2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 1

Limites & continuité

En Sciences Mathématiques, ce premier chapitre d'analyse est traité avec toute la rigueur qui caractérise la filière. Le cours revient sur la définition d'une limite, la continuité, l'image d'un intervalle par une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires et le cas d'une fonction continue strictement monotone, qui réalise une bijection. Vous y apprendrez à justifier proprement l'existence et l'unicité d'une solution d'équation. Dans les sujets d'examen national SM, ces résultats servent de socle à des raisonnements exigeants : une limite ou une continuité mal justifiée fragilise tout un problème. Ce cours en donne les énoncés précis et les conditions d'application.

1 · Résumé du cours

Le chapitre des limites ouvre l'analyse : dérivation, étude de fonctions et primitives en dépendent. L'objectif n'est pas d'apprendre des recettes, mais d'acquérir un réflexe — identifier la forme, puis choisir la méthode.

1.1 Notion de limite

Définition Soit

f

une fonction et

a

un réel.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ : $f(x)$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $x$ est assez proche de $a$ .
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ : $f(x)$ dépasse tout réel dès que $x$ est assez proche de $a$ .
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $x$ est assez grand.

Limites à gauche / à droite :

\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f

(par valeurs inférieures) et

\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f

(par valeurs supérieures). La limite en

a

existe

\iff

ces deux limites existent et sont égales.

Le premier réflexe Avant tout calcul, remplacez directement — si les fonctions sont continues au point et les opérations définies. Un nombre ? c'est fini. Une forme indéterminée ? c'est un signal : il faut transformer l'expression, ce n'est jamais une réponse.

1.2 La définition formelle : le langage des « $\varepsilon$ »

« Aussi proche que l'on veut » est une image ; en Sciences Maths, on doit savoir la traduire en quantificateurs. C'est cette définition qui permet de démontrer une limite, pas seulement de la calculer.

Limite finie en un point

\big(\forall\varepsilon>0\big)\,\big(\exists\alpha>0\big)\,\big(\forall x\in D_f\big)\quad 0<|x-a|<\alpha\ \Longrightarrow\ |f(x)-\ell|<\varepsilon.

Pour toute marge

\varepsilon

imposée d'avance, on sait trouver un voisinage de

a

où

f

reste dans la bande

]\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon[

. La condition

0<|x-a|

exclut

x=a

: la limite décrit le comportement au voisinage de

a

, indépendamment de

f(a)

Limite finie à l'infini & limite infinie

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell:\quad \big(\forall\varepsilon>0\big)\,\big(\exists A\in\mathbb{R}\big)\,\big(\forall x\in D_f\big)\quad x>A\ \Longrightarrow\ |f(x)-\ell|<\varepsilon.

\lim_{x\to a}f(x)=+\infty:\quad \big(\forall B>0\big)\,\big(\exists\alpha>0\big)\,\big(\forall x\in D_f\big)\quad 0<|x-a|<\alpha\ \Longrightarrow\ f(x)>B.

Lire les quantificateurs dans le bon ordre

\forall\varepsilon

puis

\exists\alpha

\alpha

dépend de

\varepsilon

. L'adversaire choisit

\varepsilon

aussi petit qu'il veut, c'est à vous de fournir un

\alpha

qui marche. En pratique, une démonstration se fait à l'envers : on part de

|f(x)-\ell|<\varepsilon

, on la transforme jusqu'à

|x-a|<

(quelque chose), et ce « quelque chose » est le

\alpha

cherché.

1.3 Opérations sur les limites & formes indéterminées

La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se déduit des limites de chaque terme — sauf dans quatre cas, les formes indéterminées :

Les 4 formes indéterminées (F.I.)

\dfrac{0}{0}\;,\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;,\quad \infty-\infty\;,\quad 0\times\infty.

Hors F.I. : le signe des cases infinies suit la règle des signes ; «

0^{\pm}

» précise si le dénominateur tend vers

0

par valeurs positives ou négatives.

1.4 Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes Au voisinage de

a

(réel ou

\pm\infty

) :

Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et $\displaystyle\lim g=\lim h=\ell$ (finie), alors $\displaystyle\lim f=\ell$ .
Si $f(x)\ge g(x)$ et $\displaystyle\lim g=+\infty$ , alors $\displaystyle\lim f=+\infty$ (et le symétrique en $-\infty$ ).
Bornée $\times$ nulle : si $f$ est bornée au voisinage de $a$ et $\displaystyle\lim g=0$ , alors $\displaystyle\lim (f\,g)=0$ .

1.5 Limites usuelles

À connaître par cœur

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12,

\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty.

Ajuster le facteur : $\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to5$ — le dénominateur doit être identique à l'argument du sinus.

1.6 Lever une indétermination

$\frac{\infty}{\infty}$ de polynômes : factoriser par le terme de plus haut degré ; la limite ne dépend que des termes dominants.
$\frac00$ : factoriser puis simplifier le facteur qui s'annule ; s'il y a une racine, multiplier par la quantité conjuguée.
$\infty-\infty$ avec racine : $\displaystyle\sqrt{A}-B=\frac{A-B^{2}}{\sqrt{A}+B}$ — on retombe sur $\frac{\infty}{\infty}$ .
$0\times\infty$ : réécrire le produit sous forme de quotient.

1.7 Continuité

Définition

f

est continue en $a$ lorsque

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

, c'est-à-dire

\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f=\lim_{x\to a^{+}}f=f(a)

Polynômes continus sur $\mathbb{R}$ ; rationnelles sur leur domaine ; $\sqrt{\ }$ sur $[0,+\infty[$ .
$\sin,\cos,\exp$ continues sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ sur $]0,+\infty[$ .
Somme, produit, quotient (dénominateur $\neq0$ ) et composée de fonctions continues sont continues.
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ ; la réciproque est fausse ( $x\mapsto|x|$ en $0$ ).

Prolongement par continuité Soit

f

définie sur

I\setminus\{a\}

. Si

\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell

est finie, on prolonge

f

en posant

\tilde f(a)=\ell

\tilde f

est alors continue en

a

. On « bouche le trou » avec la seule valeur qui rende

f

continue.

1.8 Théorème des valeurs intermédiaires & dichotomie

T.V.I. Si

f

est continue sur

[a;b]

, alors pour tout

k

compris entre

f(a)

f(b)

, il existe

c\in[a;b]

tel que

f(c)=k

Cas usuel : si $f(a)\cdot f(b)<0$ , l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $]a;b[$ .
Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Dichotomie : on calcule le milieu

c=\frac{a+b}{2}

; on garde la moitié où

f

change de signe et on recommence. Après

n

étapes, l'amplitude vaut

\dfrac{b-a}{2^{n}}

1.9 Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorèmes L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment

[a;b]

est un segment :

f([a;b])=[m;M]

, où

m

M

sont le minimum et le maximum de

f

sur

[a;b]

Ne pas confondre

f([a;b])=[m;M]

et non

[f(a);f(b)]

! Ces deux écritures ne coïncident que si

f

est monotone — sinon le maximum peut être atteint à l'intérieur de l'intervalle.

1.10 Fonction réciproque

Théorème de la bijection Si

f

est continue et strictement monotone sur

I

, elle réalise une bijection de

I

sur

J=f(I)

et admet une réciproque

f^{-1}:J\to I

, continue et de même sens de variation que

f

$f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y$ ; $f^{-1}\circ f(x)=x$ et $f\circ f^{-1}(y)=y$ .
$(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .

La courbe de

f^{-1}

est l'image de celle de

f

par la symétrie d'axe $y=x$ : les coordonnées d'un point s'échangent.

1.11 Racine nᵉ & puissance d'exposant rationnel

Racine nᵉ Pour

n\in\mathbb{N}^{*}

x\mapsto x^{n}

est une bijection de

[0,+\infty[

sur

[0,+\infty[

; sa réciproque est la racine nᵉ

x\mapsto\sqrt[n]{x}

: pour

x,y\ge0

y=\sqrt[n]{x}\iff y^{n}=x

\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\,\sqrt[n]{y},\qquad \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[nm]{x},\qquad \sqrt[n]{x^{m}}=\big(\sqrt[n]{x}\big)^{m}.

Puissance rationnelle Pour

x>0

r=\frac pq\in\mathbb{Q}

\displaystyle x^{r}=\sqrt[q]{x^{p}}=\big(\sqrt[q]{x}\big)^{p}

. Les règles des puissances entières se prolongent :

x^{r}x^{r'}=x^{r+r'},\quad \frac{x^{r}}{x^{r'}}=x^{r-r'},\quad (x^{r})^{r'}=x^{rr'},\quad (xy)^{r}=x^{r}y^{r}.

x\mapsto x^{r}

est continue sur

]0,+\infty[

, croissante si

r>0

, décroissante si

r<0

Toujours

x>0

Dès que l'exposant n'est pas entier, on travaille sur

]0,+\infty[

: écrire

x^{r}

pour

x<0

n'a pas de sens ici.

1.12 La fonction partie entière

Définition Pour tout réel

x

, il existe un unique entier

n\in\mathbb{Z}

tel que

n\le x<n+1

: c'est la partie entière

E(x)=\lfloor x\rfloor

. Ainsi

E(x)\le x<E(x)+1

x-1<E(x)\le x

Piège du négatif : $E(2{,}7)=2$ , $E(5)=5$ , mais $E(-1{,}3)=-2$ (l'entier immédiatement inférieur). $E$ est constante sur chaque $[n;n+1[$ , continue à droite en chaque entier, discontinue à gauche : continue sur $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ .

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre, du plus fondamental au plus exigeant.

Limites & formes indéterminées

Reconnaître la F.I. avant tout calcul ; maîtriser le terme dominant.

Définition « $\varepsilon$ »

Démontrer une limite avec les quantificateurs ; nier une limite.

Techniques de levée

Conjuguée, factorisation, gendarmes, limites usuelles.

Continuité & prolongement

Continuité en un point, à gauche/droite, prolongement par continuité.

T.V.I., dichotomie, image

Existence/unicité d'une solution ; image d'un intervalle et d'un segment.

Bijection & puissances

Réciproque, racine nᵉ, puissance d'exposant rationnel.

3 · Exercices choisis

Une sélection représentative couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites · terme dominant & trigo

Exercice 1

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$ .

Voir la correction

a) Polynômes de même degré : rapport des coefficients dominants $=\frac31=3$ . b) $\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to5$ . c) Limite usuelle : $\frac12$ .

Définition · démontrer une limite

Exercice 2

À l'aide de la définition, montrer que $\displaystyle\lim_{x\to3}(2x+1)=7$ .

Voir la correction

Soit $\varepsilon>0$ . On a $|(2x+1)-7|=2|x-3|$ . Il suffit que $2|x-3|<\varepsilon$ , soit $|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}$ . Le choix $\alpha=\frac{\varepsilon}{2}$ convient : $0<|x-3|<\alpha\Rightarrow|(2x+1)-7|<\varepsilon$ . $\blacksquare$

Limites · quantité conjuguée

Exercice 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x$ .

Voir la correction

Forme $\infty-\infty$ . $\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12$ .

T.V.I. · existence & unicité

Exercice 4

Montrer que $f(x)=x^{3}+x-1$ admet une unique racine $\alpha\in[0;1]$ , puis l'encadrer par dichotomie (deux étapes).

Voir la correction

$f$ continue sur $[0;1]$ , $f(0)=-1<0$ , $f(1)=1>0$ ⇒ (T.V.I.) une racine dans $]0;1[$ . $f'(x)=3x^{2}+1>0$ ⇒ stricte croissance ⇒ unicité. Dichotomie : $f(0{,}5)=-0{,}375<0\Rightarrow\alpha\in]0{,}5;1[$ ; $f(0{,}75)\approx0{,}17>0\Rightarrow\alpha\in]0{,}5;0{,}75[$ .

Continuité · prolongement

Exercice 5

Étudier la continuité en $0$ de $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ( $x\neq0$ ), $f(0)=1$ .

Voir la correction

Sur $\mathbb{R}^{*}$ , quotient de fonctions continues (dénominateur $\neq0$ ) ⇒ $f$ continue. En $0$ : $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)$ ⇒ $f$ continue en $0$ , donc sur $\mathbb{R}$ . (C'est le prolongement par continuité de $\frac{\sin x}{x}$ .)

Bijection · réciproque

Exercice 6

Soit $f(x)=\sqrt{x-2}$ sur $I=[2;+\infty[$ . Montrer que $f$ admet une réciproque et déterminer $f^{-1}$ .

Voir la correction

$f$ continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ ⇒ bijection vers $J=[0;+\infty[$ . $y=\sqrt{x-2}\Rightarrow x=y^{2}+2$ , donc $f^{-1}(x)=x^{2}+2$ sur $[0;+\infty[$ .

Puissances rationnelles

Exercice 7

Simplifier $8^{2/3}$ et $x^{3/2}$ ( $x\ge0$ ), puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{-1/2}$ .

Voir la correction

$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^{2}=2^{2}=4$ ; $x^{3/2}=x\sqrt{x}$ . Comme $r=-\frac12<0$ , $x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to0$ .

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Toujours nommer la forme indéterminée avant de calculer : c'est elle qui dicte la technique.

Astuce $\infty-\infty$ avec racine : multiplier par la quantité conjuguée.

Astuce Limites trigo : se ramener à

\frac{\sin u}{u}\to1

en ajustant le facteur.

Astuce Démonstration « $\varepsilon$ » : partir de

|f(x)-\ell|<\varepsilon

et remonter jusqu'à

|x-a|<\alpha

Piège Ordre des quantificateurs :

\alpha

dépend de

\varepsilon

; les inverser rend l'énoncé faux.

Piège Image d'un segment :

f([a;b])=[m;M]

, pas

[f(a);f(b)]

(sauf si

f

est monotone).

Piège Partie entière d'un négatif :

E(-1{,}3)=-2

, pas

-1

Piège T.V.I. : écrire que

f

est continue fait partie du barème ; l'unicité exige la stricte monotonie.

Formulaire à retenir

Définition «

\varepsilon

\lim_{x\to a}f=\ell\iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0,\ 0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon

Formes indéterminées

\dfrac{0}{0},\ \dfrac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\times\infty

Rationnelle en

\pm\infty

\displaystyle\lim\dfrac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}=\lim\dfrac{a_nx^{n}}{b_mx^{m}}

Conjuguée

\sqrt{A}-B=\dfrac{A-B^{2}}{\sqrt{A}+B}

Limites usuelles

\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\ \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12,\ \lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1

Gendarmes

g\le f\le h,\ \lim g=\lim h=\ell\Rightarrow\lim f=\ell

Continuité en

x_0

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

T.V.I.

f

continue,

f(a)f(b)&lt;0 \Rightarrow \exists\,c\in\,]a;b[,\ f(c)=0

; unique si

f

strict. monotone

Image d'un segment

f

continue

\Rightarrow f([a;b])=[m;M]

Bijection

f

continue strict. monotone sur

I\Rightarrow

bijection

I\to f(I)

f^{-1}

même sens

Réciproque

y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)

; symétrie /

y=x

Puissance rationnelle

x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}}\ (x>0)

;

x^{r}x^{r'}=x^{r+r'}

Partie entière

E(x)\le x<E(x)+1

;

E(-1{,}3)=-2

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 20 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Limites & continuité

1 · Résumé du cours

1.1 Notion de limite

1.2 La définition formelle : le langage des « ε\varepsilonε »

1.3 Opérations sur les limites & formes indéterminées

1.4 Théorèmes de comparaison

1.5 Limites usuelles

1.6 Lever une indétermination

1.7 Continuité

1.8 Théorème des valeurs intermédiaires & dichotomie

1.9 Image d'un intervalle par une fonction continue

1.10 Fonction réciproque

1.11 Racine nᵉ & puissance d'exposant rationnel

1.12 La fonction partie entière

2 · Feuille de route

Limites & formes indéterminées

Définition « ε\varepsilonε »

Techniques de levée

Continuité & prolongement

T.V.I., dichotomie, image

Bijection & puissances

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 La définition formelle : le langage des « $\varepsilon$ »

Définition « $\varepsilon$ »