QCM — Les fonctions logarithmes (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(\ln(e)\) et \(\ln(1)\) valent respectivement :

   • ✓\(1\) et \(0\)
   • B\(0\) et \(1\)
   • C\(e\) et \(1\)
   • D\(1\) et \(1\)

   Remarque

   \(\ln(1)=0\) et \(\ln(e)=1\) : ce sont les valeurs de référence du logarithme népérien.

2. Question 2

   Pour \(a>0\) et \(b>0\), \(\ln(ab)=\) :

   • A\(\ln a\times\ln b\)
   • ✓\(\ln a+\ln b\)
   • C\(\ln a-\ln b\)
   • D\((\ln a)^{b}\)

   Remarque

   Propriété fondamentale : le logarithme transforme les produits en sommes, \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\).

3. Question 3

   La fonction \(\ln\) est définie sur :

   • A\(\mathbb{R}\)
   • B\([0,+\infty[\)
   • ✓\(]0,+\infty[\)
   • D\(\mathbb{R}^{*}\)

   Remarque

   Le logarithme népérien n'est défini que pour les réels strictement positifs : \(]0,+\infty[\).

4. Question 4

   \((\ln x)'=\) :

   • ✓\(\dfrac{1}{x}\)
   • B\(x\)
   • C\(\ln x\)
   • D\(-\dfrac{1}{x^{2}}\)

   Remarque

   Sur \(]0,+\infty[\), \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}>0\) : \(\ln\) est strictement croissante.

5. Question 5

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(-\infty\)
   • C\(+\infty\)
   • D\(1\)

   Remarque

   En \(0^{+}\), \(\ln x\to -\infty\) (asymptote verticale \(x=0\)) ; en \(+\infty\), \(\ln x\to +\infty\).

6. Question 6

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\) vaut :

   • A\(+\infty\)
   • B\(1\)
   • ✓\(0\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Croissances comparées : \(x\) l'emporte sur \(\ln x\), donc \(\dfrac{\ln x}{x}\to 0\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(1\)
   • C\(+\infty\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Limite usuelle (nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\)) : \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to 1\).

8. Question 8

   Une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) (avec \(u>0\)) est :

   • ✓\(\ln u\)
   • B\(\dfrac{1}{u}\)
   • C\(u\ln u\)
   • D\(u^{2}\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}=\ln|u|\) ; ici \(u>0\) donne \(\ln u\). C'est la « dérivée logarithmique ».

9. Question 9

   L'équation \(\ln x+\ln(x-1)=\ln 6\) a pour solution :

   • A\(x=2\)
   • ✓\(x=3\)
   • C\(x=-2\)
   • D\(x=6\)

   Remarque

   Domaine \(x>1\). \(\ln\big(x(x-1)\big)=\ln 6\Rightarrow x^{2}-x-6=0\Rightarrow x=3\) (on écarte \(x=-2\)).

10. Question 10

    Le logarithme de base \(a\) (\(a>0,\ a\ne 1\)) est défini par \(\log_a x=\) :

    • ✓\(\dfrac{\ln x}{\ln a}\)
    • B\(\ln x\times\ln a\)
    • C\(\dfrac{\ln a}{\ln x}\)
    • D\(a\ln x\)

    Remarque

    \(\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\) ; en particulier \(\log_a a=1\) et le logarithme décimal est \(\log=\log_{10}\).

11. Question 11

    Pour \(a,b>0\), \(\ln\!\Big(\dfrac{a}{b}\Big)=\) :

    • ✓\(\ln a-\ln b\)
    • B\(\ln a+\ln b\)
    • C\(\dfrac{\ln a}{\ln b}\)
    • D\(\ln(a-b)\)

    Remarque

    Le logarithme transforme les quotients en différences : \(\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b\).

12. Question 12

    Pour \(a>0\) et \(n\in\mathbb{Z}\), \(\ln(a^{n})=\) :

    • ✓\(n\ln a\)
    • B\((\ln a)^{n}\)
    • C\(\ln a\)
    • D\(a\ln n\)

    Remarque

    \(\ln(a^{n})=n\ln a\) (par récurrence à partir de \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)).

13. Question 13

    \(\big(\ln(x^{2}+1)\big)'=\) :

    • ✓\(\dfrac{2x}{x^{2}+1}\)
    • B\(\dfrac{1}{x^{2}+1}\)
    • C\(\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\)
    • D\(2x\ln(x^{2}+1)\)

    Remarque

    Avec \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) et \(u=x^{2}+1\), \(u'=2x\) : \(\dfrac{2x}{x^{2}+1}\).

14. Question 14

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x\) vaut :

    • ✓\(0\)
    • B\(-\infty\)
    • C\(1\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    Croissances comparées : \(x\) l'emporte, \(x\ln x\to 0^{-}\) quand \(x\to 0^{+}\).

15. Question 15

    \(\ln x=1\) équivaut à :

    • ✓\(x=e\)
    • B\(x=1\)
    • C\(x=0\)
    • D\(x=10\)

    Remarque

    \(\ln\) étant bijective, \(\ln x=1=\ln e\iff x=e\).

16. Question 16

    L'inéquation \(\ln x<0\) a pour ensemble de solutions :

    • ✓\(]0,1[\)
    • B\(]1,+\infty[\)
    • C\(]-\infty,0[\)
    • D\(]0,e[\)

    Remarque

    \(\ln x<0=\ln 1\) et \(\ln\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) : donc \(0<x<1\).

17. Question 17

    Une primitive de \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\) est :

    • ✓\(x\ln x-x\)
    • B\(\dfrac{1}{x}\)
    • C\(x\ln x\)
    • D\(\dfrac{(\ln x)^{2}}{2}\)

    Remarque

    \((x\ln x-x)'=\ln x+x\cdot\dfrac1x-1=\ln x\) : \(x\ln x-x\) est bien une primitive de \(\ln\).

18. Question 18

    L'équation \(\ln(2x-1)=\ln(x+3)\) a pour solution :

    • ✓\(x=4\)
    • B\(x=2\)
    • C\(x=-3\)
    • D\(x=\dfrac12\)

    Remarque

    Domaine \(x>\tfrac12\). Par injectivité de \(\ln\) : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\) (valeur admissible).