2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 4

Les fonctions primitives

Placé au premier semestre, juste après la dérivation, ce chapitre lit le tableau des dérivées à l'envers : étant donné f, trouver F telle que F′ = f. Le cours établit l'existence d'une primitive pour toute fonction continue sur un intervalle, la structure de l'ensemble des primitives (F + k, une constante par intervalle) et l'unicité de celle qui vérifie une condition F(x₀) = y₀. Vous y trouverez le tableau complet des primitives usuelles — y compris 1/cos²x → tan x et 1/(1+x²) → arctan x, propres à la filière — puis les formes composées u′uʳ, u′/u, u′eᵘ, u′cos u et u′/(1+u²), avec la technique d'ajustement du coefficient. En Sciences Mathématiques, ce chapitre est un investissement : les équations différentielles et le calcul intégral, plus loin dans l'année, ne font que le réutiliser. Une intégrale fausse vient presque toujours d'une primitive fausse — d'où le réflexe que le cours installe : vérifier en dérivant.

1 · Résumé du cours

Jusqu'ici on partait de $f$ pour obtenir $f'$ . Ce chapitre fait le chemin inverse : connaissant $f$ , retrouver une fonction $F$ dont elle est la dérivée. C'est le dernier maillon de l'analyse du semestre 1 — et la clé de tout ce qui suit : les équations différentielles (chapitre 7) et le calcul intégral (chapitre 9) ne feront jamais autre chose que chercher une primitive.

1.1 Notion de primitive

Définition Soit

f

définie sur un intervalle

I

. On appelle primitive de

f

sur

I

toute fonction

F

dérivable sur

I

telle que

\boxed{\forall x\in I,\quad F'(x)=f(x).}

Exemple : $F(x)=x^{2}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$ . Mais $G(x)=x^{2}+7$ en est aussi une, puisque $G'(x)=2x$ : la constante disparaît en dérivant. Une fonction admet donc plusieurs primitives.

La vérification qui ne trompe jamais Un doute sur une primitive ? Dérivez-la. Si vous retrouvez

f

, c'est juste — c'est la seule vérification dont vous ayez besoin, à utiliser systématiquement le jour de l'examen.

Lecture graphique. Comme $F'=f$ , tout le chapitre 3 se relit à l'envers : le signe de $f$ donne les variations de $F$ — là où $f>0$ , $F$ croît ; là où $f<0$ , $F$ décroît ; les zéros de $f$ donnent les extremums de $F$ .

1.2 Existence & ensemble des primitives

Théorèmes

Existence : toute fonction continue sur un intervalle $I$ y admet des primitives.
Structure : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les $\boxed{x\mapsto F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}}$ .
Unicité avec une condition : pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$ , il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F(x_0)=y_0$ .

Pourquoi «

+k

» et l'hypothèse intervalle Si

F

G

sont deux primitives de

f

, alors

(G-F)'=f-f=0

sur

I

: une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, donc

G-F=k

. L'hypothèse « intervalle » est essentielle — sur

\mathbb{R}^{*}

, qui n'en est pas un, la différence pourrait valoir une constante différente sur chaque morceau.

Les primitives d'une même fonction se déduisent par translation verticale : à chaque abscisse, elles ont la même pente

f(x)

. Ici

f(x)=2x

et les courbes

y=x^{2}+k

; la condition

F(x_0)=y_0

en sélectionne une seule (en doré).

Méthode — trouver LA primitive qui vérifie une condition ① Déterminer la primitive générale

F(x)+k

; ② écrire la condition

F(x_0)+k=y_0

; ③ en déduire

k

, puis conclure.
Ex. la primitive de

f(x)=2x

telle que

F(1)=2

F(x)=x^{2}+k

, donc

1+k=2

k=1

, et

\boxed{F(x)=x^{2}+1}

1.3 Primitives usuelles

À connaître (le tableau des dérivées, lu à l'envers)

\begin{array}{c|c|c} f(x) & \text{une primitive } F(x) & \text{sur}\\\hline a\ \text{(constante)} & a\,x & \mathbb{R}\\ x^{n}\ (n\in\mathbb{N}) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1} & \mathbb{R}\\ x^{\alpha}\ (\alpha\neq-1) & \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} & ]0,+\infty[\\ \dfrac1{x^{2}} & -\dfrac1x & \mathbb{R}^{*}\\ \dfrac1{\sqrt x} & 2\sqrt x & ]0,+\infty[\\ \dfrac1x & \ln|x| & ]0,+\infty[\ \text{ou}\ ]-\infty,0[\\ e^{x} & e^{x} & \mathbb{R}\\ \cos x\,;\ \sin x & \sin x\,;\ -\cos x & \mathbb{R}\\ 1+\tan^{2}x=\dfrac1{\cos^{2}x} & \tan x & \left]-\tfrac\pi2+k\pi,\ \tfrac\pi2+k\pi\right[\\ \dfrac1{1+x^{2}} & \arctan x & \mathbb{R} \end{array}

Ce tableau n'est rien d'autre que celui du chapitre 3, parcouru de droite à gauche : demandez-vous toujours « de quoi ceci est-il la dérivée ? » La dernière ligne vient d'Arctangente :

\arctan'(x)=\frac1{1+x^{2}}

Les deux lignes $\frac1x\to\ln|x|$ et $e^{x}\to e^{x}$ anticipent les chapitres 5 et 6 : on les utilise dès maintenant comme des formules, leur construction viendra avec les fonctions logarithme et exponentielle.

1.4 Linéarité & formes composées

Linéarité Si

F

est une primitive de

f

G

une primitive de

g

sur

I

, et si

\alpha,\beta\in\mathbb{R}

, alors

\alpha F+\beta G

est une primitive de

\alpha f+\beta g

. On primitive donc terme à terme.

Ce qui n'existe PAS Aucune formule ne donne la primitive d'un produit ou d'un quotient, contrairement aux dérivées. C'est ce qui rend les primitives plus difficiles : il faut reconnaître une forme. Pour les produits qui résistent, le chapitre 9 fournira l'intégration par parties.

Formes composées (chaque dérivée composée, lue à l'envers)

\begin{array}{c|c|c} \text{forme de } f & \text{une primitive } F & \text{condition}\\\hline u'\,u^{n}\ (n\in\mathbb{N}) & \dfrac{u^{n+1}}{n+1} & \text{—}\\ \dfrac{u'}{u^{2}} & -\dfrac1u & u\neq0\\ \dfrac{u'}{\sqrt u} & 2\sqrt u & u>0\\ \dfrac{u'}{u} & \ln|u| & u\neq0\\ u'\,e^{u} & e^{u} & \text{—}\\ u'\cos u\,;\ u'\sin u & \sin u\,;\ -\cos u & \text{—}\\ \dfrac{u'}{\cos^{2}u} & \tan u & \cos u\neq0\\ \dfrac{u'}{1+u^{2}} & \arctan u & \text{—} \end{array}

Les trois premières lignes n'en font qu'une : pour

r\in\mathbb{Q}

r\neq-1

u'u^{r}\to\dfrac{u^{r+1}}{r+1}

Ajuster le coefficient ① Repérer $u$ : ce qui est « à l'intérieur » (sous la racine, dans l'exponentielle, au dénominateur…) ; ② calculer

u'

et vérifier qu'il figure en facteur ; ③ s'il manque un coefficient constant, l'ajouter en compensant par son inverse ; ④ dériver pour vérifier.
Ex.

f(x)=e^{2x}

: on pose

u=2x

u'=2

, la forme voulue est

u'e^{u}=2e^{2x}

, il manque le facteur

2

e^{2x}=\tfrac12\times\underbrace{2e^{2x}}_{u'e^{u}}\ \Longrightarrow\ F(x)=\tfrac12\,e^{2x}\quad(\text{vérif. : } F'(x)=e^{2x}\ ✓).

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & vérification

$F'=f$ ; toujours contrôler en dérivant.

Ensemble des primitives

$F+k$ sur un intervalle ; ne jamais oublier la constante.

Tableau usuel

Puissances, trigo, $\tan$ , $\tfrac1{1+x^{2}}\to\arctan$ .

Formes composées

Reconnaître $u'u^{r}$ , $\tfrac{u'}{u}$ , $u'e^{u}$ , $\tfrac{u'}{1+u^{2}}$ .

Ajuster le coefficient

Compléter le facteur manquant par son inverse.

Condition initiale

Déterminer $k$ via $F(x_0)=y_0$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Puissances, racines, trigonométrie

Exercice 1

Déterminer les primitives, sur chaque intervalle qui convient, de : a) $f(x)=\dfrac3{x^{2}}-\dfrac2{x^{3}}+\dfrac5{x^{4}}$ ; b) $g(x)=3\sqrt{x}+\dfrac2{\sqrt{x}}-\dfrac1{x\sqrt{x}}$ sur $]0,+\infty[$ ; c) $h(x)=3\cos x-2\sin x+\cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

a) On écrit tout en puissances : $f(x)=3x^{-2}-2x^{-3}+5x^{-4}$ . Avec $x^{r}\to\frac{x^{r+1}}{r+1}$ (aucun exposant ne vaut $-1$ ) : $F(x)=-\frac3x+\frac1{x^{2}}-\frac5{3x^{3}}+k,$ sur $]-\infty,0[$ ou sur $]0,+\infty[$ — deux intervalles, donc deux constantes indépendantes.

b) $g(x)=3x^{1/2}+2x^{-1/2}-x^{-3/2}$ , donc $G(x)=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}+2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}-\frac{x^{-1/2}}{-1/2}=2x\sqrt x+4\sqrt x+\dfrac2{\sqrt x}+k.$

c) Terme à terme, et $\cos(2x)=\frac12\cdot 2\cos(2x)$ (forme $u'\cos u$ avec $u=2x$ ) : $H(x)=3\sin x+2\cos x+\tfrac12\sin(2x)+k.$ Vérif. : $H'(x)=3\cos x-2\sin x+\cos(2x)$ . ✓ ∎

Condition initiale

Exercice 2

Une fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifie $F'(x)=3x^{2}-6x+2$ et $F(1)=4$ . Déterminer $F$ , puis calculer $F(0)$ et $F(2)$ .

Voir la correction

$F$ est une primitive de $f(x)=3x^{2}-6x+2$ , continue sur $\mathbb{R}$ : $F(x)=x^{3}-3x^{2}+2x+k$ .

Condition : $F(1)=1-3+2+k=k=4$ , donc $\boxed{F(x)=x^{3}-3x^{2}+2x+4}$ (c'est la seule primitive vérifiant $F(1)=4$ ).

Alors $F(0)=4$ et $F(2)=8-12+4+4=4$ . (On remarque $F(0)=F(1)=F(2)$ : cohérent avec $f$ qui s'annule deux fois.) ∎

Formes composées

u'u^{n}

\frac{u'}{\sqrt u}

\frac{u'}{u}

Exercice 3

Déterminer une primitive, sur les intervalles convenables, de : a) $f(x)=x^{2}(x^{3}+2)^{3}$ ; b) $g(x)=\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}}$ ; c) $h(x)=\dfrac{3}{3x-1}$ .

Voir la correction

a) $u=x^{3}+2$ , $u'=3x^{2}$ : il manque le facteur $3$ . $f(x)=\frac13\cdot 3x^{2}(x^{3}+2)^{3}\Rightarrow F(x)=\frac13\cdot\frac{(x^{3}+2)^{4}}{4}=\dfrac{(x^{3}+2)^{4}}{12}$ sur $\mathbb{R}$ .

b) $u=3x+1$ , $u'=3$ : $g=\frac{u'}{\sqrt u}$ exactement, donc $G(x)=2\sqrt{3x+1}$ sur $\left]-\frac13,+\infty\right[$ (où $u>0$ ).

c) $u=3x-1$ , $u'=3$ : $h=\frac{u'}{u}$ , donc $H(x)=\ln|3x-1|$ , sur $\left]-\infty,\frac13\right[$ ou sur $\left]\frac13,+\infty\right[$ . ∎

Reconnaître une dérivée de quotient

Exercice 4

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x)=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ .

Voir la correction

Aucune forme composée du tableau ne convient : ni $\frac{u'}{u^{2}}$ (le numérateur n'est pas $u'=2x$ ), ni $\frac{u'}{1+u^{2}}$ . On cherche donc de quoi $f$ est la dérivée. Le degré du dénominateur suggère un quotient de la forme $\dfrac{x}{x^{2}+1}$ : $\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)'=\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=f(x).$ Donc $\boxed{F(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}}$ convient, et les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les $F(x)+k$ .

Le réflexe à retenir : quand aucune forme ne se présente, on devine une expression plausible et on la dérive — la vérification fait office de démonstration. ∎

Synthèse · fonction définie par une primitive

Exercice 5

Soit $F$ la primitive de $f(x)=\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ vérifiant $F(0)=0$ . Déterminer $F$ , ses variations, ses limites en $\pm\infty$ et son image $F(\mathbb{R})$ .

Voir la correction

Expression. $u=x^{2}+1$ , $u'=2x$ : $f=\frac{u'}{u^{2}}$ , dont une primitive est $-\frac1u$ . Donc $F(x)=-\dfrac1{x^{2}+1}+k$ , et $F(0)=-1+k=0$ donne $k=1$ : $\boxed{F(x)=1-\frac1{x^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.}$

Variations. $F'=f$ et $f(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ a le signe de $x$ : $F$ décroît sur $]-\infty,0]$ , croît sur $[0,+\infty[$ , et atteint son minimum $F(0)=0$ .

Limites. $\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^{2}+1}=0$ , donc $\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale, et $F<1$ partout.

Image. $F$ est continue, paire, minimale en $0$ et tend vers $1$ sans l'atteindre : $F(\mathbb{R})=[0,1[$ . ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifiez toujours en dérivant : si

F'=f

, la primitive est juste. Aucune autre vérification n'est nécessaire.

Astuce Faites apparaître $u'$ en facteur pour reconnaître une forme composée ; s'il manque un coefficient constant, compensez par son inverse.

Astuce Simplifiez avant de primitiver : une division, une décomposition ou une linéarisation transforme souvent une expression impossible en somme de formes usuelles.

Piège

x^{r}\to\dfrac{x^{r+1}}{r+1}

est faux pour $r=-1$ : la primitive de

\frac1x

est

\ln|x|

, pas une puissance.

Piège Le théorème «

F+k

» vaut sur un intervalle. Sur un domaine formé de plusieurs intervalles, chaque morceau a sa propre constante.

Piège N'oubliez jamais la constante

+k

: sans elle, la condition

F(x_0)=y_0

n'a aucune chance d'être satisfaite.

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