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2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 6

Calcul intégral

Le calcul intégral en Sciences Mathématiques s'appuie sur le théorème fondamental de l'analyse : la fonction qui à x associe l'intégrale de a à x d'une fonction continue est une primitive de celle-ci. Ce cours en tire les propriétés (Chasles, linéarité, positivité) et développe les deux grandes techniques : l'intégration par parties et le changement de variable. Vous verrez aussi comment l'intégrale sert à établir des inégalités et à étudier des suites d'intégrales, usages caractéristiques de la filière. Le cours insiste sur le choix de la bonne méthode avant de calculer, et sur les précautions de signe lorsqu'on manipule les bornes.

1 · Résumé du cours

Ce chapitre fait le chemin inverse de la dérivation (retrouver FF telle que F′=fF'=f : la primitive), puis en tire un nombre — l'intégrale — qui mesure une aire. En Sciences Maths, l'intégrale se lit aussi comme une limite de sommes (Riemann) et, à borne variable, fabrique elle-même une primitive (théorème fondamental).

1.1 Notion de primitive

Définition FF est une primitive de ff sur un intervalle II si FF est dérivable sur II et ∀x∈I, F′(x)=f(x)\boxed{\forall x\in I,\ F'(x)=f(x)}.
La vérification qui ne trompe jamais Un doute sur une primitive ? Dérivez-la. Si vous retrouvez ff, c'est juste — la seule vérification nécessaire. Comme F′=fF'=f, le signe de ff donne les variations de FF ; les zéros de ff sont les extremums de FF.

1.2 Existence & ensemble des primitives

Théorèmes Toute fonction continue sur II y admet des primitives. Si FF en est une, elles sont exactement les x↦F(x)+k, k∈R\boxed{x\mapsto F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}} (leurs courbes se déduisent par translation verticale). Une condition F(x0)=y0F(x_0)=y_0 en sélectionne une seule.
Pourquoi « +k+k » et l'hypothèse intervalle Si F,GF,G sont deux primitives, (G−F)′=0(G-F)'=0 sur l'intervalle II ⇒ G−F=kG-F=k. Sur R∗\mathbb{R}^{*} (pas un intervalle), la constante pourrait différer sur chaque morceau.

1.3 Primitives usuelles

À connaître (le tableau des dérivées, lu à l'envers) f(x)une primitive F(x)aa xxn (n∈N)xn+1n+1xα (α≠−1)xα+1α+11x2−1x1x2x1xln⁡∣x∣exexcos⁡x ; sin⁡xsin⁡x ; −cos⁡x11+x2arctan⁡x\begin{array}{c|c} f(x) & \text{une primitive } F(x)\\\hline a & a\,x\\ x^{n}\ (n\in\mathbb{N}) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\\ x^{\alpha}\ (\alpha\neq-1) & \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\ \dfrac1{x^{2}} & -\dfrac1x\\ \dfrac1{\sqrt x} & 2\sqrt x\\ \dfrac1x & \ln|x|\\ e^{x} & e^{x}\\ \cos x\,;\ \sin x & \sin x\,;\ -\cos x\\ \dfrac1{1+x^{2}} & \arctan x \end{array} La dernière ligne vient d'Arctangente : arctan⁡′(x)=11+x2\arctan'(x)=\frac1{1+x^{2}}.

1.4 Linéarité & formes composées

Linéarité αF+βG\alpha F+\beta G est une primitive de αf+βg\alpha f+\beta g.
Ce qui n'existe PAS Aucune formule pour la primitive d'un produit ou d'un quotient. Il faut reconnaître une forme (pour les produits qui résistent : l'IPP, §1.9).
Formes composées (chaque dérivée composée, lue à l'envers) forme de fune primitive Fu′ unun+1n+1u′u2 (u≠0)−1uu′u (u>0)2uu′u (u≠0)ln⁡∣u∣u′ eueuu′cos⁡u ; u′sin⁡usin⁡u ; −cos⁡uu′1+u2arctan⁡u\begin{array}{c|c} \text{forme de } f & \text{une primitive } F\\\hline u'\,u^{n} & \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\\ \dfrac{u'}{u^{2}}\ (u\neq0) & -\dfrac1u\\ \dfrac{u'}{\sqrt u}\ (u>0) & 2\sqrt u\\ \dfrac{u'}{u}\ (u\neq0) & \ln|u|\\ u'\,e^{u} & e^{u}\\ u'\cos u\,;\ u'\sin u & \sin u\,;\ -\cos u\\ \dfrac{u'}{1+u^{2}} & \arctan u \end{array}
Ajuster le coefficient Repérer uu (l'« intérieur »), calculer u′u', et s'il manque une constante, la compenser par son inverse. Ex. e2x=12 (2e2x)e^{2x}=\frac12\,(2e^{2x}) donc primitive 12e2x\frac12 e^{2x} (vérif. : dérivée =e2x=e^{2x} ✓).

1.5 L'intégrale : définition & aire

Définition Pour ff continue sur II, a,b∈Ia,b\in I et FF une primitive : ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)} Le choix de FF n'importe pas (la constante s'élimine) : jamais de « +k+k » dans une intégrale. La variable est muette : ∫abf(x) dx=∫abf(t) dt\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt.
Interprétation en aire Si ff est continue et positive sur [a,b][a,b] (a≤ba\le b), alors ∫abf\int_a^b f est l'aire (en u.a.) sous Cf\mathcal{C}_f, entre l'axe des abscisses et x=ax=a, x=bx=b.
Intégrale ≠\neq aire en général Si ff est négative, l'intégrale est négative ; si ff change de signe, les contributions se compensent. Ainsi ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1}x\,dx=0 alors que l'aire vaut 11. Pour une aire : découper selon le signe, ou intégrer ∣f∣|f|.

1.6 L'intégrale comme limite : sommes de Riemann

Théorème — le point de vue Sciences Maths Pour ff continue sur [a,b][a,b], en découpant en nn parts égales (xk=a+kb−anx_k=a+k\frac{b-a}{n}) : ∫abf(x) dx=lim⁡n→+∞b−an∑k=1nf ⁣(a+k b−an)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)} En particulier sur [0,1][0,1] : ∫01f=lim⁡n→+∞1n∑k=1nf ⁣(kn)\displaystyle\int_0^1 f=\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac kn\right).
a b y=f(x)
Chaque rectangle a pour largeur b−an\frac{b-a}{n} et pour hauteur f(xk)f(x_k). Quand n→+∞n\to+\infty, la somme de leurs aires tend vers l'aire exacte, donc vers l'intégrale.
Réflexe rentable Devant lim⁡n→+∞1n∑k=1nf(kn)\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f(\frac kn), ne sommez pas : reconnaissez ∫01f\int_0^1 f et calculez l'intégrale. Ex. lim⁡1n∑kn=∫01x dx=12\lim\frac1n\sum\frac kn=\int_0^1 x\,dx=\frac12.

1.7 Propriétés de l'intégrale

Les incontournables
  • Linéarité : ∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.
  • Chasles : ∫abf+∫bcf=∫acf\boxed{\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f}.
  • Bornes : ∫aaf=0\int_a^a f=0, ∫abf=−∫baf\int_a^b f=-\int_b^a f.
  • Parité sur [−a,a][-a,a] : ff impaire ⇒ ∫−aaf=0\int_{-a}^{a}f=0 ; ff paire ⇒ ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f.
À quoi sert Chasles C'est l'outil des fonctions définies par morceaux et des aires quand ff change de signe : on découpe aux points d'annulation.

1.8 Intégrale & ordre — valeur moyenne

Positivité, comparaison, encadrement (si a≤ba\le b) f≥0⇒∫abf≥0f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0 ; f≤g⇒∫abf≤∫abgf\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g ; et m≤f≤M⇒m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m\le f\le M\Rightarrow m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a).
L'ordre des bornes est indispensable Ces propriétés supposent a≤ba\le b. Si b<a, l'intégrale change de signe et les inégalités s'inversent.
Valeur moyenne & théorème de la moyenne μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^b f. Si ff est continue sur [a,b][a,b] (a<b), il existe c∈[a,b]c\in[a,b] tel que ∫abf=(b−a)f(c)\boxed{\int_a^b f=(b-a)f(c)}, c.-à-d. f(c)=μf(c)=\mu : la valeur moyenne est atteinte (preuve : encadrement m≤μ≤Mm\le\mu\le M puis T.V.I.).

1.9 Méthodes de calcul

① Méthode directe Reconnaître une forme (u′unu'u^n, u′u\frac{u'}{u}, u′euu'e^u, u′u\frac{u'}{\sqrt u}, u′1+u2\frac{u'}{1+u^2}…), en déduire FF (ajuster le coefficient), puis F(b)−F(a)F(b)-F(a).
② Intégration par parties (IPP) ∫abu′v dx=[uv]ab−∫abuv′ dx\boxed{\int_a^b u'v\,dx=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dx} Choix : vv = ce qui se simplifie en dérivant (xx, x2x^2, ln⁡x\ln x, arctan⁡x\arctan x) ; u′u' = ce qu'on sait primitiver (exe^x, cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x). Ex. ∫1eln⁡x dx\int_1^e\ln x\,dx : v=ln⁡x, u′=1⇒[xln⁡x]1e−∫1e1 dx=e−(e−1)=1v=\ln x,\ u'=1\Rightarrow[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=1.
③ Changement de variable En posant u=φ(t)u=\varphi(t), du=φ′(t) dtdu=\varphi'(t)\,dt : ∫abf(φ(t))φ′(t) dt=∫φ(a)φ(b)f(u) du\boxed{\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du}. Ne pas oublier de changer les bornes. Ex. ∫012t et2dt =u=t2∫01eu du=e−1\int_0^1 2t\,e^{t^2}dt\ \overset{u=t^2}{=}\int_0^1 e^u\,du=e-1.

1.10 Fonction intégrale & théorème fondamental

Théorème fondamental de l'analyse Pour ff continue sur II et a∈Ia\in I, la fonction Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt est dérivable et Φ′(x)=f(x)\boxed{\Phi'(x)=f(x)} : Φ\Phi est la primitive de ff qui s'annule en aa.
Ce que ce théorème règle Il prouve l'existence d'une primitive pour toute fonction continue, et justifie ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a). Réflexe : ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x) — dériver « annule » l'intégrale.
Bornes variables (Leibniz) ddx∫u(x)v(x)f(t) dt=v′(x) f(v(x))−u′(x) f(u(x))\boxed{\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt=v'(x)\,f\big(v(x)\big)-u'(x)\,f\big(u(x)\big)} Ne pas calculer l'intégrale : repérer u,v,fu,v,f et appliquer (la borne haute compte positivement). Ex. g(x)=∫xx2et2dt⇒g′(x)=2x ex4−ex2g(x)=\int_x^{x^2}e^{t^2}dt\Rightarrow g'(x)=2x\,e^{x^4}-e^{x^2}.

1.11 Aires & volumes de révolution

Aires Sous une courbe : A=∫abf\mathcal{A}=\int_a^b f si f≥0f\ge0, =−∫abf=-\int_a^b f si f≤0f\le0. Entre deux courbes (f≥gf\ge g) : A=∫ab(f−g) dx\boxed{\mathcal{A}=\int_a^b\big(f-g\big)\,dx} — toujours « dessus −- dessous », après avoir trouvé les intersections et étudié le signe de f−gf-g.
Volumes de révolution Autour de (Ox)(Ox) (f≥0f\ge0) : V=π∫ab(f(x))2dx\boxed{V=\pi\int_a^b\big(f(x)\big)^{2}dx}. Autour de (Oy)(Oy), pour x=g(y)x=g(y) : V=π∫y0y1(g(y))2dyV=\pi\int_{y_0}^{y_1}\big(g(y)\big)^{2}dy. Le rayon est la distance de la courbe à l'axe de rotation ; on élève au carré avant d'intégrer.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

1

Primitives

F′=fF'=f, F+kF+k, tableaux usuels & composées.

2

Intégrale & aire

∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a), interprétation en aire.

3

Sommes de Riemann

∫01f=lim⁡1n∑f(kn)\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn).

4

Propriétés & moyenne

Chasles, parité, valeur moyenne, T. de la moyenne.

5

Les 3 méthodes

Directe, IPP, changement de variable.

6

Th. fondamental, aires, volumes

(∫axf)′=f(\int_a^x f)'=f, Leibniz, V=π∫f2V=\pi\int f^2.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Méthode directe · 3 formes

Exercice 1

Calculer a) ∫012xx2+1 dx\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx ; b) ∫01dx1+x2\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^{2}} ; c) ∫01e2x dx\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx.

Voir la correction

a) Forme u′u\frac{u'}{u}, u=x2+1>0u=x^{2}+1>0 : [ln⁡(x2+1)]01=ln⁡2\big[\ln(x^{2}+1)\big]_0^1=\ln2. b) Primitive arctan⁡x\arctan x : [arctan⁡x]01=π4\big[\arctan x\big]_0^1=\frac\pi4. c) Forme u′euu'e^{u}, u=2xu=2x : [12e2x]01=e2−12\big[\frac12 e^{2x}\big]_0^1=\dfrac{e^{2}-1}{2}. ∎

Intégration par parties

Exercice 2

Calculer ∫01x ex dx\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx.

Voir la correction

Le produit xexxe^{x} n'est pas une forme composée : IPP avec v=x (v′=1)v=x\ (v'=1) et u′=ex (u=ex)u'=e^{x}\ (u=e^{x}) : ∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−[ex]01=e−(e−1)=1.\int_0^1 xe^{x}dx=\big[xe^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}dx=e-\big[e^{x}\big]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}. La nouvelle intégrale était plus simple : bon choix. ∎

Somme de Riemann

Exercice 3

Calculer L=lim⁡n→+∞∑k=1nnn2+k2\displaystyle L=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}.

Voir la correction

Factoriser 1n\frac1n : nn2+k2=1n⋅11+(kn)2\dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}=\dfrac1n\cdot\dfrac1{1+(\frac kn)^{2}}. C'est une somme de Riemann sur [0,1][0,1] avec f(x)=11+x2f(x)=\frac1{1+x^{2}} : L=∫01dx1+x2=[arctan⁡x]01=π4.L=\int_0^1\frac{dx}{1+x^{2}}=\big[\arctan x\big]_0^1=\dfrac\pi4. ∎

Aire entre deux courbes

Exercice 4

Aire du domaine délimité par Cf (f(x)=x2)\mathcal{C}_f\ (f(x)=x^{2}) et Cg (g(x)=x)\mathcal{C}_g\ (g(x)=x).

Voir la correction

Bornes : x2=x  ⟺  x(x−1)=0⇒x=0x^{2}=x\iff x(x-1)=0\Rightarrow x=0 ou 11. Qui est au-dessus ? Sur [0,1][0,1], g−f=x−x2=x(1−x)≥0g-f=x-x^{2}=x(1-x)\ge0 : la droite domine. A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16 u.a.\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^{2})\,dx=\Big[\tfrac{x^{2}}2-\tfrac{x^{3}}3\Big]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\boxed{\tfrac16}\ \text{u.a.} ∎

Théorème fondamental · Leibniz

Exercice 5

Soit Φ(x)=∫0xdt1+t2\Phi(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^{2}}. 1) Φ\Phi dérivable, Φ′\Phi' ? 2) Variations et identification de Φ\Phi. 3) g′(x)g'(x) pour g(x)=∫0x2dt1+t2g(x)=\int_0^{x^{2}}\frac{dt}{1+t^{2}}.

Voir la correction

1. t↦11+t2t\mapsto\frac1{1+t^{2}} continue sur R\mathbb{R} ⇒ (th. fondamental) Φ′(x)=11+x2\Phi'(x)=\frac1{1+x^{2}}. 2. Φ′>0\Phi'>0 ⇒ Φ\Phi strictement croissante, et Φ(0)=0\Phi(0)=0 ; or arctan⁡\arctan est l'unique primitive de 11+x2\frac1{1+x^2} nulle en 00, donc Φ=arctan⁡\boxed{\Phi=\arctan}. 3. Bornes u=0, v=x2 (v′=2x)u=0,\ v=x^{2}\ (v'=2x) : g′(x)=2x⋅11+(x2)2=2x1+x4g'(x)=2x\cdot\frac1{1+(x^{2})^{2}}=\dfrac{2x}{1+x^{4}}. ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifiez toujours en dérivant : si F′=fF'=f, la primitive est juste.
Astuce Nouvelle ligne à retenir : 11+x2→arctan⁡x\frac1{1+x^{2}}\to\arctan x et u′1+u2→arctan⁡u\frac{u'}{1+u^{2}}\to\arctan u.
Astuce Riemann : ∫01f=lim⁡1n∑f(kn)\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn) — le réflexe pour les limites de sommes.
Astuce Bornes variables : (∫uvf)′=v′f(v)−u′f(u)(\int_{u}^{v} f)'=v'f(v)-u'f(u) — sans calculer l'intégrale.
Piège Intégrale ≠\neq aire si ff change de signe : découper avec Chasles ou intégrer ∣f∣|f|.
Piège Changement de variable : ne jamais oublier de changer les bornes.
Piège Volume : c'est π∫f2\pi\int f^{2}, pas π(∫f)2\pi(\int f)^{2} — on élève au carré avant d'intégrer.
Piège Ordre des bornes : les inégalités (positivité, moyenne) supposent a≤ba\le b ; si b<a, tout s'inverse.

Formulaire à retenir

Primitive FF primitive de ff   ⟺  F′=f\iff F'=f ; toutes de la forme F+kF+k
Puissances ∫xn=xn+1n+1 (n≠−1)\displaystyle\int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1), ∫1x=ln⁡∣x∣\displaystyle\int\frac1x=\ln|x|
Exp & trigo ∫ex=ex\displaystyle\int e^{x}=e^{x}, ∫cos⁡x=sin⁡x\displaystyle\int\cos x=\sin x, ∫sin⁡x=−cos⁡x\displaystyle\int\sin x=-\cos x
Arctangente ∫dx1+x2=arctan⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x
Forme u′unu'u^{n} ∫u′un=un+1n+1\displaystyle\int u'u^{n}=\frac{u^{n+1}}{n+1}
Formes u′u\frac{u'}{u}, u′u\frac{u'}{\sqrt u} ∫u′u=ln⁡∣u∣\displaystyle\int\frac{u'}{u}=\ln|u|, ∫u′u=2u\displaystyle\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u
Formes u′euu'e^{u}, u′1+u2\frac{u'}{1+u^{2}} ∫u′eu=eu\displaystyle\int u'e^{u}=e^{u}, ∫u′1+u2=arctan⁡u\displaystyle\int\frac{u'}{1+u^{2}}=\arctan u
Intégrale ∫abf=[F]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f=\big[F\big]_a^b=F(b)-F(a) (pas de +k+k)
Linéarité ∫ab(αf+βg)=α ⁣∫abf+β ⁣∫abg\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\!\int_a^b f+\beta\!\int_a^b g
Chasles ∫abf+∫bcf=∫acf\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f
Bornes ∫aaf=0\displaystyle\int_a^a f=0, ∫abf=−∫baf\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f
Parité sur [−a,a][-a,a] impaire : ∫−aaf=0\int_{-a}^{a}f=0 ; paire : ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f
Riemann ∫01f=lim⁡n→+∞1n∑k=1nf ⁣(kn)\displaystyle\int_0^1 f=\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac kn\right)
Valeur moyenne μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f ; ∃c, ∫abf=(b−a)f(c)\exists c,\ \int_a^b f=(b-a)f(c)
Intégration par parties ∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′\displaystyle\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'
Changement de variable ∫abf(φ)φ′=∫φ(a)φ(b)f(u) du\displaystyle\int_a^b f(\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du (changer les bornes)
Théorème fondamental Φ(x)=∫axf(t) dt⇒Φ′(x)=f(x)\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\Rightarrow\Phi'(x)=f(x)
Bornes variables (Leibniz) ddx∫uvf=v′f(v)−u′f(u)\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{u}^{v} f=v'f(v)-u'f(u)
Aire entre courbes A=∫ab(f−g)\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b(f-g) si f≥gf\ge g (dessus −- dessous)
Volumes de révolution V=π∫abf(x)2dx (Ox)V=\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^{2}dx\ (Ox) ; V=π∫y0y1g(y)2dy (Oy)V=\pi\displaystyle\int_{y_0}^{y_1} g(y)^{2}dy\ (Oy)
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