En Sciences Mathématiques, les limites et la continuité sont abordées avec toute la rigueur attendue : définition avec ε, image d'un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires et fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone. Cette fiche condense ces résultats et les techniques pour lever les indéterminations. C'est le socle de tout le programme d'analyse SM : une limite mal justifiée fragilise un problème entier. Travaillez en priorité le TVI et la caractérisation de la bijectivité, très demandés dans les sujets d'examen national.

Σ

Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Limites & Continuité — Méthodes & Théorèmes

Math Excellence

1 · Identifier la forme

$\dfrac{\infty}{\infty}$

Infini sur infini

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3x}$

$\dfrac{0}{0}$

Zéro sur zéro

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$

$\infty-\infty$

Infini moins infini

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x$

$0\times\infty$

Zéro fois infini

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x$

2 · Choisir la bonne méthode

$\dfrac{\infty}{\infty}$

• Factoriser le terme dominant
• Comparer les degrés

Astuce : regarde les degrés !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}=3$

$\dfrac{0}{0}$

• Factoriser puis simplifier
• Rationaliser (conjuguée)
• Limites usuelles

Astuce : simplifie avant de remplacer !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12$

$\infty-\infty$

• Même dénominateur
• Multiplier par la conjuguée

Astuce : élimine $\infty-\infty$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12$

$0\times\infty$

• Écrire sous forme d'un quotient
• Se ramener à $\frac00$ ou $\frac{\infty}{\infty}$

Astuce : écris en fraction !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

Gendarmes

• Encadrer $g\le f\le h$
• Bornée $\times$ nulle $\to0$

Astuce : utile avec $\sin$, $\cos$, $E(x)$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$

Fonctions trigo

• Se ramener à $\frac{\sin u}{u}\to1$
• $\frac{1-\cos u}{u^{2}}\to\frac12$

Astuce : ajuste le facteur devant $\sin$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5$

3 · Limites usuelles & définition « $\varepsilon$ »

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$. Définition : $\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0,\ 0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon$.

4 · Continuité · T.V.I. · Bijection

Continuité

• $\lim_{x\to x_0}f=f(x_0)$
• Prolongement : poser $\tilde f(a)=\ell$

Dérivable $\Rightarrow$ continue (réciproque fausse)

T.V.I.

• $f$ continue, $f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists c,\ f(c)=0$
• Unique si strict. monotone

Dichotomie : amplitude $\frac{b-a}{2^{n}}$

Image d'un intervalle

• Image d'un intervalle = intervalle
• $f([a;b])=[m;M]$

Piège : pas $[f(a);f(b)]$ si non monotone !

Bijection · réciproque

• Continue strict. monotone $\Rightarrow$ bijection
• $y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$
• $(C_{f^{-1}})$ symétrique de $(C_f)$ / $y=x$

Racine nᵉ · puissance $x^{r}$

• $y=\sqrt[n]{x}\iff y^{n}=x\ (x,y\ge0)$
• $x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}},\ x>0$

Astuce : exposant non entier $\Rightarrow x>0$ !

Partie entière $E(x)$

• E(x)\le x&lt;E(x)+1
• Continue sur $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$

Piège : $E(-1{,}3)=-2$

★ Astuces géniales

• Toujours identifier la forme d'abord.
• Simplifier / conjuguer avant de remplacer.
• Démo « $\varepsilon$ » : partir de $|f(x)-\ell|<\varepsilon$, remonter à $|x-a|<\alpha$.
• T.V.I. : écrire « $f$ continue » ; unicité $\Rightarrow$ stricte monotonie.

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