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En Sciences Mathématiques, la fonction logarithme est étudiée avec ses propriétés algébriques complètes et le logarithme de base a. Cette fiche récapitule ln(ab), ln(aⁿ), la dérivée de ln(u), les limites et croissances comparées, ainsi que les primitives associées. En SM, ln intervient dans des études de fonctions exigeantes et des résolutions d'équations et d'inéquations. Rappel de rigueur : avant toute dérivation ou résolution, précisez le domaine (u > 0) — c'est souvent là que se jouent les points de justification.

ln
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les fonctions logarithmes — Méthodes & Formules

Math Excellence
1 · Propriétés algébriques
Fondamentale
ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b
produit ⇒ somme
Quotient
ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac ab=\ln a-\ln b
ln⁡1b=−ln⁡b\ln\frac1b=-\ln b
Puissance
ln⁡(ar)=rln⁡a\ln(a^{r})=r\ln a
tout r∈Qr\in\mathbb{Q}
Erreur n°1
ln⁡(a+b)≠ln⁡a+ln⁡b\ln(a{+}b)\neq\ln a+\ln b
jamais la somme !
2 · Méthodes de résolution
Équation avec ln⁡\ln
  • ① Condition d'existence (arg. >0>0)
  • ② Regrouper les ln⁡\ln
  • ③ « Enlever » les ln⁡\ln
  • ④ Confronter à la condition
Piège : la condition d'existence d'abord !
Système logarithmique
  • Poser X=ln⁡x, Y=ln⁡yX=\ln x,\ Y=\ln y (linéaire)
  • ou ln⁡x+ln⁡y=ln⁡(xy)\ln x+\ln y=\ln(xy)
Ex : somme 55, produit 66 ⇒ {2,3}\{2,3\}
Base aa
  • log⁡ax=b  ⟺  x=ab\log_a x=b\iff x=a^{b}
  • log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}
Ex : log⁡2x=3⇒x=8\log_2 x=3\Rightarrow x=8
Inéquation base <1
  • log⁡a\log_a décroissante
  • l'inégalité change de sens
Ex : \log_{0{,}5}x>2\Rightarrow x<0{,}25
Dérivée / primitive
  • (ln⁡u)′=u′u(\ln u)'=\frac{u'}{u}
  • ∫u′u=ln⁡∣u∣+k\int\frac{u'}{u}=\ln|u|+k
Croissances comparées
  • la puissance l'emporte
  • ln⁡xx→0\frac{\ln x}{x}\to0, xln⁡x→0x\ln x\to0
3 · Limites & valeurs usuelles
ln⁡1=0\ln1=0
ln⁡e=1\ln e=1
lim⁡0+ln⁡x=−∞\displaystyle\lim_{0^{+}}\ln x=-\infty
lim⁡+∞ln⁡x=+∞\displaystyle\lim_{+\infty}\ln x=+\infty
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
lim⁡x→1ln⁡xx−1=1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1
lim⁡+∞ln⁡xx=0\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{\ln x}{x}=0
lim⁡0+xln⁡x=0\displaystyle\lim_{0^{+}}x\ln x=0
ln⁡′(x)=1x>0 (↗)\ln'(x)=\frac1x>0\ (\nearrow)
4 · Étude de ln⁡\ln & du log base aa
La fonction ln⁡\ln
  • ↗\nearrow sur ]0,+∞[]0,+\infty[, concave
  • Asymptote verticale x=0x=0
  • Passe par (1,0)(1,0) et (e,1)(e,1)
  • Branche parabolique dir. (Ox)(Ox)
Signe de ln⁡\ln
  • ln⁡x>0  ⟺  x>1\ln x>0\iff x>1
  • \ln x<0\iff 0<x<1
log⁡a\log_a : sens de variation
  • a>1⇒↗a>1\Rightarrow\nearrow
  • 0<a<1\Rightarrow\searrow
  • Toutes passent par (1,0)(1,0)
Clé : le signe de ln⁡a\ln a décide.
Log décimal
  • log⁡x=ln⁡xln⁡10\log x=\frac{\ln x}{\ln10}
  • log⁡(10n)=n\log(10^{n})=n
  • ordre de grandeur, pH
★ Astuces géniales
  • ln⁡\ln est LA primitive de 1x\frac1x nulle en 11.
  • Un u′u\frac{u'}{u} ? ⇒\Rightarrow primitive ln⁡∣u∣\ln|u|.
  • Face à une puissance, ln⁡\ln perd toujours.
  • Base <1 : on retourne l'inégalité.
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