QCM — Les équations différentielles (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Les solutions de \(y'=a\,y\) sont :

   • ✓\(y=Ce^{ax}\)
   • B\(y=ax+C\)
   • C\(y=Ce^{-ax}\)
   • D\(y=C\cos(ax)\)

   Remarque

   L'équation \(y'=ay\) a pour solutions \(y(x)=Ce^{ax}\), \(C\in\mathbb{R}\).

2. Question 2

   Pour \(y'=a\,y\) avec la condition \(y(0)=y_0\), la constante \(C\) vaut :

   • ✓\(y_0\)
   • B\(0\)
   • C\(a\,y_0\)
   • D\(\dfrac{y_0}{a}\)

   Remarque

   En \(x=0\) : \(y(0)=Ce^{0}=C=y_0\). D'où la solution unique \(y=y_0\,e^{ax}\).

3. Question 3

   Une solution particulière (constante) de \(y'=a\,y+b\) (\(a\ne 0\)) est :

   • ✓\(y=-\dfrac{b}{a}\)
   • B\(y=\dfrac{b}{a}\)
   • C\(y=b\)
   • D\(y=ab\)

   Remarque

   Une constante \(y_p\) vérifie \(0=a\,y_p+b\), soit \(y_p=-\dfrac{b}{a}\). La solution générale est \(y=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}\).

4. Question 4

   L'équation caractéristique de \(y''+a\,y'+b\,y=0\) est :

   • ✓\(r^{2}+ar+b=0\)
   • B\(r^{2}+br+a=0\)
   • C\(ar+b=0\)
   • D\(r^{2}=ab\)

   Remarque

   On cherche des solutions \(e^{rx}\) : elles imposent \(r^{2}+ar+b=0\), l'équation caractéristique.

5. Question 5

   Si l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \(r_1\ne r_2\) (\(\Delta>0\)), la solution générale est :

   • ✓\(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\)
   • B\(y=(A+Bx)e^{r_1x}\)
   • C\(y=e^{r_1x}(A\cos+B\sin)\)
   • D\(y=Ae^{r_1x}\)

   Remarque

   Cas \(\Delta>0\) : \(y=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\).

6. Question 6

   Si l'équation caractéristique a une racine double \(r\) (\(\Delta=0\)), la solution générale est :

   • ✓\(y=(A+Bx)e^{rx}\)
   • B\(y=Ae^{rx}+Be^{-rx}\)
   • C\(y=Ae^{rx}\)
   • D\(y=A\cos(rx)\)

   Remarque

   Cas \(\Delta=0\) : la racine double \(r\) donne \(y=(A+Bx)e^{rx}\).

7. Question 7

   Si l'équation caractéristique a deux racines complexes \(\alpha\pm i\beta\) (\(\Delta<0\)), la solution générale est :

   • ✓\(y=e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big)\)
   • B\(y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\)
   • C\(y=(A+Bx)e^{\alpha x}\)
   • D\(y=A\cos(\alpha x)\)

   Remarque

   Cas \(\Delta<0\) : \(y=e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big)\).

8. Question 8

   Les solutions de \(y''+4y=0\) sont :

   • ✓\(y=A\cos(2x)+B\sin(2x)\)
   • B\(y=Ae^{2x}+Be^{-2x}\)
   • C\(y=(A+Bx)e^{2x}\)
   • D\(y=Ae^{4x}\)

   Remarque

   \(r^{2}+4=0\) donne \(r=\pm 2i\) (\(\alpha=0,\ \beta=2\)), d'où \(y=A\cos(2x)+B\sin(2x)\).

9. Question 9

   La solution de \(y'=2y\) vérifiant \(y(0)=3\) est :

   • ✓\(y=3e^{2x}\)
   • B\(y=2e^{3x}\)
   • C\(y=3e^{-2x}\)
   • D\(y=e^{2x}+3\)

   Remarque

   \(y=Ce^{2x}\) et \(y(0)=C=3\), donc \(y=3e^{2x}\).

10. Question 10

    Les solutions de \(y''-5y'+6y=0\) sont :

    • ✓\(y=Ae^{2x}+Be^{3x}\)
    • B\(y=Ae^{-2x}+Be^{-3x}\)
    • C\(y=(A+Bx)e^{5x}\)
    • D\(y=A\cos(6x)\)

    Remarque

    \(r^{2}-5r+6=0\) a pour racines \(2\) et \(3\), d'où \(y=Ae^{2x}+Be^{3x}\).

11. Question 11

    Les solutions de \(y'=-3y\) sont :

    • ✓\(y=Ce^{-3x}\)
    • B\(y=Ce^{3x}\)
    • C\(y=-3x+C\)
    • D\(y=C\cos(3x)\)

    Remarque

    \(y'=ay\) donne \(y=Ce^{ax}\) ; ici \(a=-3\), d'où \(y=Ce^{-3x}\).

12. Question 12

    Les solutions de \(y''-y=0\) sont :

    • ✓\(y=Ae^{x}+Be^{-x}\)
    • B\(y=A\cos x+B\sin x\)
    • C\(y=(A+Bx)e^{x}\)
    • D\(y=Ae^{x}\)

    Remarque

    \(r^{2}-1=0\) a pour racines \(\pm 1\) (\(\Delta>0\)), d'où \(y=Ae^{x}+Be^{-x}\).

13. Question 13

    La solution générale de \(y'=2y+4\) est :

    • ✓\(y=Ce^{2x}-2\)
    • B\(y=Ce^{2x}+2\)
    • C\(y=Ce^{2x}+4\)
    • D\(y=2x+C\)

    Remarque

    Solution particulière constante : \(0=2y_p+4\Rightarrow y_p=-2\). Solution générale \(y=Ce^{2x}-2\).

14. Question 14

    Les solutions de \(y''+y=0\) sont :

    • ✓\(y=A\cos x+B\sin x\)
    • B\(y=Ae^{x}+Be^{-x}\)
    • C\(y=(A+Bx)e^{x}\)
    • D\(y=Ae^{-x}\)

    Remarque

    \(r^{2}+1=0\) donne \(r=\pm i\) (\(\alpha=0,\ \beta=1\)), d'où \(y=A\cos x+B\sin x\).

15. Question 15

    Les solutions de \(y''-4y'+4y=0\) sont :

    • ✓\(y=(A+Bx)e^{2x}\)
    • B\(y=Ae^{2x}+Be^{-2x}\)
    • C\(y=A\cos(2x)+B\sin(2x)\)
    • D\(y=Ae^{4x}\)

    Remarque

    \(r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0\) : racine double \(r=2\) (\(\Delta=0\)), d'où \(y=(A+Bx)e^{2x}\).