QCM — Les fonctions primitives (SM)

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Quelle hypothèse garantit qu'une fonction \(f\) admet des primitives sur un intervalle \(I\) ?

   • ✓\(f\) est continue sur \(I\)
   • B\(f\) est dérivable sur \(I\)
   • C\(f\) est monotone sur \(I\)
   • D\(f\) est bornée sur \(I\)

   Remarque

   Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) y admet des primitives. La dérivabilité n'est pas requise, et ni la monotonie ni le caractère borné ne suffisent.

2. Question 2

   Combien de primitives de \(f\) continue sur \(I\) vérifient une condition \(F(x_0)=y_0\) donnée, avec \(x_0\in I\) ?

   • ✓Une seule
   • BAucune
   • CDeux
   • DUne infinité

   Remarque

   Les primitives forment la famille \(F+k\). L'égalité \(F(x_0)+k=y_0\) détermine \(k\) de façon unique : il existe une et une seule primitive vérifiant la condition.

3. Question 3

   Sur \(\mathbb{R}^{*}\), les fonctions \(H(x)=\ln|x|\) et \(K\) définie par \(K(x)=\ln|x|+1\) si \(x>0\) et \(K(x)=\ln|x|-3\) si \(x<0\) vérifient \(H'=K'=\frac1x\). Que peut-on en conclure ?

   • ✓\(K-H\) n'est pas constante : \(\mathbb{R}^{*}\) n'est pas un intervalle
   • B\(K-H\) est constante, égale à \(1\)
   • CL'une des deux n'est pas une primitive de \(\frac1x\)
   • D\(\frac1x\) n'admet aucune primitive

   Remarque

   Le théorème « \((G-F)'=0\Rightarrow G-F\) constante » exige un intervalle. Sur \(\mathbb{R}^{*}\), réunion de deux intervalles, il y a une constante par morceau : ici \(+1\) puis \(-3\).

4. Question 4

   Une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • ✓\(\arctan x\)
   • B\(\ln(1+x^{2})\)
   • C\(-\dfrac{1}{2x}\)
   • D\(\dfrac{1}{x+\frac{x^{3}}{3}}\)

   Remarque

   \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}\). C'est l'une des deux nouveautés du tableau en Sciences Maths.

5. Question 5

   Sur \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), une primitive de \(f(x)=1+\tan^{2}x\) est :

   • ✓\(\tan x\)
   • B\(x+\dfrac{\tan^{3}x}{3}\)
   • C\(-\dfrac{1}{\cos x}\)
   • D\(\dfrac{1}{\cos^{2}x}\)

   Remarque

   \(1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\), qui est exactement \((\tan x)'\). Le tableau des dérivées, lu à l'envers, donne \(\tan x\).

6. Question 6

   La formule \(x^{r}\rightsquigarrow\dfrac{x^{r+1}}{r+1}\) est valable pour tout réel \(r\) sauf :

   • ✓\(r=-1\)
   • B\(r=0\)
   • C\(r=1\)
   • D\(r=\frac12\)

   Remarque

   Pour \(r=-1\) le dénominateur \(r+1\) s'annule : la primitive de \(\frac1x\) n'est pas une puissance, c'est \(\ln|x|\).

7. Question 7

   Une primitive de \(f(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • ✓\(\ln(x^{2}+1)\)
   • B\(\arctan(x^{2}+1)\)
   • C\(\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}\)
   • D\(2\sqrt{x^{2}+1}\)

   Remarque

   C'est la forme \(\frac{u'}{u}\) avec \(u=x^{2}+1>0\) : une primitive est \(\ln|u|=\ln(x^{2}+1)\).

8. Question 8

   Une primitive de \(f(x)=e^{2x}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • ✓\(\dfrac12 e^{2x}\)
   • B\(2e^{2x}\)
   • C\(e^{2x}\)
   • D\(\dfrac{e^{2x}}{2x}\)

   Remarque

   Il manque le facteur \(u'=2\) : on écrit \(e^{2x}=\frac12\left(2e^{2x}\right)\), donc une primitive est \(\frac12 e^{2x}\). C'est l'ajustement du coefficient.

9. Question 9

   Une primitive de \(f(x)=\cos(3x)\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • ✓\(\dfrac13\sin(3x)\)
   • B\(3\sin(3x)\)
   • C\(-\dfrac13\sin(3x)\)
   • D\(\sin(3x)\)

   Remarque

   Avec \(u=3x\), \(u'=3\) : \(\cos(3x)=\frac13\left(3\cos(3x)\right)=\frac13 u'\cos u\), dont une primitive est \(\frac13\sin(3x)\).

10. Question 10

    Une primitive de \(f(x)=2x\left(x^{2}+1\right)^{3}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • ✓\(\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{4}\)
    • B\(\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{8}\)
    • C\(x^{2}\left(x^{2}+1\right)^{4}\)
    • D\(6x^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}\)

    Remarque

    C'est la forme \(u'u^{3}\) avec \(u=x^{2}+1\) et \(u'=2x\) : une primitive est \(\frac{u^{4}}{4}\).

11. Question 11

    Sur \(\,]0,+\infty[\,\), une primitive de \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) est :

    • ✓\(2\sqrt{x}\)
    • B\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
    • C\(\sqrt{x}\)
    • D\(-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\)

    Remarque

    \(\left(2\sqrt x\right)'=2\times\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt x}\). En version composée : \(\frac{u'}{\sqrt u}\rightsquigarrow 2\sqrt u\).

12. Question 12

    Un élève écrit : « une primitive de \(f\times g\) est \(F\times G\) ». Cette affirmation est :

    • ✓Fausse : il n'existe aucune formule pour la primitive d'un produit
    • BVraie, par linéarité
    • CVraie si \(f\) et \(g\) sont continues
    • DVraie à une constante près

    Remarque

    \((FG)'=F'G+FG'=fG+Fg\neq fg\) en général. Il n'existe de formule ni pour un produit ni pour un quotient ; les produits résistants se traitent par intégration par parties, au chapitre du calcul intégral.

13. Question 13

    Comment vérifier, sans corrigé, que la primitive \(F\) que l'on vient de trouver est correcte ?

    • ✓En dérivant \(F\) et en retrouvant \(f\)
    • BEn dérivant \(f\) et en retrouvant \(F\)
    • CEn vérifiant que \(F(0)=0\)
    • DEn vérifiant que \(F\) et \(f\) ont le même signe

    Remarque

    La définition se vérifie directement : si \(F'=f\) sur \(I\), la réponse est juste. C'est le seul contrôle qui ne trompe jamais.

14. Question 14

    \(F\) est la primitive de \(f(x)=3x^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(F(1)=0\). Alors :

    • ✓\(F(x)=x^{3}-1\)
    • B\(F(x)=x^{3}\)
    • C\(F(x)=x^{3}+1\)
    • D\(F(x)=6x\)

    Remarque

    Les primitives sont \(x^{3}+k\). La condition \(1+k=0\) donne \(k=-1\), d'où \(F(x)=x^{3}-1\).

15. Question 15

    Une primitive de \(f(x)=\dfrac{2x}{1+x^{4}}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • ✓\(\arctan\left(x^{2}\right)\)
    • B\(\ln\left(1+x^{4}\right)\)
    • C\(\dfrac{1}{2}\arctan\left(x^{4}\right)\)
    • D\(\arctan(2x)\)

    Remarque

    On écrit \(1+x^{4}=1+u^{2}\) avec \(u=x^{2}\), dont \(u'=2x\) : \(f=\frac{u'}{1+u^{2}}\), et une primitive est \(\arctan u=\arctan\left(x^{2}\right)\).