2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 1

QCM — Limites & continuité (SM)

Limites, définition formelle avec ε, formes indéterminées, théorèmes de comparaison, continuité, TVI, image d'un intervalle et fonction réciproque. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

QCM interactif

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Question 1 / 20

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :

0 / 20 répondue

Réviser : les 20 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :
- ✓\(0\)
- B\(1\)
- C\(+\infty\)
- Delle n'existe pas
Remarque
\(\dfrac{1}{x}\to 0\) quand \(x\to+\infty\). De même \(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\to 0\) pour tout \(\alpha>0\).
Question 2
La définition formelle de \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) s'écrit :
- ✓\(\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon\)
- B\(\exists \varepsilon>0,\ \forall \delta>0,\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon\)
- C\(\forall \delta>0,\ \exists \varepsilon>0,\ |f(x)-\ell|<\delta\)
- D\(\forall \varepsilon>0,\ |x-a|<\varepsilon\)
Remarque
Pour tout \(\varepsilon>0\) (aussi petit qu'on veut) on trouve \(\delta>0\) tel que dès que \(0<|x-a|<\delta\), on a \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\). La condition \(0<|x-a|\) exclut \(x=a\) : la limite décrit le comportement de \(f\) au voisinage de \(a\), et non sa valeur \(f(a)\) (qui peut différer de \(\ell\), voire ne pas exister).
Question 3
\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) vaut :
- A\(0\)
- B\(1\)
- ✓\(2\)
- D\(+\infty\)
Remarque
Forme indéterminée \(\frac{0}{0}\) : on factorise \(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\), donc \(\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\to 2\).
Question 4
Si \(f(x)\le g(x)\) au voisinage de \(+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), alors :
- ✓\(g(x)\to +\infty\)
- B\(g(x)\to 0\)
- C\(g\) est bornée
- Don ne peut rien conclure
Remarque
Théorème de comparaison : une fonction plus grande qu'une fonction tendant vers \(+\infty\) tend elle aussi vers \(+\infty\).
Question 5
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(1\)
- C\(+\infty\)
- D\(\dfrac{\pi}{2}\)
Remarque
Limite usuelle fondamentale : \(\dfrac{\sin x}{x}\to 1\) quand \(x\to 0\).
Question 6
\(f\) est continue en \(a\) lorsque :
- A\(f\) est définie en \(a\)
- ✓\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
- C\(f\) est dérivable en \(a\)
- D\(f(a)=0\)
Remarque
La continuité en \(a\) signifie exactement \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) : la limite existe et égale la valeur.
Question 7
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(f(a)\,f(b)<0\), alors :
- A\(f\) est croissante
- ✓il existe \(c\in\ ]a,b[\) tel que \(f(c)=0\)
- C\(f\) est constante
- D\(f\) n'a pas de racine
Remarque
Théorème des valeurs intermédiaires : \(f\) continue changeant de signe sur \([a,b]\) s'annule au moins une fois dans \(]a,b[\).
Question 8
L'image d'un segment \([a,b]\) par une fonction continue est :
- ✓un segment \([m,M]\)
- Bun intervalle ouvert
- Ctoujours \([a,b]\)
- Dune réunion de deux intervalles
Remarque
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes : \(f([a,b])=[m,M]\) où \(m\) et \(M\) sont le minimum et le maximum de \(f\).
Question 9
Si \(f\) est continue et strictement croissante sur un intervalle \(I\), alors :
- ✓\(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\), de réciproque continue strictement croissante
- B\(f\) n'est pas bijective
- C\(f^{-1}\) est décroissante
- D\(f\) est constante
Remarque
Une fonction continue strictement monotone sur \(I\) est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ; sa réciproque a le même sens de variation et est continue.
Question 10
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}E(x)\) (où \(E\) est la partie entière) vaut :
- A\(2\)
- ✓\(1\)
- C\(0\)
- D\(+\infty\)
Remarque
Pour \(x\in[1,2[\) on a \(E(x)=1\). En \(2^{-}\), \(E(x)=1\) donc la limite à gauche vaut \(1\) (alors que \(E(2)=2\) : \(E\) est discontinue en \(2\)).
Question 11
Théorème des gendarmes : si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(g,h\to\ell\), alors :
- ✓\(f(x)\to \ell\)
- B\(f(x)\to +\infty\)
- C\(f\) n'a pas de limite
- D\(f(x)\to 0\)
Remarque
Encadrement (théorème des gendarmes) : \(f\) coincée entre deux fonctions de même limite \(\ell\) tend elle aussi vers \(\ell\).
Question 12
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)\) vaut :
- A\(+\infty\)
- B\(1\)
- ✓\(0\)
- D\(\tfrac12\)
Remarque
On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^{2}+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\to 0\).
Question 13
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(\tfrac12\)
- C\(1\)
- D\(2\)
Remarque
Limite usuelle : \(1-\cos x\sim\dfrac{x^{2}}{2}\), donc \(\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}\to\dfrac12\).
Question 14
La composée de deux fonctions continues est :
- ✓continue
- Btoujours dérivable
- Cjamais continue
- Dconstante
Remarque
Si \(g\) est continue en \(a\) et \(f\) continue en \(g(a)\), alors \(f\circ g\) est continue en \(a\).
Question 15
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}+1}{x^{2}-2}\) vaut :
- A\(0\)
- B\(1\)
- ✓\(3\)
- D\(+\infty\)
Remarque
À l'infini une fraction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}\to 3\).
Question 16
En appliquant le TVI à \(f(x)=x^{3}+x-1\) sur \([0,1]\), on peut affirmer que l'équation \(f(x)=0\) :
- ✓admet une solution dans \(]0,1[\)
- Bn'a pas de solution
- Cadmet deux solutions dans \(]0,1[\)
- Da pour solution \(x=1\)
Remarque
\(f\) est continue, \(f(0)=-1<0\) et \(f(1)=1>0\) : par le TVI elle s'annule au moins une fois dans \(]0,1[\) (et une seule car \(f\) est strictement croissante).
Question 17
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(1\)
- C\(+\infty\)
- D\(\dfrac{\pi}{2}\)
Remarque
\(\dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{1}{\cos x}\to 1\times 1=1\).
Question 18
La fonction \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\) se prolonge par continuité en \(2\) en posant \(f(2)=\) :
- A\(0\)
- B\(2\)
- ✓\(4\)
- D\(-4\)
Remarque
Pour \(x\ne 2\), \(\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\to 4\). Le prolongement par continuité impose \(f(2)=4\).
Question 19
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\) vaut :
- A\(1\)
- ✓\(0\)
- Celle n'existe pas
- D\(+\infty\)
Remarque
\(\big|\tfrac{\sin x}{x}\big|\le\tfrac{1}{x}\to 0\) : par comparaison \(\dfrac{\sin x}{x}\to 0\) en \(+\infty\).
Question 20
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^{3}-x}{x^{3}+1}\) vaut :
- ✓\(2\)
- B\(-2\)
- C\(0\)
- D\(-\infty\)
Remarque
Le quotient des termes dominants est \(\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}=2\) : la limite vaut \(2\) (asymptote horizontale \(y=2\)).

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