← Fiche précédente 3. Dérivation & étude des fonctions Fiche suivante → 5. Les fonctions logarithmes Les primitives arrivent au premier semestre, dans le prolongement direct de la dérivation : il s'agit de lire le tableau des dérivées à l'envers. Cette fiche réunit la définition (F′ = f sur un intervalle), l'existence pour toute fonction continue, l'ensemble F + k, l'unicité sous condition initiale, le tableau des primitives usuelles et les formes composées u′uʳ, u′/u, u′eᵘ, u′/cos²u et u′/(1+u²). En SM, deux nouveautés par rapport aux autres filières : tan et arctan. Le réflexe qui ne trompe jamais : dérivez la primitive trouvée — si vous retombez sur f, c'est juste. Et n'oubliez jamais la constante, ni le fait qu'il en faut une par intervalle.
Σ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths
Les fonctions primitives — Méthodes & Formules
Math Excellence
1 · Définition, existence & unicité
Définition
F F F I I I et F ′ = f F'=f F ′ = f I I I F ′ ( x ) = f ( x ) pour tout x ∈ I F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in I F ′ ( x ) = f ( x ) pour tout x ∈ I
Ensemble des primitives
Deux primitives diffèrent d'une constante Courbes translatées verticalement G ( x ) = F ( x ) + k , k ∈ R G(x)=F(x)+k,\ k\in\mathbb{R} G ( x ) = F ( x ) + k , k ∈ R
Existence & unicité
Toute fonction continue sur I I I Une seule vérifie F ( x 0 ) = y 0 F(x_0)=y_0 F ( x 0 ) = y 0 Astuce : la condition
F ( x 0 ) = y 0 F(x_0)=y_0 F ( x 0 ) = y 0 fixe
k k k .
L'hypothèse « intervalle »
( G − F ) ′ = 0 (G-F)'=0 ( G − F ) ′ = 0 intervalle ⇒ constanteSur R ∗ \mathbb{R}^{*} R ∗ Piège : 1 x \frac1x x 1 n'a pas « une » primitive sur
R ∗ \mathbb{R}^{*} R ∗ .
2 · Primitives usuelles
a ⇒ a x a\ \Rightarrow\ ax a ⇒ a x x n ( n ∈ N ) ⇒ x n + 1 n + 1 x^{n}\ (n\in\mathbb{N})\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} x n ( n ∈ N ) ⇒ n + 1 x n + 1 x α ( α ≠ − 1 ) ⇒ x α + 1 α + 1 x^{\alpha}\ (\alpha\neq-1)\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} x α ( α = − 1 ) ⇒ α + 1 x α + 1 1 x 2 ⇒ − 1 x \dfrac{1}{x^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{x} x 2 1 ⇒ − x 1 1 x ⇒ 2 x \dfrac{1}{\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{x} x 1 ⇒ 2 x 1 x ⇒ ln ∣ x ∣ \dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ \ln|x| x 1 ⇒ ln ∣ x ∣ e x ⇒ e x e^{x}\ \Rightarrow\ e^{x} e x ⇒ e x cos x ⇒ sin x \cos x\ \Rightarrow\ \sin x cos x ⇒ sin x sin x ⇒ − cos x \sin x\ \Rightarrow\ -\cos x sin x ⇒ − cos x 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x ⇒ tan x 1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\ \Rightarrow\ \tan x 1 + tan 2 x = cos 2 x 1 ⇒ tan x 1 1 + x 2 ⇒ arctan x \dfrac{1}{1+x^{2}}\ \Rightarrow\ \arctan x 1 + x 2 1 ⇒ arctan x α f + β g ⇒ α F + β G \alpha f+\beta g\ \Rightarrow\ \alpha F+\beta G α f + β g ⇒ α F + βG
3 · Formes composées (
u ′ u' u ′ en facteur)
u ′ u n ⇒ u n + 1 n + 1 u'\,u^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1} u ′ u n ⇒ n + 1 u n + 1 u ′ u 2 ⇒ − 1 u ( u ≠ 0 ) \dfrac{u'}{u^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{u}\quad(u\neq0) u 2 u ′ ⇒ − u 1 ( u = 0 ) u ′ u ⇒ 2 u ( u > 0 ) \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{u}\quad(u>0) u u ′ ⇒ 2 u ( u > 0 ) u ′ u ⇒ ln ∣ u ∣ ( u ≠ 0 ) \dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|\quad(u\neq0) u u ′ ⇒ ln ∣ u ∣ ( u = 0 ) u ′ e u ⇒ e u u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u} u ′ e u ⇒ e u u ′ cos u ⇒ sin u u'\cos u\ \Rightarrow\ \sin u u ′ cos u ⇒ sin u u ′ sin u ⇒ − cos u u'\sin u\ \Rightarrow\ -\cos u u ′ sin u ⇒ − cos u u ′ cos 2 u ⇒ tan u \dfrac{u'}{\cos^{2}u}\ \Rightarrow\ \tan u cos 2 u u ′ ⇒ tan u u ′ 1 + u 2 ⇒ arctan u \dfrac{u'}{1+u^{2}}\ \Rightarrow\ \arctan u 1 + u 2 u ′ ⇒ arctan u Une seule formule : u ′ u r ⇒ u r + 1 r + 1 ( r ≠ − 1 ) u'u^{r}\Rightarrow\dfrac{u^{r+1}}{r+1}\ (r\neq-1) u ′ u r ⇒ r + 1 u r + 1 ( r = − 1 )
4 · Méthodes
Reconnaître & ajuster
Repérer u u u Calculer u ′ u' u ′ Compenser le coefficient manquant par son inverse Dériver pour vérifier Ex : e 2 x = 1 2 ( 2 e 2 x ) ⇒ 1 2 e 2 x e^{2x}=\tfrac12(2e^{2x})\Rightarrow\tfrac12 e^{2x} e 2 x = 2 1 ( 2 e 2 x ) ⇒ 2 1 e 2 x
Condition initiale
Écrire la primitive générale F ( x ) + k F(x)+k F ( x ) + k Résoudre F ( x 0 ) + k = y 0 F(x_0)+k=y_0 F ( x 0 ) + k = y 0 Conclure : une seule solution Ex : f ( x ) = 2 x , F ( 1 ) = 2 ⇒ F ( x ) = x 2 + 1 f(x)=2x,\ F(1)=2\Rightarrow F(x)=x^{2}+1 f ( x ) = 2 x , F ( 1 ) = 2 ⇒ F ( x ) = x 2 + 1
Quand rien ne marche
Simplifier : division, décomposition, linéarisation Ou deviner F F F Ex : 1 − x 2 ( x 2 + 1 ) 2 ⇒ x x 2 + 1 \dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\Rightarrow\dfrac{x}{x^{2}+1} ( x 2 + 1 ) 2 1 − x 2 ⇒ x 2 + 1 x
Ce qui n'existe PAS
Pas de formule pour un produit Pas de formule pour un quotient Les produits résistants : IPP au chapitre 9.
5 · Exemples résolus
1 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ x 3 − 3 x 2 + 2 x + k 3x^{2}-6x+2\ \Rightarrow\ x^{3}-3x^{2}+2x+k 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ x 3 − 3 x 2 + 2 x + k 2 x 2 ( x 3 + 2 ) 3 ⇒ ( x 3 + 2 ) 4 12 + k x^{2}(x^{3}+2)^{3}\ \Rightarrow\ \dfrac{(x^{3}+2)^{4}}{12}+k x 2 ( x 3 + 2 ) 3 ⇒ 12 ( x 3 + 2 ) 4 + k 3 3 3 x + 1 ⇒ 2 3 x + 1 + k \dfrac{3}{\sqrt{3x+1}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{3x+1}+k 3 x + 1 3 ⇒ 2 3 x + 1 + k 4 3 3 x − 1 ⇒ ln ∣ 3 x − 1 ∣ + k \dfrac{3}{3x-1}\ \Rightarrow\ \ln|3x-1|+k 3 x − 1 3 ⇒ ln ∣3 x − 1∣ + k 5 cos ( 2 x ) ⇒ 1 2 sin ( 2 x ) + k \cos(2x)\ \Rightarrow\ \dfrac12\sin(2x)+k cos ( 2 x ) ⇒ 2 1 sin ( 2 x ) + k 6 2 x ( x 2 + 1 ) 2 , F ( 0 ) = 0 ⇒ F ( x ) = x 2 x 2 + 1 \dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},\ F(0)=0\ \Rightarrow\ F(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1} ( x 2 + 1 ) 2 2 x , F ( 0 ) = 0 ⇒ F ( x ) = x 2 + 1 x 2
★ Astuces géniales
Un doute ? Dérivez : si F ′ = f F'=f F ′ = f
Ne jamais oublier la constante + k +k + k — et une par intervalle .
x r → x r + 1 r + 1 x^{r}\to\frac{x^{r+1}}{r+1} x r → r + 1 x r + 1 faux pour r = − 1 r=-1 r = − 1 : c'est ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ Nouveauté SM : 1 1 + x 2 → arctan x \frac{1}{1+x^{2}}\to\arctan x 1 + x 2 1 → arctan x u ′ 1 + u 2 → arctan u \frac{u'}{1+u^{2}}\to\arctan u 1 + u 2 u ′ → arctan u
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