2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 8

QCM — Les nombres complexes (SM)

Conjugué, module, argument, forme trigonométrique et exponentielle, racines n-ièmes, équation du second degré dans ℂ et similitudes directes. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

QCM interactif

22 questions · résultats & correction à la fin · rien à installer

Question 1 / 22

Dans \(\mathbb{C}\), \(i^{2}=\) :

0 / 22 répondue

Réviser : les 22 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
Dans \(\mathbb{C}\), \(i^{2}=\) :
- A\(1\)
- ✓\(-1\)
- C\(i\)
- D\(0\)
Remarque
Le nombre imaginaire \(i\) vérifie \(i^{2}=-1\).
Question 2
Le conjugué de \(z=a+ib\) est :
- A\(a+ib\)
- B\(-a+ib\)
- ✓\(a-ib\)
- D\(-a-ib\)
Remarque
\(\overline{z}=a-ib\) : on change le signe de la partie imaginaire.
Question 3
Le module de \(z=a+ib\) est :
- A\(a+b\)
- B\(a^{2}+b^{2}\)
- ✓\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
- D\(|a|+|b|\)
Remarque
\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), la distance de l'origine à l'image de \(z\).
Question 4
La forme trigonométrique d'un complexe non nul est :
- ✓\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) avec \(r=|z|,\ \theta=\arg z\)
- B\(z=r(\cos\theta-i\sin\theta)\)
- C\(z=|z|+i\arg z\)
- D\(z=\cos\theta+\sin\theta\)
Remarque
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\), avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg z\).
Question 5
Pour \(z,z'\) non nuls, \(\arg(zz')=\) :
- ✓\(\arg z+\arg z'\)
- B\(\arg z\times\arg z'\)
- C\(\arg z-\arg z'\)
- D\(\arg z\)
Remarque
Les arguments s'ajoutent : \(\arg(zz')=\arg z+\arg z'\ [2\pi]\) (et \(|zz'|=|z||z'|\)).
Question 6
\(e^{i\pi}=\) :
- A\(1\)
- ✓\(-1\)
- C\(i\)
- D\(-i\)
Remarque
Formule d'Euler : \(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\).
Question 7
L'équation \(z^{n}=1\) admet dans \(\mathbb{C}\) :
- Aune seule solution
- ✓\(n\) solutions : \(e^{2ik\pi/n},\ k=0,\dots,n-1\)
- Caucune solution
- Ddeux solutions
Remarque
Les racines \(n\)-ièmes de l'unité sont les \(n\) complexes \(e^{2ik\pi/n}\), \(k=0,\dots,n-1\), régulièrement répartis sur le cercle unité.
Question 8
Les solutions de \(z^{2}-2z+2=0\) dans \(\mathbb{C}\) sont :
- ✓\(1\pm i\)
- B\(\pm i\)
- C\(2\pm i\)
- D\(1\pm 2i\)
Remarque
\(\Delta=4-8=-4=(2i)^{2}\), donc \(z=\dfrac{2\pm 2i}{2}=1\pm i\).
Question 9
Si \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A\) et \(z_B\), alors \(AB=\) :
- ✓\(|z_B-z_A|\)
- B\(z_B-z_A\)
- C\(|z_A|+|z_B|\)
- D\(\arg(z_B-z_A)\)
Remarque
La distance entre deux points est le module de la différence des affixes : \(AB=|z_B-z_A|\).
Question 10
La transformation \(z'=az+b\) (\(a\ne 0\)) est une similitude directe de rapport et d'angle :
- ✓rapport \(|a|\), angle \(\arg(a)\)
- Brapport \(\arg(a)\), angle \(|a|\)
- Crapport \(|b|\), angle \(\arg(b)\)
- Drapport \(a\), angle \(b\)
Remarque
\(z\mapsto az+b\) est une similitude directe de rapport \(|a|\) et d'angle \(\arg(a)\) (rotation si \(|a|=1\), translation si \(a=1\)).
Question 11
Pour \(z,z'\) non nuls, \(|zz'|=\) :
- ✓\(|z|\,|z'|\)
- B\(|z|+|z'|\)
- C\(\dfrac{|z|}{|z'|}\)
- D\(|z|^{2}\)
Remarque
Le module est multiplicatif : \(|zz'|=|z|\,|z'|\).
Question 12
\(\overline{z+z'}=\) :
- ✓\(\overline{z}+\overline{z'}\)
- B\(\overline{z}\,\overline{z'}\)
- C\(\overline{z}-\overline{z'}\)
- D\(z+z'\)
Remarque
La conjugaison est additive : \(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\) (et \(\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}\)).
Question 13
Pour tout complexe \(z\), \(z\,\overline{z}=\) :
- ✓\(|z|^{2}\)
- B\(|z|\)
- C\(z^{2}\)
- D\(2\,\mathrm{Re}(z)\)
Remarque
Si \(z=a+ib\), \(z\overline{z}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\).
Question 14
La forme algébrique de \((1+i)^{2}\) est :
- ✓\(2i\)
- B\(2\)
- C\(1+2i\)
- D\(-2i\)
Remarque
\((1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i\).
Question 15
La forme exponentielle de \(i\) est :
- ✓\(e^{i\pi/2}\)
- B\(e^{i\pi}\)
- C\(e^{-i\pi/2}\)
- D\(e^{i\pi/4}\)
Remarque
\(|i|=1\) et \(\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\), donc \(i=e^{i\pi/2}\).
Question 16
\(z\) est imaginaire pur si et seulement si :
- ✓\(\overline{z}=-z\)
- B\(\overline{z}=z\)
- C\(|z|=1\)
- D\(z=\overline{z}^{2}\)
Remarque
\(z\) imaginaire pur \(\iff \mathrm{Re}(z)=0\iff \overline{z}=-z\) (alors que \(z\) réel \(\iff\overline{z}=z\)).
Question 17
La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) associe à l'affixe \(z\) l'affixe :
- ✓\(z'=e^{i\theta}z\)
- B\(z'=z+\theta\)
- C\(z'=\theta z\)
- D\(z'=\overline{z}\)
Remarque
La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) s'écrit \(z\mapsto e^{i\theta}z\) (multiplication par un complexe de module \(1\)).
Question 18
Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\) :
- ✓\(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)
- B\(\cos(\theta^{n})+i\sin(\theta^{n})\)
- C\(n\cos\theta+in\sin\theta\)
- D\(\cos^{n}\theta+i\sin^{n}\theta\)
Remarque
Formule de Moivre : \(\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}\), soit \((\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\).
Question 19
Pour \(z\) non nul, \(\arg(\overline{z})=\) :
- ✓\(-\arg(z)\)
- B\(\arg(z)\)
- C\(\pi-\arg(z)\)
- D\(2\arg(z)\)
Remarque
Le conjugué est le symétrique par rapport à l'axe réel : \(\arg(\overline{z})=-\arg(z)\ [2\pi]\).
Question 20
L'affixe du milieu \(I\) du segment \([AB]\) (affixes \(z_A,z_B\)) est :
- ✓\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)
- B\(z_B-z_A\)
- C\(\dfrac{z_B-z_A}{2}\)
- D\(z_A z_B\)
Remarque
L'affixe du milieu est la moyenne des affixes : \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}\).
Question 21
L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z-z_A|=r\) (\(r>0\)) est :
- ✓le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\)
- Bla droite passant par \(A\)
- Cle disque de centre \(A\)
- Dla médiatrice de \([OA]\)
Remarque
\(|z-z_A|=AM\) : les points à distance \(r\) de \(A\) forment le cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\).
Question 22
Les solutions de \(z^{2}=-4\) dans \(\mathbb{C}\) sont :
- ✓\(\pm 2i\)
- B\(\pm 2\)
- C\(\pm 4i\)
- D\(2\pm i\)
Remarque
\(z^{2}=-4=(2i)^{2}\), donc \(z=2i\) ou \(z=-2i\).

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