QCM — Dérivation & étude des fonctions (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) est :

   • ✓\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
   • B\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)
   • C\(y=f'(x)(x-a)\)
   • D\(y=f(a)x+f'(a)\)

   Remarque

   La tangente en \(a\) a pour pente \(f'(a)\) et passe par \((a,f(a))\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

2. Question 2

   Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors :

   • ✓\(f\) est continue en \(a\)
   • B\(f\) est constante
   • C\(f'(a)=0\)
   • D\(f\) n'est pas continue en \(a\)

   Remarque

   La dérivabilité entraîne la continuité (la réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue mais non dérivable en \(0\)).

3. Question 3

   \((uv)'=\) :

   • A\(u'v'\)
   • ✓\(u'v+uv'\)
   • C\(u'v-uv'\)
   • D\(u'+v'\)

   Remarque

   Dérivée d'un produit : \((uv)'=u'v+uv'\).

4. Question 4

   Si \(f\) est bijective dérivable et \(y=f(x)\) avec \(f'(x)\ne 0\), alors \((f^{-1})'(y)=\) :

   • A\(f'(x)\)
   • ✓\(\dfrac{1}{f'(x)}\)
   • C\(-f'(x)\)
   • D\(\dfrac{1}{f(x)}\)

   Remarque

   Dérivée d'une réciproque : \((f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}\) où \(y=f(x)\).

5. Question 5

   \((\arctan x)'=\) :

   • ✓\(\dfrac{1}{1+x^{2}}\)
   • B\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
   • C\(1+x^{2}\)
   • D\(\dfrac{-1}{1+x^{2}}\)

   Remarque

   La fonction Arctangente a pour dérivée \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\) sur \(\mathbb{R}\).

6. Question 6

   Théorème de Rolle : si \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) et \(f(a)=f(b)\), alors :

   • A\(f\) est constante
   • ✓il existe \(c\in\ ]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\)
   • C\(f'(a)=f'(b)\)
   • D\(f\) est monotone

   Remarque

   Le théorème de Rolle garantit l'existence d'un \(c\in\ ]a,b[\) où la tangente est horizontale : \(f'(c)=0\).

7. Question 7

   Théorème des accroissements finis : il existe \(c\in\ ]a,b[\) tel que :

   • ✓\(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
   • B\(f'(c)=f(b)-f(a)\)
   • C\(f(c)=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\)
   • D\(f'(c)=0\)

   Remarque

   Le TAF : la pente moyenne \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) est atteinte par la dérivée en un point \(c\) intérieur.

8. Question 8

   Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle \(I\), alors sur \(I\) la fonction \(f\) est :

   • Adécroissante
   • Bconstante
   • ✓strictement croissante
   • Dnon monotone

   Remarque

   Une dérivée strictement positive sur un intervalle caractérise une fonction strictement croissante.

9. Question 9

   Un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est un point où :

   • A\(f'\) s'annule
   • ✓\(f''\) s'annule en changeant de signe
   • C\(f\) atteint un extremum
   • D\(f\) n'est pas définie

   Remarque

   En un point d'inflexion la concavité change : \(f''\) s'annule en changeant de signe (la courbe traverse sa tangente).

10. Question 10

    \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote oblique \(y=ax+b\) en \(+\infty\) lorsque :

    • ✓\(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\) sont finis
    • B\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) est finie
    • C\(f'(x)\to 0\)
    • D\(f(x)\to +\infty\)

    Remarque

    On calcule d'abord \(a=\lim \frac{f(x)}{x}\) (fini non nul), puis \(b=\lim\big(f(x)-ax\big)\) (fini) : la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique.

11. Question 11

    Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est défini par :

    • ✓\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
    • B\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{f(a)}\)
    • C\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
    • D\(f(a)-f(0)\)

    Remarque

    \(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) : c'est la pente de la tangente en \(a\).

12. Question 12

    \(\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\) :

    • ✓\(\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
    • B\(\dfrac{u'v+uv'}{v^{2}}\)
    • C\(\dfrac{u'}{v'}\)
    • D\(\dfrac{u'v-uv'}{v}\)

    Remarque

    Dérivée d'un quotient : \(\Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\).

13. Question 13

    La dérivée de la composée \((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)\) est :

    • ✓\(g'(x)\,f'\big(g(x)\big)\)
    • B\(f'(x)\,g'(x)\)
    • C\(f'\big(g(x)\big)\)
    • D\(f'\big(g'(x)\big)\)

    Remarque

    Règle de la chaîne : \(\big(f(g(x))\big)'=g'(x)\,f'\big(g(x)\big)\).

14. Question 14

    \((x^{n})'=\) (pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\)) :

    • ✓\(nx^{n-1}\)
    • B\(nx^{n+1}\)
    • C\(x^{n-1}\)
    • D\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)

    Remarque

    \((x^{n})'=nx^{n-1}\), cas particulier de \((u^{n})'=nu'u^{n-1}\).

15. Question 15

    \((\sqrt{x})'=\) (sur \(]0,+\infty[\)) :

    • ✓\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
    • B\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
    • C\(2\sqrt{x}\)
    • D\(\dfrac{1}{2x}\)

    Remarque

    \((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\).

16. Question 16

    \((u^{n})'=\) :

    • ✓\(nu'u^{n-1}\)
    • B\(nu^{n-1}\)
    • C\(u'u^{n-1}\)
    • D\(n u' u^{n}\)

    Remarque

    Dérivée d'une puissance de fonction : \((u^{n})'=nu'u^{n-1}\).

17. Question 17

    \((\tan x)'=\) :

    • ✓\(\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\)
    • B\(\dfrac{1}{\sin^{2}x}\)
    • C\(-\dfrac{1}{\cos^{2}x}\)
    • D\(\cos^{2}x\)

    Remarque

    \((\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\) sur chaque intervalle où \(\tan\) est définie.

18. Question 18

    Si \(f\) est dérivable et admet un extremum local en un point intérieur \(a\), alors :

    • ✓\(f'(a)=0\)
    • B\(f''(a)=0\)
    • C\(f(a)=0\)
    • D\(f'(a)>0\)

    Remarque

    En un extremum intérieur, la tangente est horizontale : \(f'(a)=0\) (condition nécessaire, non suffisante).

19. Question 19

    Si \(f''>0\) sur un intervalle \(I\), alors sur \(I\) la courbe \(\mathcal{C}_f\) est :

    • ✓convexe
    • Bconcave
    • Cune droite
    • Ddécroissante

    Remarque

    \(f''>0\) signifie \(f'\) croissante : la courbe est convexe (tournée vers le haut, au-dessus de ses tangentes).

20. Question 20

    Inégalité des accroissements finis : si \(|f'(x)|\le M\) sur \([a,b]\), alors pour \(x,y\in[a,b]\) :

    • ✓\(|f(x)-f(y)|\le M\,|x-y|\)
    • B\(|f(x)-f(y)|\ge M\,|x-y|\)
    • C\(f(x)=f(y)\)
    • D\(|f(x)-f(y)|\le M\)

    Remarque

    L'IAF majore l'accroissement de \(f\) par celui de la variable : \(|f(x)-f(y)|\le M\,|x-y|\) (\(f\) est \(M\)-lipschitzienne).

21. Question 21

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty\), alors \(\mathcal{C}_f\) admet :

    • ✓une branche parabolique de direction \((Oy)\)
    • Bune asymptote horizontale
    • Cune asymptote oblique
    • Dune branche parabolique de direction \((Ox)\)

    Remarque

    Quand \(\dfrac{f(x)}{x}\to+\infty\), la courbe présente une branche parabolique de direction l'axe \((Oy)\).

22. Question 22

    \(\mathcal{C}_f\) admet une asymptote verticale d'équation \(x=a\) lorsque :

    • ✓\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\)
    • B\(f(a)=0\)
    • C\(f'(a)=0\)
    • D\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=a\)

    Remarque

    Une limite infinie en \(a\) (par valeurs supérieures ou inférieures) traduit une asymptote verticale \(x=a\).