QCM — Calcul intégral (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque :

   • ✓\(F'=f\) sur \(I\)
   • B\(f'=F\) sur \(I\)
   • C\(F=f\)
   • D\(F(x)=xf(x)\)

   Remarque

   Par définition, \(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'=f\) sur l'intervalle \(I\).

2. Question 2

   Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent :

   • Ad'un facteur
   • ✓d'une constante
   • Cd'un polynôme
   • Dde rien

   Remarque

   Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \(F-G\) est constante : \(G=F+k\).

3. Question 3

   Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\) :

   • ✓\(F(b)-F(a)\)
   • B\(F(a)-F(b)\)
   • C\(F(b)+F(a)\)
   • D\(f(b)-f(a)\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int_{a}^{b}f=\big[F\big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\).

4. Question 4

   \(\displaystyle\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f=\) :

   • ✓\(\displaystyle\int_{a}^{c}f\)
   • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\)
   • C\(0\)
   • D\(\displaystyle\int_{c}^{a}f\)

   Remarque

   Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f=\int_{a}^{c}f\).

5. Question 5

   \(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(\alpha f+\beta g\big)=\) :

   • ✓\(\alpha\displaystyle\int_{a}^{b}f+\beta\int_{a}^{b}g\)
   • B\(\alpha\beta\displaystyle\int_{a}^{b}fg\)
   • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\times\int_{a}^{b}g\)
   • D\(\alpha+\beta\)

   Remarque

   L'intégrale est linéaire : \(\displaystyle\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g\).

6. Question 6

   Si \(a\le b\) et \(f\ge 0\) sur \([a,b]\), alors :

   • ✓\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\ge 0\)
   • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\le 0\)
   • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}f=0\)
   • Don ne peut rien dire

   Remarque

   Positivité de l'intégrale : si \(f\ge 0\) sur \([a,b]\) (avec \(a\le b\)), alors \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\ge 0\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\) vaut :

   • A\(1\)
   • B\(\dfrac{1}{2}\)
   • ✓\(\dfrac{1}{3}\)
   • D\(\dfrac{2}{3}\)

   Remarque

   Une primitive de \(x^{2}\) est \(\dfrac{x^{3}}{3}\), donc \(\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\Big[\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}\).

8. Question 8

   La valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) est :

   • ✓\(\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f\)
   • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\)
   • C\(\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\)
   • D\((b-a)\displaystyle\int_{a}^{b}f\)

   Remarque

   La valeur moyenne vaut \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\).

9. Question 9

   La formule d'intégration par parties est \(\displaystyle\int_{a}^{b}u\,v'=\) :

   • ✓\(\big[uv\big]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}u'v\)
   • B\(\big[uv\big]_{a}^{b}+\displaystyle\int_{a}^{b}u'v\)
   • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}u'v'\)
   • D\(\big[u'v'\big]_{a}^{b}\)

   Remarque

   IPP : \(\displaystyle\int_{a}^{b}u\,v'=\big[uv\big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'\,v\).

10. Question 10

    Si \(f\) est continue et \(G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt\), alors \(G'(x)=\) :

    • ✓\(f(x)\)
    • B\(f(a)\)
    • C\(F(x)-F(a)\)
    • D\(0\)

    Remarque

    Théorème fondamental de l'analyse : la fonction intégrale \(G\) est dérivable et \(G'(x)=f(x)\).

11. Question 11

    \(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\,dx\) vaut :

    • ✓\(0\)
    • B\(f(a)\)
    • C\(F(a)\)
    • D\(1\)

    Remarque

    Bornes égales : \(\displaystyle\int_{a}^{a}f=F(a)-F(a)=0\).

12. Question 12

    \(\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\,dx\) est égale à :

    • ✓\(-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)
    • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)
    • C\(0\)
    • D\(F(a)+F(b)\)

    Remarque

    L'échange des bornes change le signe : \(\displaystyle\int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f\).

13. Question 13

    \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\) vaut :

    • ✓\(2\)
    • B\(0\)
    • C\(1\)
    • D\(\pi\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos 0=1+1=2\).

14. Question 14

    \(\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{1}{x}\,dx\) vaut :

    • ✓\(1\)
    • B\(e-1\)
    • C\(e\)
    • D\(0\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{dx}{x}=\big[\ln x\big]_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=1\).

15. Question 15

    Si \(f\le g\) sur \([a,b]\) (avec \(a\le b\)), alors :

    • ✓\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}g\)
    • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\ge\int_{a}^{b}g\)
    • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}g\)
    • Don ne peut rien dire

    Remarque

    Croissance de l'intégrale : \(f\le g\) sur \([a,b]\) entraîne \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\le\int_{a}^{b}g\).

16. Question 16

    \(\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx\) vaut :

    • ✓\(e-1\)
    • B\(e\)
    • C\(1-e\)
    • D\(1\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=\big[e^{x}\big]_{0}^{1}=e-1\).

17. Question 17

    Inégalité de la moyenne : si \(m\le f\le M\) sur \([a,b]\) (\(a\le b\)), alors \(\displaystyle\int_{a}^{b}f\) vérifie :

    • ✓\(m(b-a)\le\displaystyle\int_{a}^{b}f\le M(b-a)\)
    • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}f\le m(b-a)\)
    • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}f=M(b-a)\)
    • D\(m\le\displaystyle\int_{a}^{b}f\le M\)

    Remarque

    En intégrant \(m\le f\le M\) sur \([a,b]\) : \(m(b-a)\le\displaystyle\int_{a}^{b}f\le M(b-a)\).

18. Question 18

    Le volume du solide de révolution engendré par \(\mathcal{C}_f\) autour de \((Ox)\) sur \([a,b]\) est :

    • ✓\(\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,dx\)
    • B\(\pi\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)
    • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,dx\)
    • D\(2\pi\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)

    Remarque

    Volume de révolution autour de \((Ox)\) : \(V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}\,dx\).

19. Question 19

    Si \(f\) est impaire, alors \(\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\) :

    • ✓\(0\)
    • B\(2\displaystyle\int_{0}^{a}f\)
    • C\(a\)
    • D\(2f(a)\)

    Remarque

    Par symétrie, l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle : \(\displaystyle\int_{-a}^{a}f=0\).

20. Question 20

    \(\displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx\) vaut :

    • ✓\(1\)
    • B\(e-1\)
    • C\(e\)
    • D\(0\)

    Remarque

    IPP avec \(u=x,\ v'=e^{x}\) : \(\big[xe^{x}\big]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=e-(e-1)=1\).

21. Question 21

    L'aire du domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sur \([a,b]\) (avec \(f\ge g\)) est :

    • ✓\(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\)
    • B\(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx\)
    • C\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\)
    • D\(\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)-f(x)\,dx\)

    Remarque

    L'aire entre deux courbes (en unités d'aire) vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\) quand \(f\ge g\) sur \([a,b]\).

22. Question 22

    Par le changement de variable \(t=x^{2}\), \(\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx\) vaut :

    • ✓\(e-1\)
    • B\(e\)
    • C\(1\)
    • D\(2(e-1)\)

    Remarque

    Avec \(t=x^{2}\), \(dt=2x\,dx\) : \(\displaystyle\int_{0}^{1}e^{t}\,dt=\big[e^{t}\big]_{0}^{1}=e-1\).