times 3^{2}\times 5\).

17. Question 17

    Les entiers \(8\) et \(15\) sont :

    • ✓premiers entre eux (\(\mathrm{PGCD}=1\))
    • Btous deux premiers
    • Ctels que \(8\mid 15\)
    • Dde PGCD \(4\)

    Remarque

    \(8=2^{3}\) et \(15=3\times 5\) n'ont aucun facteur commun : \(\mathrm{PGCD}(8,15)=1\), ils sont premiers entre eux.

18. Question 18

    \(3^{4}\equiv\ ?\ [5]\) :

    • ✓\(1\)
    • B\(2\)
    • C\(4\)
    • D\(0\)

    Remarque

    \(3^{4}=81=16\times 5+1\), donc \(3^{4}\equiv 1\ [5]\).

19. Question 19

    Un entier est divisible par \(3\) si et seulement si :

    • ✓la somme de ses chiffres est divisible par \(3\)
    • Bson dernier chiffre est \(3\)
    • Cil est pair
    • Dson dernier chiffre est \(0\)

    Remarque

    Critère de divisibilité par \(3\) : car \(10\equiv 1\ [3]\), un nombre est \(\equiv\) à la somme de ses chiffres modulo \(3\).

20. Question 20

    Tout entier \(n\ge 2\) :

    • ✓admet au moins un diviseur premier
    • Best premier
    • Cest pair
    • Dest un carré parfait

    Remarque

    Le plus petit diviseur \(>1\) de \(n\) est nécessairement premier : tout entier \(\ge 2\) admet un diviseur premier.

21. Question 21

    Le nombre de diviseurs positifs de \(12=2^{2}\times 3\) est :

    • ✓\(6\)
    • B\(4\)
    • C\(12\)
    • D\(3\)

    Remarque

    Pour \(n=2^{2}\times 3^{1}\), le nombre de diviseurs est \((2+1)(1+1)=6\) (à savoir \(1,2,3,4,6,12\)).

22. Question 22

    La congruence \(2x\equiv 1\ [5]\) a pour solutions :

    • ✓\(x\equiv 3\ [5]\)
    • B\(x\equiv 2\ [5]\)
    • C\(x\equiv 1\ [5]\)
    • Daucune solution

    Remarque

    L'inverse de \(2\) modulo \(5\) est \(3\) (\(2\times 3=6\equiv 1\)), donc \(x\equiv 3\ [5]\).